M y ‘ . . TE pa , x k
tüne fraction rationnelle — égale à ÿ/2, il faudrait que — fût égale à 2. n 12 a
Donc 7° devrait être divisible par chacun des nombres premiers qui
Da LC . . TL 7 , , » .
divisent 7. Mais la fraction — étant censée irréductible, 77 n’a aucun
diviseur commun avec z; donc, en vertu du théorème précédent, »° ne peut avoir non plus aucun diviseur commun avec 7; donc il est im- :
possible qu’on ait = 2e En général une puissance quelconque du nombre a ne peut avoir pour diviseurs d’autres nombres premiers que ceux qui divisent a; ainsi s’il n'y a point de nombre entier x tel que x" — 0, b étant un nombre
donné, 1l n’y a point non plus de fraction © telle que — —4.
VIIL. « Un nombre quelconque W, s'il n’est pas premier, peut étre » représenté par le produit de plusieurs nombres premiers «&, 6, y, etc., » élevés chacun à une puissance quelconque, de sorte qu’on peut toujours, », supposer. V—=a"€"}", etc. »
La: méthode à suivre pour opérer cette décomposition, consiste à essayer la division du nombre IV par chacun des nombres premiers 2, 5,5,7, 11, etc. Lorsque la division réussit par l’un de ces nombresæ, on la répète autant de fois qu’elle est possible, par exemple, 71 fois, et en appelant le dernier quotient P, on a N—«a"P:
Le nombre P ne pouvant plus être divisé par «, 1l est inutile d'essayer la division de P par un nombre premier moindre que æ; car si P était divisible par 6 moindre que &, äl est clair que JV serait aussi divisible par 8, ce qui est contraire à la supposition: On ne devra donc essayer, de diviser P que par des nombres premiers plus grands. que &; on trou
INTRODUCTION. 5 vera ainsi successivement P—=6"Q, Q=y"R, etc., ce qui donnera N=a"lr», etc.
IX. « Si, après avoir essayé la division d’un nombre donné A par les » nombres premiers plus petits que ÿ/ÙV, on n’en trouve aucun qui di- » vise À , on en conclura avec certitude que À est un nombre premier. » Car supposons que M soit divisible par un nombre premier 8>4y/W, on aurait donc, en appelant P le quotient, N—6P. Mais puisque
8 est >ÿ/N, on aura P = à. < Es <y/N; donc N serait divisible
par un nombre P moindre qué ÿ/V; donc, à plus forte raison, il serait divisible par un nombre premier <4/W, ce qui est contre la supposition.
On peut donc trouver, de cette manière, si un nombre donné W est premier, ou s'ilne l’est pas; mais quoique cette méthode soit susceptible de quelques abrégés dontnous ferons mention ci-après, elle est engénéral longue et fastidieuse. Aussi plusieurs mathématiciens ont-ils jugé con= venable de construire des tables de nombres premiers plus où moïns étendues.
La manière la plus simple de construire ces tables, est de commencer par écrire de suite les nombres impairs 1,3, 5,7, etc. jusqu'à 100000, ou telle autre limite qu'on peut se proposer. Cette suite étant: formée, on en efface successivement tous les multiples de 3, tous ceux de 5, tous ceux de 7, etc., en conservant seulement les premiers termes 5, 5,7, etc., non effacés par les opérations antérieures. De cette manière ; il est visible que tous les nombres restans n’ont d’autres'diviseurs qu’éuxmêmes, et qu’ainsi ils sont des nombres premiers. On trouvera à la fin de cet Ouvrage une Table n° 4X, qui contient les nombres premiers jusqu'à 1229. Dans un Livre intitulé, Georgii Vega Tubulæ, logarithmico-trigonometricæ, Lipsiæ 1797, on en trouve une qui s'étend jusqu’a 400000 , et qui a, de plus, l'avantage d'indiquer pour chaque nombre composé le plus petit nombre premier qui en est diviseur.
X. Un nombre W étant réduit à la forme a"6”?, etc. , tout diviseur de ce nombre sera aussi de la forme æ“6'>", etc., où, les exposans x, y, 4, etc. ne: pourront surpasser 2, 2, p, etc. Il suit de, là que tous les diviseurs du nombre V seront les différens termes. du produit développé
PE (ia. spa) (1-H6HE. 6") (etc,)
NN ORPI PRIE
Donc le nombre de tous ces diviseurs est (m1) (21) (p+1) etc.
