e 1, & re

: : Er TA Dans le premier cas, on aura, par la loi de réciprocité (=)=+, æ

A A « » \ . , 0 () Er, (5) == 1; 0r les valeurs qui satisfont à Ces équations sont de

EN SR DELRREERELSES SAR 5 ZE; sd - man ane a EE Rens D RE si ne ke Tu Tr tr meme RS ST ee à

SECONDE PARTIE. 23% la ‘forme VE 4uz + a À A = 463 —- 6, À —= 4Y72+ Fes 2 ayant nn

valeurs moindres que:44, 6’ ayant VET

— valeurs moindres .que 46, et

y‘ ayanb

valeurs moindres: que 47. Donc si-ow-fait.accorder les

trois valeurs 443 a, 4636", 4737", suivant toutes les Combi-

maisons possibles, on aura une nouvelle formule 4=— 44675 + 4, dans

Fm Del 2 2

Il y aura une formule semblable pour chacun des quatre cas qui sont

x considérer lorsque 4 est de Ja forme 42 + 1. Il ÿ en aura quatre

pareilles pour représenter les valeurs de Z lorsque Æ est de Ia forme

4n +4 3. Donc on aura en tout huit formules, chacune renfermant a—1 C—1 — 1 FR À a —— formes différentes.

. C2 laquelle 4 aura-un mombre devaleurs

I n’est pas difficile de voir que si c contenait un quatrième facteur d\, le nombre des formules deviendrait double , et le nombre dés formes dr, C4 pr 91 |

contenues dans chacune serait ——.——,. >, On peut donc

établir cette conclusion générale.

«Sion désigne par. le nombre des facteurs premiers &, 6 ; y, etc. ». qui composent le nombre €, les diviseurs impairs de la formule + cf » seront représentés par 2" formules 4 —4ez+ a, dans chacune des- EE » de sorte que le nombre de toutes les formes linéaires contenues dans:

» ces formules sera (&æ— 1) (6— 1) (y=—r); etc.» Il pourra arriver que les formes, 4n 1, 4 +3, soient confondues dans une même formule , laquelle serait 2c3-+4- 4, au lieu de 463 «

que nous venons de trouver ; mais alors 1l y aurait deux fois moins de formules, cé qui réviendrait au même.

» quelles 4 aura un nombre de valeurs

(203). Si on a c— 2d, d étantun nombre impair résultant du produit dés »7 nombres premiers «, 6, ÿ, etc., il faudra considérer ; à

l'égard du diviséur 4, les quatre formes 87 + 1, 8243, 8n+ 5, 8n= 7, chacune desquelles donne une valeur déterminée pour (2) , de sorte qu'il ne faudra plus que satisfaire à l'une ou l’autre des équations

d dNX 2 ne (£ 1, (5)=— 7, selon es cas.

Cette équation, traitée toujours de la même manière, donnera 2""* valeurs de ZÆ, chacune de la forme 843 + a, dans laquelle a aura d—1 6C—1 y—1

un nombre de valeurs rs ot La même chose ayant

lieu pour chacune des quatre formes 821, 8n+4-3, etc., on aura donc en tout 2"** formules 4=—8d3+ a, ou {= 4cs+-a , dans chacune

= CRT ec, et 2 2

£ et desquelles a aura un nombre de valeurs

le nombre total des formes linéaires sera par conséquent 2(4 — 1) (6—1) (y —x).etc.

Si le nombre € contenait un facteur quarré , on ne le diviser par ce facteur, car la formule 4 cf n’est pas plus générale que LH cu°, et n’admet pas d’autres diviseurs premiers à c. Ainsi on peut RODIQNES supposer que c est le produit de plusieurs nombres premiers inégaux, sans en excepter 2; de sorte que les deux cas généraux que nous venons d'examiner renferment absolument tous les cas possibles. Enfin, quoique nous n’ayons considéré jusqu'à présent que le cas de c positif, la formule & — cu? se traiterait des la méme manière ; et on aurait les mêmes résultats quant au nombre des formes 4c3 + 4, qui conviennent aux diviseurs de cette formule. Mais dans tous les cas, on peut trouver ces différentés formes, linéaires , par. un procédé plus

simple, et qui conduit à. de nouvelles propriétés.

