M = ABC... L

les facteurs A, B, C, . . . , L étant premiers entre eux.

Il est clair que chaque racine de la congruence (i) satisfera aussi aux con-

grucnces

I/{a-) = o (modA),

/(ar) = o (modB).

f{x)^o (modL

Donc, si une de ces dernières congruences n'admet pas Je racines, il en est de même de la congruence (i).

Soient a une racine de f(x)^o (modA), [^ une racine de /(j?)=o (modB), etc., enfin X une racine de/(x) ^ o (modL).

Alors on saura trouver toujours un nombre t^ satisfaisant aux congruences

t^oL (modA), tss^ (modB),

t^\ (modL),

et ce nombre t est parfaitement déterminé aux multiples de M près. Mais il est clair qu'on aura

f{t) = o (modA), /(O^o (modB), ..., /(t)^o (modL);

donc aussi /(/) ^ o (modM).

On conclut de là que le nombre des solutions de la congruence (i) est égal au produit des nombres des solutions des congruences (2).

On peut évidemment prendre pour A, B, . . . , L des puissances de nombres premiers.

18. On comprend bien, d'après ce qui précède, que dans la théorie des congruences de degré supérieur, on s'est surtout occupé des cas où le module est un nombre premier ou une puissance de nombre premier. On ne connaît presque aucun théorème général sur les congruences par 'tapport à un module composé.

Ici, où il s'agit seulement de donner les premiers éléments d'une théorie que nous devons développer plus tard, nous nous bornerons à considérer le cas d'un module premier. Lagrange a obtenu dans ce cas quelques propositions très simples, mais fondamentales.

Considérons donc la congruence

f{x)^o (mody?),

f) étant un nombre premier. Le degré n de cette congruence est le degré de la plus haute puissance de x qui figure dans f{x)^ avec un coefficient non divisible par/?. Du reste, il n'y aurait aucun inconvénient à supposer ce coefficient égal à 1, car, s'il est a^ on pourra toujours multiplier la congruence par un nombre b Ici que ab ^ 1 (mod/?). La congruence obtenue est évidemment équivalente à la congruence proposée.

Soit maintenant a: = a une racine de la congruence. En divisant f{x) par

.r — a, on aura

fi [x) étant un polynôme du degré n — i à coefficients entiers.

36 T.-J. STIELTJES.

La congruence donnée peut donc s'écrire

{x — a)/, (x) -+-/(«) = o (modp), ou bien, puisque par hypothèse /(a) est divisible par/?,

{x — ol)/i(x) ^ o (modp).

Si la congruence proposée admet encore d'autres racines p, y , . . . , on doit

avoir

donc fi C^)^ o, y*! (y) '=^ o, etc. , puisque, par hypothèse, p — a, y — a ne sont pas divisibles par/?. On voit donc que ces racines j3, Y? • • • ^^^^^ aussi racines de la congruence

qui est du degré n — i .

La congruence du premier degré admet toujours une racine : on peut donc conclure qu'une congruence du second degré admet tout au plus a racines, une congruence du troisième degré tout au plus 4 racines; généralement on peut énoncer le

Théorème IV. — Une congruence de degré n par rapporta un module premier admet tout au plus n racines.

Et nous pouvons ajouter encore :

Théorème V. — Les racines de la congruence de degré n

f{x)~o (mod/>)

étant a, p, Yi • • •? ^m on a identiquement

/(x) == (j7 — a) (a: — p) . . . (JF — X)/, (x) ( mod/>),

fi (jr) étant un polynôme en x tel que la congruence

fi{x)^o (modp) n^ admet aucune racine.

On en déduit encore facilement le

Théorème VL — Si la congruence de degré n

/(x)^o (modp)

admet n racines et qu!on a

f{x) s/, {x)ft (x) (mod/?), alors les congruences

/i(a?) = o, ft{x)^o (mod/?)

des degrés n^ et n^ (/î, + /i2=n) admettront respectivement n^ et n^, racines,

19. Pour donner, dès à présent, un exemple de la fécondité de ces principes, considérons avec Lagrange le polynôme

(i) x{x -\-i){X'\'7,) , . .{x-\-p — \) =xP-\- KiXP-^-^ k^xP-^-^. , .'\- \p-xT. -^

En changeant :r en ^ + i , on aura aussi

(a'-hi)(a?-+- 2)...(a?H-/>) = (a?H-i)P-H AiC^c-hi)/»-»-!- Aj (ar -^jy)/»-*-!-. . .-hA,,-i (^-f-i).

Or, il est clair que ces denx polynômes sont congrus entre eux suivant le module/?, que nous supposerons premier, car leur différence est

/?(j7 4- i)(a?-t-2) . . . (x-hp — i).

