mm (me) r

Si l'on faitm—r—x1, equ'on néglige les multiples de 7, on aura, suivant le théorème précédent, mr, (m—i) =%, (m—2)"= 1, etc, Donc le produit 1.2.3...%#, en faisant les mêmes omissions , se réduit TL LPS M, M1, N=—9 Le —————>© — D RSR QE etc., le nombre des termes de cette suite ét m. Mais ces 1 termes composent. la puissance don pée (1—1}" moins son dernier terme, qui est 1, parce que » est pair. Donc la somme des termes en question =(1—1)"—12=1.

Donc la quantité 1.2.5..,..(n—1) x est divisible par ».

(131) Ce théorème, dont Waring fait mention dans ses Meditationes Algebraïicæ , et dont ilattribue la découverte à Jean Wilson, a été démontré pour la première fois par Lagrange dans les Mémoires de Berlin, année 1771, et ensuite par Euler dans ses Opuscula Analytica, Tom. 1. IL est surtout remarquable, en ce qu’il n’a lieu que lorsque 7 est-un nombre premier. En effet, si » est composé de deux facteurs quelconques inégaux a et b, ces deux facteurs se trouveront nécessairement tous deux parmi les nombres 1,2, 3,...(n—1), et la quantité 1.2.3,.,(n—1)+x divisée par 2, laissera pour reste + 1. La même chose aurait lieu, quand même» serait égal au produit des deux facteurs égaux a X a; Car alors à et 24 se trouveraient dans la suite 1, 2, 3...n—14. Donc le-produit de ces nombres serait divisible par æ our, etce produit, augmenté d’une unité, laisserait pour reste x.

On peut déduire. de là une règle générale et infaillible, pour reconnaître si un nombre donné # est premier ous'l ne l’est pas. Pour cela, il faut ajouter une unité au produit 1.2.3, .(2—1);.5i la somme est divisible par #, le nombre » sera premier; si elle ne l'est pas , le nombre ñ sera composé. Maïs quoique cette règle soit très-belle 22 abstracto, elle ne peut guère être utile dans la pratique , attendu la grandeur énorme à laquelle s'élève bientôt le produit 1,2,3,,,(n—1),

Observons que les nombres n—1, »—2, n—3, etc. considérés comme restes de la division par z, sont équivalens aux, restes —1, —2, —3,. etc. ; d’ailleurs 7 étant supposé impair, le. nombre des res 1, 2,,3,..n—1 sera pair. Donc le produit 1.2.3,..(#—1), divisé

. . 1 — 1\2 « par, laissera le même reste que H1°,2°.3°.. (=) ; le signe am-

bigu étant + lorsque » est de la forme ne 1, et — lorsqu'il est de la forme 4443.

Donc 1°. si le nombre premier 7 est Fe la forme 4k-+ 3, la quan-

2? TT = 1 tité (s ER —) + 1 sera divisible par ». On connait donc ainsi une somme de LR quarrés a 1 dont doit être diviseur.

2°. Si le nombre premier 7 est de la forme 4k+ 3, la quantité

tre j à 2% — 1 diviser l’une ou l’autre des deux quantités 1.2.3.,., ( : +1,

THE) pare ()— 10

conséquent z doit

== RS SE CNE FETE TE ENS La SE DT ae RE LR ES, ne - M let nee EST, 5

(32) Lewws. « Soit c un nombre premier, et P un polynome du degré » #7dontles coefficienssont éntiers, savoir, P—ax"+ Ga ya. +0; » je dis quil ne peut y avoir plus de mvaleurs de x, comprises entre » 3e et —!c, qui rendent ce polynome AT CS par €.»

Car soit Æ une première valeur de x qui rende P divisible par ce, on pourra faire P=—{(x— k) PH 40, eton aura pour P’ un‘ polynome en x du degré m—1. Soit ‘4 une seconde valeur.de x qui rende P divisible par c, il faudra que cette valeur rende (x—#) P" divisible par c. Mais le’facteur x—#, qui devient #—%X, ne peut ÊRE divisible.par c, puisque k etK sont supposés chacun ps petits que :c; donc P ne pourra être-divisible une seconde fois par c, à moins que P ne le soit. Le po- | Iynome P du degré m n’admet par conséquent qu’une solution de plus que le polynome P” du degré m— 1; donc il ne peut y avoir au plus que 77 valeurs différentes de x, sAnpre enire £cet —5%c, qui rendent P divisible par c.