(204) On a déjà vu (n° 138) que les différens diviseurs d'une formule

telle que # ÆHcu* peuvent toujours se réduire à la forme A = py° + 2qÿ2 = r2,

dans laquelle on a pr 49" — c, et où l’on peut supposer 29 non plus grand que p et r. Au moyen de.ces conditions, il.est facile de déterminer a priori toutes les formes des diviseurs qui répondent àun nombre donné c. Les formes py° + 2973 rz°, contenant des-indéterminées au second degré, sont ce que nous avons appelé des formes quadratiques, pour les distinguer des formes linéaires :4cx + a, dont nous nous sommes occupés dans ce paragraphe et: dans le précédent:

Supposons donc qu’étant donné le nombre c on a déterminé d’abord toutes les formes quadratiques qui conviennent aux diviseurs de la for-

ce . Lg L mule proposée #Æ oc, il ne restera plus qu'à développer ces formes quadratiques en formes linéaires; on aura ainsi toutes les formes lincaires

qui conviennent aux diviseurs de cette formule, on aura de plus l’avan-

r SECONDE PARTIE. 235

tage de connaitre la correspondance qu'il J'eentre les formes quadratiques et les formes linéaires.

Tout se réduit par conséquent à voir ce que devient la formule PY° +292 re; lorsqu'on Ve substitue, au lieu de y etz, des nombres quelconques déterminés, et qu’on met lesrésultats sous la forme 4cx + à; où l’on peut négliger les multiples de 4c, et ne conserver que le re positif et moindre que 4c.

Or il n’est pas nécessaire , dans cette; substitution ; de faire y ni s plus grands que 2c;/car si à la place de y et 3 on be 20 an Jet 2c+2;,la formule. py*+4- 2qy3 Er deviendra : '

pc +7) + 29 (207) (202) der (a0 +2),

quantité qui se HER à py° + 2q73 ÆErz° + 4cM, 4cM étant un multiple de 4c; de sorte que ces valeurs 2c + y, 2c + 3 donneront la même forme linéaire 4cx + a qu’avaient donnée y et z.

Il faut éviter également de donmer à y et 3 des valeurs qui rendraient Pr + 29y3 Es pair, car nous ne considérons ici que les diviseurs impairs, et de plus , les diviseurs premiers à c.

Pour remplir plus surement cette condition, il sera bon de préparer le diviseur quadratique py° + 2973 Ærz°, de manière que r soit pair, car alors p étant impair, on donnera à y des valeurs impaires quelconques , et a 3 des valeurs paires ou impaires à volonté. Si r n’est pas déjà pair dans le diviseur, il suflira de mettre y Æ 3 à la place de y, et la transformée aura son dernier terme pair. Nous aurons occasion aussi , dans certains cas, de donner aux diviseurs quadratiques la forme PY° + gyz—+ rs, dans laquelle les trois coefficiens sont impairs. Alors il faudra supposer successivement z=— 20, y — 2u, 2% J —2u;, ce qui donnera trois formules- ayant la CoHeeGt requise ; mais on verra que le développement d'une de ces formules suflit.

(205) Considérons donc la formule 4 = py° +.29Y2=E 2m, où l'on a 2mpÆq"=0c, et dans laquelle y doit être impair , dinsi que p. Si on suppose q et c premiers entre eux » P et c seront aussi premiers entre eux. Cela posé, si l’on fait y —1, je dis que la formule p + 291 + om, où il ne reste plus que. L. d’indéterminé, contiendra toutes les formes. linéaires 4cx + a, qui sont comprises bre la formule proposée... :. PT +292 2m",

ll faut prouver pour cela que, rt Ês que ‘soient 7: et, 3, On pourra

toujours trouver nne indéterminée 4 telle que

pæ2qi E 2m — py— 2qyz E 2m?

soit un entier, En effet, puisque p et 4e sont premiers entre eux, la quantité précédente sera un entier, si son produit par p en est uu,

c’est-à-dire si l’on a + gd) y Ha) c(tet) À ‘ AC x . Soit d'abord 4 = 3 + 2à, et il suflira de satisfaire à la condition Cp gs + 9x) — (py + g2) h « us 4C RARES

C'est ce qu’on pent obtenir, en prenant une nouvelle indéterminée 8,

telle que PI GATE AR = pr “45, 20; or cette équation sera toujours rénolubile ; puisqu'elle peut être mise sous la forme

gi = p ( Qücet g sontpremiers entre eux, et où d’ailleurs le second membre

est un enter.