Et en même temps la somme de ces mêmes diviseurs est égale a P. et peut se mettre sous la forme
ani ms +; CH y PHI — 1 JS ae PP EE Cr ES SE Pc UT æ—i ? C— 1 7—1
Par exemple, puisqu'on a 360=— 2°.3?.5:, le nombre des diviseurs de 560 est 4.3.2—24, et leur somme un Dr Gr 51
Rates NL, ME Bi — HO 10 01701
. XI: Il est facile de trouver un nombre qui ait tant de diviseurs qu’on voudra. Cherchons , par exemple, un nombre qui ait 36 diviseurs; on décomposera 36 en facteurs premiers ou non, tels que 4.3.3; on diminuera chaque facteur d’une ünité, ce qui donnera 3.2.2; d’où l’on conclura que «°6*}* est l’une des formes du nombre cherché, æ&, 6, y étant, des nombres premiers inégaux. Les facteurs 6, 3, 2 donnéraient une autre forme æ°6*7', dans laquelle le plus simple des nombres com
. pris rest 2°.32:5 — 1440.
XIE. Si on cherche en combien demamièreslenombre V—4"6";r, etc. peut être le produit de deux facteurs Z et B, on trouvera que ce nombre (m1) (a+ 1) (pH) etc. Car chaque diviseur À est accompagné
de son inverse 7 ou PB ; ainsi le nombre des quantités 4B ou BA est
la moitié de celui des diviseurs de M.
Si le nombre NV était un quarré , tous les exposans », »,p, etc: seraient pairs, et alors la moitié du produit (m1) (n+-1) (p+-1) etc. contiendrait la fraction =, pour laquelle il faudrait prendre l'unité.
XIIL Si l’on. veut que les deux facteurs dans lesquels on décompose le nombre soient premiers.entre eux, alors le nombre des combinaisons ne dépend plus des exposans 72, n, p, etc:, et il est le même que si le nombre À était simplement 464, etc. de sorte qu’en appelant le nombre des facteurs premiers inégaux 4,6, , etc., on aura 2!—* pour le nombre de mañières de partager V en deux facteurs premiers entre eux.
Par exémple, le nombre 1800 peut se partager de 18 manières en deux facteurs ; mais ïl ne peut se partager que de quatre manières en deux facteurs premiers entre eux; car On a 1800 2°.3°.5°, et:3%2 4.
XIV. Un nombre !V-étant donné, soït proposé de trouver combien
motess Se mana ARR —— : ë D STORES DT M eme ER mc eme - Se M NE mg ant-mamÿneiee LT OPMRENR, D
INTRODUCTION. 7 il y a de nombres premiers à 2 et plus petits que V. Pour cela, nous allons examiner successivement l'influence des différens facteurs premiers sur le résultat.
Soit d'abord N—«xM, æ étant un nombre premier et A] un facteur quelconque qui pourrait être divisible par & ou par une puissance de &. Si l’on considère la suite dés nombres naturels 1, 2, 3...7V, les termes de cette suite qui sont divisibles par & forment eux-mêmes la suite a, 24, 5a,..Ma; leur nombre — W; donc en appelant x le nombre des termes de la première suite qui ne sont pas divisibles par æ, on aura
a = Ma —M=M (as) =N (12).
Soit en second lieu N=—2x6M, & et 6 étant deux nombres premiers différens et 7 un facteur quelconque. Dans la suite 1, 2, 3...N ,on peut distinguer trois sortés de termes, 1°. les x termes qui ne sont divisibles ni par & ni par 6; 2°. les termes qui sont divisibles par l’un de ces nombres premiers, sans l'être par l’autre; 8°. les termes divisibles par «6. ;
Les termes divisibles par « sont au nombre de ou M6; mais si on en exclut les termes divisibles par 6, leur nombre se réduirä , Suivant ce qu'on a déjà ‘trouvé, à M(6—:1). De même les termes divisibles par 6, sans l'être par &, sont au nombre de # (a —1). Enfin les termes divisibles par &6 sont au nombre de M. Donc on aura
aGM=x+M(6É=:1)+M + M(a— 1);
x = M (à — Rs J=N (Gi) (5)
Soit en troisième lieu V — 467 M; noùs distinguerons semblablement dans la suite 1, 2, 3.../V, quatre sortes de’ termes, 1°. les x termes tqui ne sont divisibles par aucun des facteurs &, 6, 7: 2°. les termes qui sont divisibles par un de ces facteurs seulement; 3°. ceux qui le sont par deux seulement; 4°. enfin ceux qui le sont par trois.