P Nous regarderons comme solution ou racine de l'équation À —=6.,

toute valeur de x, comprise entre HIcet —1c, qui rend le premier membre égal à un entier: Le nombre de,ces Ro ÿ qu'on pourrait prendre aussi entre 0 et c, ne -doit Jamais surpasser lexposant m, comme il vient d'être démontré; mais d’après une solution telle que x—k, on-peut faire plus généralement x—k+ cz, et toutes les va-

leurs ds æ-renfermées dans cette formule, satisferont à l'équation

(133) TéorèmEe. « Soit toujours c un nombre premier, et P un po- » lynome du degré », lequel soit diviseur du binome %°='—1 ; je dis » qu'il y aura toujours »2 valeurs de x, comprises entre cet —;5c, » qui rendent ce polynome divisible parcs» © . ART

Car soit a —1—=?Q, Q étant un autre polynome ‘du “degré

re c—1—m. Puisqu'il y'a c—1 valeurs de æ, savoir 1 EE 2 : Æ° ee.

- qui rendent le premier membre divisible parc, il faut que chacune de. ces valeurs rende P ou Q divisible par c. ant ces c—1 valeurs, il he peut y en avoir plus de # qui rendent P divisible par ” parce que P n’est que du degré m; il ne peut.non plus. y en avoir moins de», car alors il y aurait plus de c— 1772 valeurs de x qui rendraient Q divisible par c; ce qui est impossible, puisque Q n’est que du degré 6—1—m. Donc le.nombre de valeurs de x qui rendent? divisible 22:

pare, eb qui sont comprises entre He et —1c, est précisément "1. Remarque. La même proposition aurait lieu, si 2 était diviseur de:

æ7"—1-+cR, R étant un polynome d’un degré quelconque moindre

que c.

(134) Tnéorème. «Si le nombre premier e est diviseur de x°+ NW, » NN étant un nombre donné positif ou négatif, je dis. que la quantité

» (—N)*— 1, doit être divisible par ce; et réciproquement si cette » condition est remplie, il'existera un nombre x (moindre que £e) tel » que .x?+ NV sera divisible par c. (On excepte le ças de e=2, et » celui où AN est divisible par c.)»

Car 1°. sie est diviseur de æ*+V, on aura, en omettant les mul-

tiples dec, mes N; donc sr TENTT —1. Le premier membre est divisible par c, donc le second doit Fêtre également. 2. Si on suppose que (—WN)*—1 soit divisible par €, je pe celte

quantité cr, çe qui donnera née dre (Ne }*. Mais si-l'on fait pour un moment: c—1— 920, — N—M, le sdeéne membre devient a — M}, lequel est déaible par x°— M ou x°+N. Donc x°+N divise également le premier membre æT"—1— er. Donc (n° 133) il y a nécessairement deux valeurs de æ, moindres que 5e;

qui rendent x°+ NW divisible par c; ces deux pce n'en font propre

ment qu'une, parce qu'elles ne différent que par leur signe.

Remarque. Nous avons démontré que N étant an nombre quelconque , et-c un nombre premier qui ne divise pas AV, la quantité MW! — 1 est toujours divisible par c; celte quantité est'le Droit des deux facteurs

N°+1, N°—1; il faut donc que l'un ou Vautre de ces deux facteurs

soit divisible par c; d’où nous conclurons que la quantité N* divisée bar c, laissera toujours le reste 1 ou le rêste —1.

ER (135) Comme les quantités analogues à N * se rencontreront Jréquemment dans le cours denos recherches; nous emp lotrons le caractère abrégé eo et | pour exprimer le reste que donne N * divisée par c; reste qui, suwant ce qu'on vient de voir, ne peut étre que 1 où—1.

tr TR D PR à et + he — TE 2 rem mn EN à

Dans l'expression a ) le nombre N est un done quelconque potitifou négatif, mais c est toujours un nombre premier, 2 excepté.