Donc pour déterminer toutes. les. formes. linéaires de la. formule

A=py° + 29723 2mx° , il suflira de déterminer celles de:la formule

plus simple À = p + 2q4 Æ 2m";

ce qui se fera, en donnant à 4.les valeurs successives 0,4, 2, 3, etc. -

jusqu'à 2c— 1, ou seulement jusqu'à c — 1.590. Les valeurs de 4

se calculent aisément par le moyen.de leurs différences ; et en oïmetfant

les multiples de 4c à mesure qu'ils se présentent. Ensuite on rejettera parmi tous les. résultats ceux qui sont identiques avec d’autres, et ceux

qui ont an commun diviseur avec c.

© (206) Sigetcne sont pas premiers entre eux , il sera toujours facile de transformer la formule PT 24. 73, 2ins° en une autre semblable, dans laquelle 4 soit premier à c; de sorte qu’on. doit regarder comme absolument général le procédé qu’on vient d'indiquer. Cependant nous dirons encore deux mots du cas Fete où la formule proposée est PEcs ou a+ |

NPC OS EN SOC ER EEE PE nn meet ne 5

Sion a 4= y?" c2°, il faudra distinguer deux cas ; selon que cest pere ou impair,

. Si c est impair, on supposera d’abord y impair et 3 pair, ce qui. ; en se les multiples de 4c, réduit la valeur de 4 au seul terme y*, d’où résulte 4— +, 9, 25, etc. ; on supposera ensuite y pair et 3 impair, ce qui donnera {= 4° E c, et ainsi on formera la suite 4Æ c, 16—+c, 36 c, etc., ayant toujours soin de rejeter les multiples de 4c. Les résultats provenus de ces deux suppositions , composeront toutes les formes linéaires de À,

Si e est pair, il fandra nécessairement que y soit impair, mais 3 sera à volonté; si 3 est pair, on aura simplement 4= 7° = 1,0, 25, etc.; si 3-est impair , on aura 4 = y" c; de sorte qu'il faudra va la sue ic 02032920, elc) Lesideux systèmes réunis donneront toutes les formes de diviseur À.

Si le nombre c — ab, parmi les diviseurs de fc, on rencontrera nécessairement ay° = bz*. Pour avoir les formes linéaires de ce diviseur, on donnera à y les valeurs successives 1, 2, 3... jusquà —1,eton donnera à 3les valeurs 1, 2, 3.... jusqu'a @—1. Il est inutile d'aller plus loin, parce que si à la place de y on met by et b—7, les deux résultats différent d’un multiple de 4ab.ou de 4e, et par conséquent ne sont pas censés différens. Il en est de même, si on met a+ et a—3 à la place de z. Il faudra donc combiner chacune des valeurs de ay* avec chacune des valeurs de Hbz", et la seule condition que la somme soit un nombre impair, exclura beaucoup de combinaisons ; il faudra ensuite supprimer les résultats qui sont identiques avec d’autres, ou qui ont un commun diviseur avec c.

À ces préceptes généraux nous n’ajouterons plus qu'une observation, c’est que dans le cas de c—4n-+53, "les diviseurslinéaires dela formulé + cu? doivent être représentés simplement par 2cx--4, au lieu de l'être par 4cx—a, parce qu'alors une même forme quadratique contient les diviseurs 47-H1 et les diviseurs 4-3. Le calcul d’ailleurs est toujours le même, avec cette seule différence, qu’au lieu de suppri= mer des multiples de Hs on supprime ceux de 2c, ce qui rend l'opération encore plus prompte.

ExempczLe I.

(207) Soit proposé de trouver tous les diviseurs tant quadratiques que linéaires de la formule &-+41u.

