un nombre premier 421, on aura toujours (£)= Let
» en — 1. )) Los
IT. « Z étant un diviseur 824 1 ou 827, et B un diviseur 87+-3 ou 875 de la formule #+-2c4*, dans laquelle c est un nombre
» premier 47-53, on aura toujours (£ )=—: et (Æ V=— x. »
(199) De là on voit qu'on peut ne ne a priori toutes. les formes linéaires 8cx+-b qui conviennent, soit aux diviseurs Z , soit aux diviseurs B de la formule 4° + 2cu°.
Par exemple, soit c—20, les solutions de l'équation (2) +, étant
LA 8x, 5, 7, 0, 13; 25, 25, 55, 55, 45; 40, 51, 55, 57,
si on concilie ces solutions avec les formes 8n-Lr et 823, on aura toutes les formes des diviseurs 821, 8r<-3 de la formule & + 58u*, lesquelles sont:
A=2323#H 1, 0, 25, 33, 3h; 49, br, b7, bo, G5; G7, 81, 83, 91; 107; 119, 121, 123, 120, 130; 161, 169, 170, 187, 209; 210, 225, 227.
On trouvera de même les formes des diviseurs 825, 82—7, de la même formule, lesquelles sont:
Soit encore 611, l'équation =: ayantpoursolutions 42251,
3, 5, 9, 15, si on ramène chaque solution aux formes 82 Lx et 8n+7, on aura toutes les formes des diviseurs Mrs et Bac de la formule #—+ 22u°, lesquelles seront :
De même les solutions de l'équation ()=— 1 étant x —= 2237, 13,
17, 19, 21, si on les réduit aux formes 82-13, 8245, on aura toutes les formes des diviseurs 8745, 82--5 dela formule #+ 22u?, lesquelles seront :
(200) Ayant déterminé les diverses formes linéaires 8cx + & qui conviennent aux diviseurs de la formule # + 2cu°, on peut démontrer que tout nombre premier compris dans ces formes est nécessairement diviseur de &# H cu; car si, par exemple, Z est de la forme 87453, etc
de la forme 47 + 1, on aura (n° 198) (£) — 1; de à, on déduit ( 2) — 1; d’ailleurs on a, par la forme du nombre 4, (2) = —1; donc (=) = 1, donc À est diviseur de & -- 2cw°. Les autres cas. se
démontreront de la même manière.
Remarque. est essentiel d'observer que, quel que soit le nombre c, premier ou non, POSItiE ou négatif, les diviseurs linéaires de la formule te + cu seront les mêmes, soit que ces diviseurs soient supposés des nombres premiers , soit qu'ils soient des nombres composés quelconques:
En effet, si on considère seulement parmi les diviseurs-de la formule # — cu, ceux qui sont premiers à c (et il est inutile d'en considérer d'autres , parce qu’on sait bien que tout diviseur de c divisera Ja formule # + cu), et qu'on représente par 2c3 + à lun des diviseurs linéaires dont il s’agit, à sera premier par rapport à c, de sorte que la formule 2c3--b contiendra nécessairement des nombres premiers ;-èt en contiendra même une mfinité (Voyez ci-après n°405). Donc la forme 2c3 + b sera comprise parmi toutes les formes, possibles des nombres premiers qui divisent la formule # cu°; donc il suffit de chercher toutes les formes linéaires des diviseurs prèmiers , et celles-ci comprendront absolument toutes les formes possibles, tant des diviseurs simples que des diviseurs composés:
Cette remarque abrégera singulièrement les calculs nécessaires pour déterminer a priori les formes linéaires des diviseurs de la formule + cu, c étant un nombre composé. Nous allons appliquer cette méthode à quelques cas généraux ; ensuite nous indiquerons une autre méthode moins directe, mais beaucoup plus expéditive pos remplir le méme objet. 5 7e
(201) Prosrème. « Soit c = a6, # et 6 étarit des nombres premiers » quelconques, 2lexcepié , on demande quelle: doit être la forme du » nombre premier #, pourique Z divise la formule # - a6u°, »
Te à , . = € H . . . { - .Il faut en général qu'on ait (=) = 1; mais pour satisfaire à cette
équation , nous distinguerons deux Cas, selon que À est de la forme fc 1, ou de la forme 4n + 3.
. Si À est un nombre premier 4n 1, l'équation : a résoudre sera
(£ à. e =) —=1, et on n'y peut satisfaire que de deux manières , l'une
en supposant É = ETS ( =)= —1, l'autre en supposant É D = = 1; == : : 55 50 YA > Dans le premier cas, on aura, par la loi de réciprocité , (©) RE A à, LE r» « La , | 2 d'A » k La ce = 1. La première équation étant résolue, comme il a été expliqué
LE en et les solutions étant toutes réduites à la forme 471, on
aura <—— valeurs de Z de la forme 4zz a’; la seconde équation don-
néra pareïllement 2 = valeurs de 4 de la forme 462 He 6!. Donc si On
fait accorder ne des formules 4az-} 4 avec chacune des formules
; NRC RE 463€", on auraen tout = = : Eire = formules de cette Sortie gère
A = Labs + y.
Dans le second cas, on aura semblablement les équations (=: ;
e )= — — 1, lesquelles étant résolues char puis combmées entre
elles , fourniront de même < De = formules de la forme." ......
A = bats 2°. Si À est un nombre premier 42. 3, la condition à remplir sera
ls fa [EN re . 1, ou (©) 2 (5) = 1. On n’y peut satisfaire que de deux
manières , soit en fupposant (5 D — CE e 2) ——1,s0it en supposant
=, 6 aie
La HU manière He as la loi de réciprocité (n° 164) ( = NE Le )=(— a ‘2 ; et comme ces équations rentrent
toujours dans l’une ou l’autre des deux équations (=: : O7
c étant un nombre premier , 1l sera facile d’avoir la valeur de Z qui satisfait à chacune de ces équations. Ensuite la combinaison des valeurs
PR Pre © 73 = de solutions toutes de la forme, ...
æ donnera un nombre 4abz + a.
La PreRIRre manière de Rise à la question, donnera. es + (=) = (— D QE D+ ? , et on en tirera des conséquences
Ca Il ÿ aura donc en tout quatre formules générales 4263 + 4, —1 C— 1.
Pa
tôntenant chacune pour 4 un nombre de valeurs =
(202) Si on suppose c— ay, a, 6, y étant trois nombres premiers iMégaux ; 2 excepté, on sy prendra d'une manière semblable pour trouver la forme des différens nombres premiers qui peuvent divisér là formule £ + cu.
Soit À l’un de ces nombres, il faudra en général qu’on ait =) mn. Supposons d’abord 4 de la forme 47 + 1, cette éqson deviendra
EE ): ee de 1, et on ne pourra y satisfaire que e ces quatre
manières :
ANS : EN DES = Der @= æ (a CENT maso eN 6\- Y\ & ()=-1, (5 1, (> HA
