x? a équation
—e. Donc puisque æ et ÎV sont premiers entre eux;
l'équation — 2
® Soit en second lieu M—4"€", et soient 4 et B les valeurs de x qui ra x°+a À
— Co Fa (S.
(n° 14) les deux valeurs x=A+47, y7=ÆEB+6E"z, il est clair qu'on aura, à Cause du signe Æ, deux valeurs de x de Ja forme ire OP + Nx, chacune desquelles peut être rendue moindre que +} en prenant pour:x’ la valeur convenable. Donc dans le. cas des deux facteurs i PA æ, 6, l'équation Roposge aura deux esolutions. : :
S'il:y-a un Done facteur.» ,il faudra combiner la valeur trouvée
—e; sion combine ensemble
satisfont aux équations
ak He Ex’, ayec:une troisième formule x—"E EC+) z, etil est
évident que l’on aura’ quatre solutions de la forme K’+x 6“'a", ou RO Nx",:lesquelles-pourront ‘être rendues moindres que +.
En SC chaque nouveau facteur double le nombre déstsplutions
—e ne pourra avoir qu'une solution moindre queïæ .
obtenues par les facteurs précédens. Donc on aura en tout 2/7 solutions,
i étant le nombre des facteurs a (Es , 7, etc. dont N'est composé.
Remarque. Si N est double d’un impair, l'équation £ es le aura
également 2: solutions. Car si 8 est une valeur de x qui rend x°+a
divisible par ZW, cette valeur‘#.,, ou au moins EV— 6, rendra awt-a divisible par JV.
(191) « Soit N impair ou double «d’ün impair; si les -deux nombres » Net a ont un commun diviseur w , lequel ne soit divisible par aucun
= , ee 7. , eZ Le a . AE .
» quarré, je dis que l'équation —e aura toujours 27° solutions, » -{ étant le nombre de facteurs premiers impairs et inégaux qui divisent » J\ sans diviser a. »
En effet, soit VN—oN, a—w4, x—=wx, l'équation proposée der. viendra Re , “et parce que © et JV’ n’ont pas de commun diwiseur, on peut faire fo—pN'=—1,ce qui donnera l'équation réduite 2 Pas LA 2 De ; »
IE Or celle-ci, où N''et fa sont premiers entre eux, admet autant de solutions qu'il y a d'unités dans 2", À étant le nombre de facteurs premiers impairs et inégaux qui divisent ÎV'; et si l’on fait en général x'=6 + N'x", on aura x=00+oN'x"— ON. Donc il ÿ aura autant de Ph de x moindres que = qu'il y a de valeurs de :æ’. moindres que 44; donc le nombre de ces valeurs est égal à 27”.
192) « Si le nombre V, impair ‘ou double d’un impair, a un com- » mun diviseur quelconque avec 4, et que ce diviseur soit représenté » par œ4?, ensorte qu'on ait N—4{’N', © n'étant divisible par aucun » -quarré, je dis que l’équation Te aura autant de-solutions qu'il »ÿa d'unités dans +}. 27", i étant Je nombre de facteurs premiers » mpairs et inégaux qui divisent ÀV’.»
Car dans ce cas, on a a—4"«d, x—"ox', et l'équation à résoudre devient a ee = =e, kquelle, comme ton ‘a vu dans le n° précédent,
‘donne 2i? de de x’ moimdres que + N°. Soit-én général L'HIAN GS"
on aura donc x=440-+VoN'x"; orcomme il suflit que les valeurs de æ soient moindres Ou non plus de que N=1#dl'oN, ilest: clair -qu'on peut donner à "les valeurs successives 0,1, 2, etc. jus-
Le
PE RL ge ee ethernet me Eee À
SECONDE PARTIE. 419 qu'à Æ£E(L— 1). Le nombre de ces valeurs est évidemment 4; donc chaque valeur de x’ moindre que 3 V', donnera | valeurs de x moindres que + V; donc le nombre de toutes les valeurs de x sera 4.27.
Remarque. Cette formule est vraie, même lorsque : =0, c’est-à-dire lorsque lé nombre ZV ou au moins sa moitié est diviseur de a ; alots élle se réduit à £L, mais il faudra compter comme entier la fraction con-
tenue dans £{, de sorte que si Ÿ—2h+1, on prendra hr pour +4.
$ IX. Résolution des équatioris symboliques (©) = Ee
=: c étant un nombre premier.
