SUR

INTRODUCTION

CONTENANT DES NOTIONS GÉNÉRALES SUR ee

Ne. objet, dans cette Introduction, est de présenter quelques considérations générales sur la nature des nombres, et-particulièrement sur celle des nombres premiers. Maïs, avant tout, nous croyons devoir nous occuper de quelques propositions fondamentales ;' dont la démonstration ne se trouve pas dans les Traités ordinaires d’Arithmétique, ou du moins n’y est présentée que d’une manière peu rigoureuse.

I. Nous examinerons d’abord pourquoi le produit de deux nombres demeure le même, en changeant l’ordre des facteurs, c'est-à-dire, pourquoi AXB=B X A.

Soit 4 le plus grand des deux nombres Z.et B, soit C leur différence, et en conséquence 4 = B + C. On accordera aisément que le produit dé A par B, c’est-à-dire 4 pris B fois, est GOEOse du produit de B par B et du era de C par B, de sorte qu’en écrivant le multiplicateur le dernier, on a AXB—=BXB+CXx B. Mais le produit de B par À ou par BC, est composé aussi de B pris B fois et de B pris C fois, de sorte quona BX 4—BXB+4+8B X C. De là on voit que le produit 4x B sera le même que le produit B X 4, si le produit

LA

partiel CX B est égal à B x C. Mais par la même raison l'égalité entre CB et BC se prouvera par l'égalité entre deux produits plus petits CD et DC; et en continuant aïnsi on parviendra nécessairement, soit au cas où les deux facteurs sont égaux, soit au Cas où l’un des deux est égal à l'unité. Dans le premier cas, l'égalité est manifeste; dans le second, elle se conclut de ce que H X x est Æ, ainsi que 1 X Æ. Donc le Pio Cu A X B est toujours égal au produit B x 4.

IL. On suppose ordinairement qu'en multipliant un no bEe donné C par un autre nombre ÏV qui est lui-même le produit de deux facteurs A et B, il revient au méme de multiplier € par À tout d’un coup, ou bien de multiplier € par 4, ensuite le produit par Z.

Pour démontrer cette proposition, j'observe d’abord que le produit 48 west autre chose que 4+.4+ 4 + etc., le nombre de ces termes étant PB. Lors donc qu’on multiplie un troisième nombre C par le produit 4B,@nest censé répéter B fois l'opération de multiplier C'par 4, e’est-à-di ’on a CA+HCA+CA+Hetc., le terme C4 étant écrit B fois. Le résultat est donc C4 x P, de sorte qu'on a Cx 4B=CAXB.

IT. D’après ces deux propositions, on démontrera facilement que le produit de tant de facteurs qu'on voudra, demeure toujours le méme , en quelque ordre que les facteurs soient multipliés.

Pour prouver, par exemple » que le produit 4X BX CX D est égal au produit CX AXDXB, je commence par faire ensorte que la même lettre occupe la dernière HA dans les deux. Or on a, en vertu des

propositions précédentes , 4 x BC— 4 x CB—ACxXB; done AXBXCXD—=ACXBXD—ACX BD— ACX D x P:;la lettre B. est à la dernière place dans ce produit, comme elle l’est dans l'autre produit donné CÆDB. Otant la dernière lettre, ilsuflira de prouver l'éga-

lité ZC x D=CxXAX D; or celle-ci résulte de ce que AC=CX À. IV. « Le produit de deuxnombres 4 et B est divisible par tout nombre

» qui divise exactement l’un des deux facteurs Z et B. » Cär soitÜ un nombre qui divise B, et soit'en conséquence B=—CX0,

on aüta 4B—1C x 0; donc AB divisé par 8 donne le quotient exact AC.

V:.« Si le nombre 8 divise ä-la-fois les deux nombres A et B, 1 di

INTRODUCTION. 3 » visera la somme et la différence de deux multiples quelconques de ces » nombres. »

Car si l'ona 4— 40, B—P', il en résulte mAEnB—mA0EnB'8, quantité qui, divisée par 0, donne le quotient exact m/ÆnB".

VI. « Tout nombre premier qui ne divise ni l’un ni l’autre des fac= » teurs 4 et P, ne peut diviser leur produit 4B. »

Cette proposition étant l’une des plus importantes de la théorie des nombres, nous donnerons à sa démonstration tout le développement nécessaire.

Soit, s’il est possible, 8 un nombre premier qui ne divise ni 4 ni PB, mais qui divise le produit 4B, on pourra supposer qu’en divisant A par 8 on a le quotient »#7 (qui pourrait être zéro) et le reste 2’; on aura donc 4—m1+ 1", et semblablement B—n79+ PB. Donc AB = mn# + n A8 + mB'4 + 4'B'. Ceue quantité, d'après l'hypothèse, doit être divisible par 0, et comme les trois premiers termes sont divisibles par 0, il faudra que le quatrième Æ4’B soit égalément divisible par 9 ; ainsi nous pourrons faire 4°B— C'\.

Dans ce premier résultat, nous remarquerons 1°. que 4’ et B’ ne sont zéro ni l’un ni l’autre, parce que À et B sont supposés non divisibles par 0; 2°. que 4’ et PB”, comme restes de la division par 8, sont moindres que 0; 3°. qu'aucun des nombres 4” et B° ne peut être égal à lunité; car si on avait A— 1, le produit PB" se réduirait à B'; or B” étant <8, il est impossible qu'on ait B'— C'8. È

Nous avons donc deux nombres entiers, 4’, B', tous deux plus grands que l'unité , et tous deux moindres que 8, dont le produit est divisible par 0, de sorte qu'on a 4'B'=—C'0. Voyons les conséquences qui en résultent.

Puisque 4’ est moiidre que 0, on peut diviser 8 par 4’; soit p le quotient et 4” le reste, on aura 8—p4'+ 4"; donc 0x B'—pA'B'4+4"F. Le premier membre est divisible par 8, il faut donc que le second le soit aussi. Mais la partie Z°B” estdivisible d'elle-même par 8, puisque A'B'= C8; donc l'autre partie #°B’ doit étre encore divisible par 0.

Le nombre 4", comme reste de la division par 4’, est moindre que 4", il nie peut d’ailleurs être zéro; car si cela était, 0 serait divisible par 4” et ne serait plus un nombre premier. Donc du produit 4B', supposé divisible par 9, ôn tire un autre produit 4"B' divisible encore par 8, ét qui est plus petit que Z’B' sans être zéro. ©:

* En suivant le rnême raisonnement, on déduira du produit 4’B” un

autre produit 4”B’ ou 4°B", encore plus petit, et qui sera toujours di= visible par 0 sans être zéro.

Et en continuant la suite de ces produits décroissans, on parviendra nécessairement à un nombre moindre que 8. Or il est impossible qu’un nombre moindre que 0, et qui n’est pas zéro, soit divisible par 8; donc hypothèse d'où l’on est parti ne saurait avoir lieu.

Donc si les nombres Æ et B ne sont divisibles, ni l’un ni l'autre, par 6, leur produit 4B ne pourra non plus être divisible par 4.

VII. La doctrine des incommensurables repose entièrement sur le principe qu’on vient de démontrer. En effet, s’il existait, par exemple,