: - C— : ‘ Lorsque c est un nombre premier 42<+1, l'exposant est pair ;

au contraire cet exposant est impair, TE c est de la forme 47+-3. Dans le premier cas on doit donc avoir (— Y= C); et dans le second NN N ( © )= Re (©) ‘ à Une expression telle que (—) esttoujours le produit des deux ex«< pressions (©); ©). Car soit (= pm et ee )= ,; le sens de ces

et €c—:

expressions indique assez qu'on peut faire M *=mctu, NT nc +v, m et » étant des entiers; de là résulte (MAN) —(mc-+nu)(ne+-v); et il est visible que le second membre divisé par e laisse le reste yes

donc on a SE —)= (2. (@); ét ainsi pour un plus grand nombre dé facteurs.

Dans le cas de deux facteurs égaux; l'expression CS, > qui ‘est ja

mème chôse que eo) X ©); est toujours égale à 1, puisque cite facteur (5 ne peut éhe Que 1 Où —k.

a72 THÉORIE DES NOMBRES.

S.II.. Recherche de lw forme qui convient.aux diviseurs de la ! formule t?+au*.

(r 56). D, s la prmife e LE nous tegarderons à comme ün nombre donné positif ou négatif, et nous supposerons que { et # sont deux indéterminées auxquelles on peut attribuer toutes. les valeurs possibles en nombres entiers positifs, ou négatifs ; Mais avec la condition essentelle que! # ét wsoïent premiers entre eux. En eflét, sans cette ‘condition tout nombre pourrait diviser la formule Ba ; til ny aurait par conséquent aucune forme particulière qui caractérisät les, diviseurs de cette formule. Cela posé, on voit que pour une même Yaleur de 4, là formule Lau représentera une infinité de nombres différens, et dl S'agit d'examiner la nature dés diviseurs de cetté formule:

Soit p un diviseur quelconque dela formule + aw?,.et soit en. con= séquence Eau — Pp: je dis d'abord que les nombres # et p sont premuers entre eux: car si w°:et P avaient un commun diviseur 8, il'est clair que 8 diviserait Pp— au° ou #, et qu'ainsi £ et 4 auraient un commun diviseur, ce qui est contre la supposition. Puis donc que p et u sont premiers. entre eux, on pourra-(n° 13) trouver deux nombres y et q tels qu’on ait {—py+qu. Substituant cette valeur dans l'équation #+au=—Pp et divisant tout par p, on aura

pr +aqu+ (ES) =.

Mais puisque z n’a aucun diviseur commun avec p; cette équation ne peut g+a

subsister à moins que ne soit un entier. Donc le nombre p qui

divise la formule # + au*, divisera également la formule moins générale x°—a, en faisant x = 4.

(137) Non-seulement la formule à deux indétermmées # + au, n’a pas d’autres diviseurs que la formule à une seule indéterminée #+ «

SECONDE; PARTIE. : ; 173 ouæ ha; mais à cet égard la formule. 4#-+ Biu-E Cr, où 4, B, C sont des nombres donnés ;'n’est pas plus générale que les deux premières: En:effet si onsmultiplie la dernière par 44, et qu'on fasse 244 Bur, 44C—B°=—a, le produit sera :x*+au*. Donc.les diviseurs dela. formule 4#Btu+-Cu sont les mêmes que ceux de:la formule plus simple x°—aw, où seulement za, a étant égale à la quantité constante 44C—BP>?. E quoiqu'on ait multiphé par 44 la formule proposée, il n'y a PE même exception par rapport aux diviseurs qui ne seraient pas prèmiérs à 4, car en faisant t= B, la formule x 4 devient B°+ a où 44C; aie: est par conséquent aie par 4. ESA < Soit toujours p un diviseur quelconque de la formule- e+ au?, el Supposons que 6, y, d\, etc. soient les nombres premiers qui her P il faudra que at de ces nombres divise la formule x ARE ; ainsi, d’aprè ès le n° 154 et la notation Pots n° 155, >.1l faudra qu'on ait Je

équations £ : puy Res —à LE —0 +" À = = 1», Rens (— 1, /reic.