(193) Soir c un nombre premier quelconque, et soit proposé de
. . N » . T trouver toutes les valeurs de. x qui satisfont à l'équation C)= > Où Ti —1
—e. Il est aisé de voir qu'on peut faire x—7*, y étant un
nombre quelconque non-divisible par c; les différentes valeurs de x
= \ fC—IN\2. ë seront donc 1, 4, 9, 16.... jusqu'a ( ) inclusivement. Ces va-
leurs peuvent être abaiïssées toutes au-dessous de c, en retranchant les multiples de c qui y sont compris, et leur nombre est , comme on voit,
; il ne peut être plus grand, parce que l’exposant de x n’est que
C—1] . . . , —— ; il n’est pas moindre non plus, car si deux quarrés n°, n°, chacun
. C—1\? . . A A moindre que ( ) , laissaient le même reste ou la même valeur de x, il faudrait que r»#°—n? füt divisible par e, ce qui ne peut être, parce que »m3—n et mn sont tous les deux moindres que c. Nous
se LE
. c . , . æ connaissons donc les solutions de l'équation (E)= 1, Ces so
lations étant comprises entre o et c; mais comme il s’agit seulement
des solutions en nombres impairs, parmi les valeurs de x on conser-
vera les nombres impairs, et on ajoutera € aux nombres pairs, ce qui ;
C . . . 0 . Q % fera encore solutions impaires comprises depuis 1 jusqu’à 2c—1.
Pour parvenir immédiatement à ces solutions, on formera, par le moyen des différences, la suite des quarrés impairs, comme on le voit ici :
Différ. 8 16 24 32 40 48 56 Quar. 1, 9, 25, 49; 81, 121, 169, 225, etc.
La
PTE ae que — DT TIRER ENSEMENES STI RRRUESR A EETTET LEE - = æ TR TR nt TR es - de. one. mens cs RE
SECONDE PARTIE. : 221 On retranchera, tant dans les différences que dans les quarrés, les multiples de 2c à mesure qu'ils se présenteront, et = suite des quarrés,
Cie ou plutôt de leurs résidus, continuée jusqu’à
= termes: ; Contiendra toutes les solutions de l'équation (= 1, impaires, positives
et moindres que 2c. Ensuite ces solutions pourront être augmentées
d’un multiple quelconque de 2c, ce ei donnera x=—2c3-+-b, b'ayant
L yaleurs différentes.
: LR \ Fa her ë 5 Connaissant ainsi toutes les solutions de l'équation (E)= , On aura!
par voie d'exclusion toutes celles de l'équation (#5) —œ— 1. Car les
nombres moindres que 2c, qui ne sont pas compris dans les solutions:
L ’ æÆ . » Q ’ Q va = de l'équation =: ,; Satisferont nécessairement à l'équation (==;
. ; C— et le nombre de ces derniers sera encore
; car le nombre des
termes de la progression 1, 3, 5, 7.... 2c—1 étant c sion exclut le
terme € quine satisfait ni à l’une ni à l’autre de ces équations, il res-.
tera c—1 termes dont la moitié satisfait à l'équation = ,;etl’autre
moitié à l'équation (2) = —"4;: Il est inutile d'ajouter: que les’solu-.
tions deicette dernière équation peuvent être aussi augmentées d’un Altple quelconque de 2c.
- ( 194) Exemple Fi Soit =, on formera, au moyen des différences, la suite des quarrés, impairs, et on, retranchera tant des différences que des quarfés, les multiples de 82 à mesure qu'ils se présentent.
Voici l'opération : PRE te Différ. 8 16 a 32 40 48 56 64 72° 80 Quar. 1, 029; 40 01 4212-00; 87 —5, Gr, 125— 43, PRE Différ. 88—6 14 22 30 38 46 54 (62 Quar., 115251, 37, 51, 76,105 = 2159; 105 = 25,77, Différ!? yo 11 108 LU 864 0: * Quar: 139— 57; 12745; 125 — 41 —c.
Les vingt premiers termes rangés par ordre de grandeur, donneront la formule suivante , qui renferme toutes les solutions de l'équation
On remarquera que les vingt valeurs numériques qui suivent 82z, et qui sont proprement les solutions: de l'équation proposée, sont telles que chaque valeur. est accompagnée de son complément 2c—b, les deux ensemble faisant constamment 2c. C’est ce qui aura lieu généralement toutes les fois que le nombre c sera de la forme 4m+-1; en effet si Br est divisible par ©, il est clair que (2c—b)"—1 est également divisible par c. Donc alors la solution ou racine, & est toujours accompagnée de la racine 2C— 6. Il n’en serait pas de même si c était de la forme 4m—+-3, et on voit, au contraire , que si 4 satisfait à l'équation
nt {
FLN > 2 . U pr . T mia (£ J=1 ; Son complement 20— 8 satisfera à l'équation (2) =.
. (195) Exemple LT. Soit e—59, 2c— M8, omprocédera ainsi:
Différ. 8 16 24 32 40 48 56 GX 72 80 88 96 Quar. 1, 9, 25, 49, 8x, 1215, 5», 107, r71=—58, 1257, 87, r75—=57.
