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etc. | etc., etc.
La première série À est celle des nombres naturels dont le terme général est n;
é pres) Kra LEE EE DR
la‘seconde série"Z est celle.des nombres triangulaires , son terme général est = 4
Si de ce terme général, qui est'le n°" terme dela série By, on'rétranche le térme & »q ;
précédent.de la même série, lequel est , le reste sera 7, Qui est le terme:
général. ou} ni" terme de latsérie 4.-Donc: on formera le n° terme\de: latsérie Z ; en, ajoutant lé (n—1)" terme dela même série avec le n°”* de la série 4.
:Lia troisièmetsérie C est celle" des nombres de ae dont le terme général est!
nhHi.n+Lo . Sa 1.711 L Rite, si de ce terme on retranche le précédent eu k de la même! ŒE à A tas
. Puisque y° et z* ne peuvent être que de l’une des formes 47, ën Hi; on établira immédiatement les trois propositions suivantes :
1°. « Tout nombre impair ons pr la formule és Le est de la
». ». forme An ch X ; Æ 2% Eout nombre-iipair représenté par là formule F “a 23*.est de » l'une des formes 8n +1, 82.3: » :
5°. « Tout nombre impair représenté par la formule y? — 27° est de
» l’une des formes 8» + Fr; 8 +7. »
De ces trois propositions résultent , par voie d'exclusion , ces trois
autres : FER nn RE PUR nombre de h forme ose 3 ne peut être D réel par « 2 ap)
5, « ue nombre, des. formes 8n + 5, 87 + 7 ne peut ètre repré— » senté par 7° + 27, »
16. x Aucun soie des formes 8n +5 5, &n <e su ne as être D »senté pe P— 27.0
Cela posé, il sera facile de Sénbier fou quatre orne suivans ; qui sont-d’une grande importance dans l-théorie -des nombres.
Fes 45) Ciionème Le « Tout nombre premier fn É 1 est . somme de
» deux quarrés. »
Soit ce nombre premier == = 4n Fe 1, On aura DT HI LP — 1 = (x + 1) (a — 15! denc (n° 133) il y aura 27 valeurs de x, comprises entre + {cet—21e, qui rendront x” 1 divisible par c. Mais æ* 4e x est la, somme de se quarrés premiers entre eux, donc (n° r40)
«RH 1 : FER série, la différence. sera = ae ; qui est Je n°" terme de Ja série; 2. Donc. on pent
fornenils série, Crau moyen de la série.P, comme on a forméicelle-ci.anmoyen de la série À.
H.en ést de même de la quatrième sérié D, qui est celle des nombres triangto=
nn .n + 3
iriangulaires ; étdont lerternie général est 2 Tang
Les termes: généraux que nous donnons ici comme définitions , et d'où nous” déduisons la loivde: formätion successive, renferment route Ja tHéoe des nombrés’ Béûtés, et offrent. immédiatement la, démonstration ‘d'une, proposition générale: dont Fermat fait mention dans ses notes sur Diophante, pag. 16, et qu'il HR comme! une de ses principales découvertes. F
} etkinsi des autrés!
Re AT ER Ce REG EEE PL RE DS TERRE RG SR ne oran ET à
SECONDE PARTIE, 179 son diviseur & est également la somme de deux quarrés premiers ; donc on pourra toujours supposer € ==7* = 3°. (1).
Remarque. La forme 4nk 1 renferme les deux formes 821,846; donc tout nombre premier soit de la forme 87+4-1, soit de la forme Br ++ 5, est la somme de deux quarrés.
(144) Tuionème JL, «. Tout nombre premier .8n + -1-est à-la-fois des trois formes y°-+ 2 IH, Jar
Soit ce nombre premier 6e = 8x + 1: on a déjà prouvé n il doit être de la forme y* + 2°, ainsi il reste à démontrer qu'il st en même temps. des deux. autres formes y* +22, y — 272. Or-on a AT mdr (xt — x (xt r); donc.(n° 133) il ya 4 valeur de x comprises entre + kc et —:c, qui rendent le binome æt"—r divisible par c. Mais d'abord le Hana xf® 1 peut se mettre sous la forme (1 +2, x, laquelle est comprise dans la formule "ou, £ et u étant premiers entre eux; donc son diviseur c est de la forme y*+ 22.
En second lieu, le binome x‘"—+ 1 peut aussi se mettre sous la forme (x%® + 1)° — 2x, laquelle revient à “*—2u°; donc son diviseur c doit être également de la forme JT 2.
Donc tout nombre premier 82<+-1 est He des trois formes
J'+ 2, Jr 22", J'—2#. Et pour en donner un exemple, 158" Cr 6°—=09 —2.2.
(145) Tuéorème IL. « Tout‘nombre premier 87-58 est de la forme » ÿ* + 22°.5 &
Car en faisant c—8n+3, et prenant en D eslier. x—2,) la formule x 1 devient 2°#%%—1={(2f##i 1) (2ftti br); donc il faut que l’un de ces facteurs binomes soit divisible par c. Maïs si le premier facteur, qui est de la forme 2#—u?, était divisible par c, le nombre ,c lui-même serait de laforme 2y*—3* ou 723, laquelle, comme on l'a vu n° 142, ne peut convenir à aucun nombre 82-43. Donc c divise
(:) Cette proposition a été démontrée ci-dessus (n° 52) d'une manière encore plus directe ;.et elle résulte également de ce que l'équation x? — cy*=— 1, étant toujours possible dans ce cas, c doit être diviseur de: x° +1. :
-nécessairèment le-second facteur 2.2#"+-r, lequel: est de la formé Heron? donc c est de la même forme y° 25° (1).
- (146) Rs IV. « Tout nombre premier 82 + 7 est de la forme »F* — 22 HR T
Car en re C—8n+7, et prenant. encore x—=2, On aura.... DT — 1 (244$ Er) (2448 1); le premier membre (n° 129) doit être «divisible par c; donc il faut que c ‘divise l'un des facteurs du second membre. Mais en doublant ces facteurs, et faisant 2°"**=—%X, ils de- Viennent A2, f=2 ; or sic divisait Æ2, il serait de la forme y? +23, laquelle (n° 142) ne peut convenir à aucun nombre 872 + 7. Donc c divise nécessairement l’autre facteur 4*— 2, donc ïl est de la ‘forme y°— 23° (2).