Les termes divisibles par & sont en général au nombre de À ou
d'où Pon tire
MÉy; mais si parmi eux on ne considère que ceux qui sont premiers à 6 et y, leur nombre se réduit à M(6—1) (y—1), ainsi qu'on l'a trouvé dans le second cas.
ne ; PR N , Les termes divisibles par «6 sont en général âu nombre de re ou My;
mais en ne considérant parmi ceux-Ci que les termes premiers à +, leur nombre se réduit à M(>—1).
Enfin les termes divisibles par «67 sont au nombre de ou 47: #n7
Donc on aura À ou aGyM=xRM(É—i)(y—i) M (y—:3)+M +M(y—x)(a—1) + M(a— 31) M (œ—1) (6 —1)+M(6— 1).
Soit, pour un moment, ait", 6—1=—=6", y—1=7y, le premier membre deviendra M (a+ 1) (61). (+1), ou Ma6y +ME y +My +M + My + Ma’, + Ma/C+ M6, Et le second membre ne diffère de cette quantité que par le premier
La
terme; qui est x au lieu-de M6"). Donc on a x= Mu}, ou
en (=D (D (=)
Le même raisonnement s'étend aisément à un-plus grand nombre de facteurs, et on voit que le résultat sera toujours de la même forme.
XV. Cela posé, tout nombre W pouvant ètre mis sous la forme a"Gryr, etc., laquelle est comprise dans l'expression générale Maby, etc., il est clair que par la formule
em (1) (et) (63), a
on eonnaîtra combien il y a de nombres premiers à JV et plus petits que NV.
Par exemple, on a 60=—2°,3.5, et 6o(1—+) (1—+5) (12) 16; donc il y a 16 nombres plus petits que 60 et premiers à 60. Ces nombres Sont 1, 7,, 115 19,.17; 19, 25, 20,,31, 37, 41, 49; 47» 40) 993 59.
XVI. Cherchons maintenant combien de fois un nombre premier donné 8 est facteur dans la suite des nombres naturels depuis 1 jusqu’à W, ou, ce qui revient au même, quelle est la plus grande puissance de 8 qui divise. le produit 1.2.3..,.1V.
Pour cela, désignons par Æ (£ ) l'entier le plus grand contenu dans
c . 12 U y» 2 » = la fraction mo €t le nombre cherché ou l’exposant de 8 étant nommé x ,
INTRODUCTION. 9 nous aurons
x=E(T)+E (à) dE es Le etc. ,
cette suite étant prolongée tant que le numérateur est plus grand que le dénominateur.
; nn N ? :
En eflet, il est évident que Æ (5) représente le nombre des termes de la suite 1, 2, 3....N, qui sont divisibles par 0; pareillement, : . .
E () représente le nombre des termes de la même suite qüi sont di-
visibles par 6°, ainsi des autres. Or si dans le produit 1.2.3...N, il n’y avait point de termes divisibles par 8*, le nombre des facteurs 8 qui
divisent ce produit serait simplement Æ ();: s'ily a ensuite des termes divisibles par 8°, chacun de ces termes ajoute un nouveau facteur 8 x celui qui était déjà compris dans Æ (G): de sorte qu’à raison des termes divisibles par 6, et des termes divisibles par 6, le nombre des facteurs 4 devient Æ (7) + E (à) Pareillement, chaque terme divisible par 6 ajoute un facteur 8 de plus à ceux qui étaient déjà dénombrés ; de sorte que le nombre total des facteurs 9 devient Æ G + FE G n) + E e AE
ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à une puissance 8> NW; alors la série des Æ est terminée, puisque . étant plus petit que l'unité, l’en« tier compris Æ (a) = 0.
XVII. Cherchons, par exemple, combien, dans le produit des nombres naturels de x à 10000, il y a de fois le facteur 7. Nous ferons l’opération suivante, qui se termine bientôt,