Ces conditions seront suffisantes ; au moins tant que p etan ‘auront pas de commun diviseur. ! |

(138) Revenons ? à la formule py* + 2qyu ee D = = P, et puis-

que LES fee = est un entier, faisons 2 —

=7r; nous aurons

P=py" + 2q7u + ru, Mais P peut désigner pareïllement un diviseur quelconque de la fors mule #+au*; donc tout diviseur de cette formule indéterminée peut être représenté par la formule de même degré py*-+2qyu+ru*, dans laquelle On à pr —q —4.

Et comme on est maître de supposer 4—1, puisque la formule #L& doit avoir les:mêmes diviseurs que la formule # au, il s'ensüit qu’on peut aussi représenter l’un quelconque de ces diviseurs par la formule pr° +29) -+r, où l’on a également pr—g*—a. Cette forme est plus simple que la précédente; cependant nous préférerons celle-ci, parce que ses coefliciens peuvent toujours être renfermés entre des limites connues et dépendantes du seul nombre a.

En effet, nous avons démontré (n° 46) que la formule indéterminée PY°+2qyu-+ru* peut toujours être transformée en une formule sem

blable , dans laquelle le coefficient moyen 24 n'excédera aucun des coef, ficiens extrêmes p, r; et.où l’on aura toujours pr—q =.

Supposons que cette réduction soit effectuée, et nous serons en droïf de re selon que 4 est positif ou négatif,

*. Que tout diviseur de la formule ##+cu°, où € ést un nombre posf ; peut être représenté par la formule py° + 29»5+-r3", dans laquelle on a pr—qg=c, 29<p etr, et par conséquent 4 LV 3

° Que tout diviseur dela formule # —cu’, peut être représenté par la Tree PY Reg ; Où l'on a pr+g=c, 2q<p etr;.et par conséquent qg< v'£ £! |

(139) Dans les deux cas, il faut se souvenir que les indéterminées y et. z doivent être des nombres premiers entre eux, comme le sont les indéterminées £ et 4 de la formulé proposée # cu. Avec cette condition , tout nombre P renfermé dans la formule Pr” + 2g73 Æ rs° sera nédeséirement diviseur de la formule Po.

Car supposons qu’on ait P=paaga6=ré*, et soit > = la fraction

convergente qui précède dans le développement de celle-ci en.fraction

continue. Si à la place de y et 3 on met ay + a°z et 6y} 6°x dans la formule indéterminée py* +agsre, le résultat sera (n° 53) de la forme Py°2Qys3+ Rs, où l'on aura PR=—Q°Æc. Donc P est diviseur de Q*Æc ou de #Æcu,

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SECONDE PARTIE. 173 GE QUO QC QG

$ IT. pplication de la théorie précédente à diverses formules. “{2pu2, t2 4 au, 1? au, ec: Conséquences qui ci résultent pour les ES générales des nombres premiers.

(140) P, ur avoir les diviseurs de la formule {* 4°, il faudra, suivant la méthode du $ précédent, faire c=1,prqg =, eq y#%, on aura donc 90, pr=1, p=r=æ1, et le diviseur py° + 2qy3 re se réduit à 7° +z°. Donc « tout diviseur de la formule # Hu*, com- » posée de deux quarrés. premiers entre-eux,.est également la somme » de deux quarrés premiers entre eux. »

Ce théorème étant d’un très-grand usage dans la théorie des nombres, nous croyons devoir en donner une seconde démonstration fondée sur d'autres principes.

Soit N un nombre quelconque qui divise la somme de deux quarrés premiers entre eux {+ u*, on pourra supposer que les nombres £.et z ne surpassent pas + NV; car puisque N divise 1’Æu*, il divisera également (e—aNY —- ne } ; or les nombres & et 6 peuvent toujours être pris de manière que t— 2N et u— EN n’excèdent pas : W.

Cette préparation étant supposée faite, la quantité + sera moindre que 2 N°, ainsi en faisant + u — NN. on aura V'< 1 N.