LR TE

On cherchera abord lés diviseurs quadratiques , au moyen de la formule pr—g—41, où l’on doit supposer 9<y4-<4; et 29<p et r. Voici le calcul:

1°. Soit 90, on aura pr=41, donc entr, rat,

SR 2°. Soit g9=—=1, on aura pr 42, donc €p= 7,r—=.6 P=21,7= 2.

3°. Soit 9—=2,.0on aura pr—45—5.0, donc p—5, r—9.

4. Soit 9 —3, on aura pr—50; mais 5o ne se décompose pas en deux facteurs plus grands que 6, ou dont le moindre soit égal à 6. Donc l'opération est terminée, et il n’y a que cinq formes possibles pour les diviseurs quadratiques de la formule proposée. De ces cinq formes, trois sont relatives aux diviseurs 42--1, savoir :

Ph 5y° +473 + 97°.

Les deux autres se rapportent aux diviseurs 473, et sont: 37° + 272 + 147 77 + 2yz+ Gz.

Cherchons maintenant les formes linéaires qui répondent à ces formes : quadratiques.

Prenons parmi les diviseurs 471 la forme 4=—5y°+4 yo, et comme le coefficient du dernier terme est impair, mettons y—s à la place de y, puis changeons le signe de z, nous aurons 4—5y°+6yz2+-102. Après cette préparation, on peut considérer simplement la formule AZ=5H6L+ 10°. Voici les résultats que donne cette formule, en faisant successivement J=0, 1, 2) 3..., et rejetant à mesure les multiples de 4c=—= 164: - |

Diff. 16 36 56 76 96 116 156 | 156 176—12 A = 5,21, 575115, 189—2h, 121, 257—79,2200—45 2015287;

Diff. 52: #27 >:72 92 A'—10, 81, 159, 200 — 44, 133.

Arrivé au résultat 41=—c, on voit que les précédens 135, 81, etc. doivent revenir dans l’ordre inverse, desorte:qu'on parviendra ainsi

TPE TL RER TT ESS — : x * RE Re

au terme 5; mais il reste à savoir si, passé le terme b, il n’y aurait pas de nouveaux termes non compris dans ceux qu'on a déjà trouvés. Pour cela , il faut prolonger la suite en arrière, comme on le: voit 1c1 :

Diff. —16 4 -24 44 64 84 104 124 144 164—=0 1592186080, 022770 AT 229-018 10015 ,120,: 200109:

Ici, à cause de la différence o, nous n'irons pas plus loin, parce que nous sommes sûrs maintenant que les termes précédens reviendront, et qu'on n'aura aucun nouveau terme. Donc en rassemblant les résultats trouvés , et excluant 41 —c, on aura les 20 formes suivantes qui répondent au diviseur proposé 5y*+473+-023", ou 5y*+-6y3+-103; ces formes sont:

A—104T Rx, 5,0, 21, 25; 33, 87, 49, A0, 97; 61, 73, 775.81, 105; 119, 121,125, 1933, 141.

Prenons maintenant la formule quadratique 4=—=7*-+413°; en supposant d’abord z-pair, il suflira de développer la valeur y* d'où résulteront les mêmes 20 formes qu'on vient de trouver. Soit ensuite y pair et s impair, on aura à développer la valeur 4 = 40° +41, de laquelle résulteront toujours les mêmes formes. Enfin la troisième forme quadratique 4 — 217° + 2ÿ2 += 23° des diviseurs 42 4 1 donne encore les mêmes formes , et en effet les formes trouvées comprennent toutes celles qui ont été déterminées a priori pour les diviseurs 42-21 de la formule # + cu’; le développement des différentes formules ne pouvait donc fournir d’autres formes que les 20 déjà trouvées n° 196; mais on voit que chaque formule particulière les fournit toutes, et c’est une propriété que nous allons démontrer en général,

(208) « Si c est un nombre premier 471, les différens diviseurs ») quadratiques 42+-1 de la formule £ Æ cu*, fourmiront tous les mêmes

» que 4c, et ces valeurs ne seront autre chose que les solutions de

» formes linéaires 4c3 a, a ayant

» l'équation (£ ) —1 réduites à la forme 42+ 1. Pareillement tous les -

». diviseurs quadratiques 4n-3 de la même formule fourniront les mêmes