Différ, : 104 132; 120722! 10..18 26 34° 42 5o: Quar. 12355, 13921, 153—15, 17, 27, 45,:71, 109, 14729.
Différ. 58 66 74 82 90. 98 106 114 Quar. 79, 137—10, 85, 159—41, 123—5, 05, 193—75, 181—065.
Rassemblant par ordre ces 20 résultats, on aura la formule suivante,
qui contient toutes les solutions de l'équation =
L “7 . 7 . T x » 4 Par conséquent les solutions de l'équation ) =—1,-seront :
S X. Recherche des formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de la formule t* + ou°.
Née examinerons d’abord le cas où c est un nombre premier, ce qui fournira deux théorèmes principaux.
(196) Tnéorème. « Soit c un nombre premier 47 1, et 4 un divi- » seur impair quelconque de la formule x°-+-1 ou .£* Æcu*, je dis qu'on
» aura (£ JE si À est de la forme ARE US et C )=— 1 si À » est de la forme %4n-43, » :
Gär ‘soit # an nombre ‘premier 4241, et 6 un nombre premier 4n—+3, tous deux diviseurs de x*+-c, on aura, suivant le n° 134,
(=: et ()=: , ou E)=: ét ()==1. De: on conx clut, par la loi de réciprocité, ( = 1 et ( =) = = — 1. Mais le
nombre À, sil est de la forme 41, est le produit d’un nombre quelconque de facteurs & par'un noïnbre pair de facteuts6, donc dans
ce cas (2) — 1; et si le nombre À est de la forme 4n +3, il résulte du produit d’un nombre quelconque de facteurs « par un nombre i im
pair de facteurs 6, donc dans ce second cas on a (£ ve — 1.
= nombres im=
Corollaire; Donc si on désigne par & l’un des -
LAN pairs moindres que 2c qui sausfont à J'équation ( 4 Je X ; Oh aura
A —2c3+-0. Mais parmi lés nombres b, on peut conserver ceux qui sont de la forme 471, et ajoutér 2c à ceux qui sont de la forme
| pi 4n-} 83 on-aura par ce moÿen
moindres que ss Soit 4 un de ces nombres, On aura Â=—%e5+ a,
‘ce qui donnera = = formes linéaires.des diviseurs 4n-1-1 de la formule ÆÉtouts
: nombres de la forme 441,
Pareillement, si on réduit à la forme 4724-53 toutes les solutions de
Le . T .
léquation (=) —=œ—1, ce quise fera, en conservant les nombres 47--3,
et ajoutant 20 à céux qui sont de la forme 421, on aura res
nombres de la forme 473, et moindres que 4c; soit a l’un quelconque de ces nombres , et l'expression 4cz—a sera la forme générale des diviseurs 4243 de la formule # + cu?.
Ainsi, par ‘exemple , les diviseurs 4721 de la formule # H4ru* seront compris dans la formule
un 159, 21 DE. 33, 37, G5, 49, 57; 61, 75, 7m 81, 10); 113,.121, ee LAS 144
Et les diviseurs 423 de la même formule seront compris dans Îa formule - , + se TNT LD 0; 27) 35, 47:55:63 ; 6730715" 795 79 995 99, 111,155, 147, 151.
On conclura de là, par voie d'exclusion, les diverses formes, soit 4n + x, soit 4n+5, qui ne divisent point #+/4iw. En général il est aisé de voir qu'il y aura toujours autant de formes pour les non-divi-
seurs que pour les diviseurs, ce nombre étant égal à , soit dans
la forme 47-71, soit dans la forme 4n-+ 3.
Remarque. Tout nombre premier contenu dans les formes actes des diviseurs de # +cu* est nécessairement diviseur de + cu. Car
soit À ce nombre premiér, s'il est de la forme 4n=3, Oh aura ra (Ce = ; - donc (5 S)=1 : donc À est diviseur de Po.
” Si Z est de la forme VASE on aura () —=—1, donc = = —1, donc: A est diviseur de + cu.
Cette remarque est le fondement d’un grand nombre de propriétés
des nombres premiers; Car puisqu'étant donné c on peut déterminer
a priori toutes les formes linéaires 4cz+b dont sont susceptibles les
diviseurs déla formule # cu* ; et que d'un autre ‘côté on peut: aussi
déterminer ‘toutes les formes AACLAUASS pr° + 2973 +7 qui con-
viennent à ces mêmes diviseurs, il s’ensuit que tout nombre premier ren-
fermé dans l'une des formes linéaires 43 D, doit étre de l’une des
formes quadratiques py° + 2qy2+r3". Proposition très-féconde, et dont
