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SECONDE PARTIE, 225 le développement pour les différentes valeurs du nombre premier c, fournit une multitude de théorèmes intéressans sur les nombres premiers. Lorsque À est un nombre composé, il ne suflit pas qu’il soit compris dans les formes 4cz+-b qui conviennent aux diviseurs de # Hcu*, et malsré cette condition, il pourrait bien n'être pas diviseur de cette formule. Par exemple, lorsque c= 41, la forme 1643 + 57. contient le nombre 221=—153.:17, lequel n’est point diviseur de {*-41u, car &4rut n’est divisible ni par 15 nipar 17.
(197) Tuéorème. «Soit c un nombre premier. 423, et 4 un divi- ». seur impair quelconque de la formule cu’, je dis qu'on aura tou-
HE A » jours =>) = 0) Car soit & un nombre premier 42+-1, et 6 un nombre premier £ ae = C Lie, y 4nb+ 3, tous deux diviseurs de &Lcu*, on aura =) = e (5) fe ONE, CN ft DR AT NE CASE Où (-)T1,,(z)= 1; donc réciproquement 5) 15 )=r. Donc tout diviseur / composé du produit de plusieurs nombres pre- : A miers æ et 6, donnera (£)=x.
Corollaire. Tout diviseur impaw de la formule #-Lcw*, peut être
» » 7 Ci . .
représenté par 2c3—+a, a étant l’un des nombres impairs et
CEE pe sure À DZ : TN.
moindres que 2c qui satisfont à l'équation (£ jÆ 1. Par exemple, si c—59, tout diviseur impair de la formule £* + bou* pourra être représenté par la formule
mu8s+1, 3, 5, 7, 9; 15, 17, 19, 21, 25; 275.20, 35, 41, 45; 49, 51, 55, 57, 63; 71, 75, 70, 81,,85; 87,95; 105,:107.
On démonirera aussi, comme dans le cas précédent, que tout nombre premier compris dans la forme linéaire 2634 est nécessairement diviseur de 4 cu.
Remarque: On. trouverait de même, à l’égard des diviseurs de la for mule #— cu, les théorèmes suivans :
1°, Soit e un nombre premier 4-1 et / un diviseur impair quel-
conque de la formule #—cu*, on aura (£ ) —1; donc 4 sera toujours
de la forme 2634, & étant l'une des —— solutions de l'équation
(=: ét réciproquement tout nombre. premier compris dans les me)
formes 2c3—-a sera diviseur. de la formule. #— cu. 2°. Soit « un nombre premier 4r-+3 et 4 un diviseur, impair (quelconque de la formule #—c1; si 4 est, de la forme 47-41 ,.0n aura
(=, etsi À est de la forme 4743, on aura (=; de
là on tirera aisément les formes linéaires qui conviennent au diviseur À.
Réciproquement tout nombre premier contenu dans ces formes sera diviseur de la formule #—c.
* (198) Considérons maintenant les diviseurs de la formule # + 2cu*, c étant un nombre premier.
. Soit d’abord c—œ4n—+r, et soient a, a’, a", a”, des nombres premiers respectivement des formes 8m-+1,8m+3,8m-5,8m-+-7, tous diviseurs de {+ 2c4*, on aura dans ces différens cas (n° 134) :
ere 2% y 0) à t 2C 2cC 2c \ gs 1, à = —T, T = I; ru et L
Mais on a en même temps (n° 148) 2 Ë 2N VA DÉNVERS 2 (GDS CR (ETS
d ENS NE CNYES ENS à É fl
onc F I, 7 = 1, a =, 7 —=— 1, onc recia d a” a”.
proquement Êe 1, (= )=5 (Æ)=—:, (==:
Soit maintenant Z un nombre quelconque de l’une des deux formes 8n— 1, 8n+53,et soit B un nombre de l’une des deux autres formes 8n+5, 8-7; le nombre 4 résultera nécessairement du produit d’un nombre quelconque de facteurs 4, & par un nombre pair de facteurs
a’, a", et ainsi on aura toujours (ES); de mêmie le nombre BF résultéra du produit d'un nombre quelconque de facteurs 4, 4’, par un mombre ‘impair de facteurs 4", 4”, et ainsi on aura: (=) —=— 1.
Soit en second lieu c—4n+3, et soient toujours a, d, etc. des
nombres premiers des formes 87 + 1, 843, etc. lesquels divisént la formule 2 2cu?, on aura, comme ci-dessus,