Et d’abord si on avait V1, le none IN serait itégal à à + ur, et la proposition serait vérifiée.

Soit donc .N’ >> 1 ; puisque. N° divise € +, il dise aussi (t— aN'Y +(u— EN); or on peut prendre & et 6 de :manière que t— aN" et u—CN' n’excèdent pas 2 NV”, Si l’on fait donc dans cette hypothèse | (EE aN) +(u—CNY =NN",

on aura NW" EN". Multipliant ‘cette Éd ton membre à membre par

Péquation # +w= NN, on trouvera quele produitpeut être mis sous la forme

(Eu = QEN — CuN'Y + (auN' — CIN ÿ = NN°N°.

Substituant dans le premier membre NW au lieu de + u*, et divisant tout par {V*, on aura

Res + (au— 6) = NNT.

Si dans ce nouveau résultat, on avait N"— 1 , le nombre } serait égal à la somme-de deux quarrés, et la proposition serait démontrée. |

Soit donc encore NV" 1, alors, en suivant, la même marche, on déduiradu produit IN” un nouveau produit NN"où l'on aura N° <:N", et qui sera exprimé pareillement par là somme de deux quarrés.

Mais la suite des nombres entiers V, NW’, N", IN”, etc. dans laquelle chaque terme est moimdre que la moilié du précédent, ne saurait aller à infini; on parviendra donc nécessairement-à un terme égal.è à l'unité, * et alors le AIRES N sera <a à la somme de UE quarrés, |

(4) Revenons à la méthode générale, et proposons-nous de déter= minér les diviseurs de la formule # + 24°. On aura, dans ce cas , ce —2, pr—g=2,q< V33.donc il faut faire encore, g=—0, ce qui donne pr=2, et par conséquent pr, r— 2. Donc le diviseur PY"2qys rs"

‘ Sera toujours de la forme y*-E 23° semblable à la formule dividende

Soit encore la formule 4 — au Mat nous représenterons un diviseur quelconque par py°+ PORTE > On aura C — 2, > PER Sr D; q< Vs: Il'en résulte 79—0 et pr—2, ce qui be 1,72) OUP—2, = 1, Donc tout diviseur de a formule #— 24° peut être représenté, soit par y°— 2%, soit par 2y*—z, Ces deux formes, au resté, se réduisent à une seule, car nous avons déja observé qu'on a

D ceraa(D ei 2) eee (0 m2 : On trouvera de la même manière , que la nue à + 5u° ne peut avoir pour diviseur impair qu'un nombre de forme semblable J'FSS", et aussi que la formule £ — 5u* ne peut avoir pour diviseur impair que June ou l’autre des deux formes 7° — 5, DES RE Or il est aisé de voir que Ces deux formes se réduisent encore à une seule, puisqu'on a

RE en 5(7 — 22) —G@y—5).

Donc en général « tout nombre compris dans l’une des formes w, »p Ha, lou, LHGu, P— bu, t et w étant premiers entre » eux, ne peut avoir pour diviseur qu'un nombre de même forme. Il

Parme rer CE TE ME ER Eee

ET RSR LE SN RE RS in Le ER : uses

“SECONDE PARTIE. 177 » faut excepter seulement, à l'égard des deux dernières formules 4 + 34°,

Ces diverses formes, qui ont l'avantage de se reproduire dans leurs diviseurs, ne sont point incompatibles entre élles; elles se trouvent au contraire réumies assez souvent, deux ou Diasetre ; dans le mêmé nombre. Aïnsi on a 89 =8° + 5=— 09° + 2.2; 241 = 152% — 15: 2.6 21° — 2.10 = 7 5.8? — 512 — 5,12,

(142). C'est ici le lieu de développer quelques-unes des propriétés des nombres fondées sur la combinaison des quarrés pairs et impairs ; et d’abord observons qu un quarré pair (2x)° est toujours de la forme 47, et un quarré impair (2x + 1}° de là forme 82 +1. En effet on a

de plus, cet entier est un nombre triangulaire (x). . 153$

est toujours un entier, et

G)-Voici Les différentes séries de nombres auxquels on. a donné le nom de rombres figurés :