En écrivant donc que les coefficients des mêmes puissances de x sont congrus (mod/?), on a

A,s^-f-Ai (modjo),

o = i-4-A|-hAî-h. ..-+- Ap j-h Ap t.

On remarque ici que les coefficients du binôme -,

sont tous des entiers divisibles par p : on peut les négliger. La seconde congruence montre alors que A| ^ o modjD, ensuite la troisième que A2 ^ o mod/>, etc. . jusqu'à ravant-dernière, qui montre que A^2^ <>• Donc

(a) A|Es Aj~ A3 = . . .s Ap i=: o (moi\p)

38 T.-J. STIELTJES.

et la dernière congruence donne ensuite

(3) A;^i-hi^o (mod^).

Si Ton se rappelle la signification de A^.i , on a le Théorème de Wilson, p étant un nombre premier^

l'st toujours divisible par p.

Ensuite nous avons d'après (i), (2) et (3) la congruence identique

x{x-^\){X'\'%). . , (^-»-/> — i)^xP—x {moàp).

Mais, parmi les p nombres consécutifs x^ a; 4- i , . . . , x -f-/> — i , il y en a toujours un divisible par/?; donc

XP — X

osl toujours divisible par />. En supposant x =• a non divisible par/>, on a le

Théorème de Fermât. — a étant un nombre entier non divisible par le

nombre premier p^

aP-^ — \ est toujours divisible par p.

Autrement, la conjçruence xP^* — i f^ o (modjo) admet les p — i racines

Le théorème de Fermât est un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres; nous le retrouverons dans le Chapitre IV, où nous traiterons particulièrement des résidus des puissances et de la théorie des congruences binômes.

20. Les systèmes de plusieurs congruences du premier degré à plusieurs inconnues se présentent maintenant naturellement à notre attention, mais nous consacrerons à ce sujet important le Chapitre III tout entier. Ici nous nous bornerons à traiter une question élémentaire et do«t on a souvent besoin. La théorie des équations indéterminées est liée évidemment très étroitement à la théorie des congruences 5 nous discuterons ici l'équation indéterminée

ai, ^2, . . -, an^i et u étant des nombres donnés, X|, X2, • • *, J^n+i étant des inconnues qui doivent avoir des valeurs entières. Il est clair d'abord que u doit être

SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 3g

divisible par le p. g. c. d.

d = {ai, at,\..y an+i)

des coefficients ai , ^2, • • • , ctn^t •

Mais^ pour que d ait une valeur déterminée, il faut supposer que les coefficients ^1, ^2, . - ., a„^i ne soient pas tous nuls. Ce sera là la seule restriction à laquelle nous soumettons les données du problème. Maintenant, si u est divisible par <f, le problème admet toujours des solutions. Cette proposition est vraie dans le cas n = I, et il est très facile, en partant de là, et à Taide d'une induction, de montrer qu'elle est vraie généralement.

Mais nous suivrons une autre voie qui nous donnera en même temps toutes les solutions du problème. Mais ici une explication est nécessaire, si les valeurs

satisfont à la relation (i); de même que les valeurs

ces deux solutions seront considérées comme distinctes si les différences

ffJe — Cky A: = I, 2, . . ., «-f-I

ne sont pas toutes nulles. Il importe de bien observer cette convention; ainsi, même dans le cas où an^i = o, les solutions

Xt=biy a:j=ôî, ..., Tn= àfi, ^/n-i = ^n+i et

a:i=6|, a:j=6j, ..., x„= b^ Xn^i = ùn-t-i-\- k

seront considérées comme distinctes, tant que k n'est pas nul.

Les coedficients ai, . . . , a,/^i n'étant pas tous nuls, on supposera que ai n'est pas nul. On pourra déterminer alors deux nombres a et y satisfaisant à la condition

et ces nombres seront premiers entre eux, en sorte qu'on pourra ensuite déterminer deux nombres ^ et S par la condition

aô — Py = ï •

On pourra prendre du reste P = — a2 l («i, 02), J = H-ai I (ai, a.j)-, c'est là une remarque dont nous profiterons tout à l'heure.

4o T.-J. STIELTJES.

Posons

a;i = 0Lx\-\-px'i, ) ,, , I a?', =:8a7i— par,,

réqualion (i) deviendra

(2) (ai, a^) x\ -h ùiX^-^- a^Xz-h ai^Xj,-}-, . .-t- ««-i-iarrt+i = w.

Il est clair que ces équations (i) et (2) sont équivalentes en ce sens, que si l'une des équations est impossible, l'autre le sera; et que, si l'on connaît une solution de l'une de ces équations, on en déduira une solution de l'autre. A deux solutions distinctes d'une de ces équations correspondent toujours deux solutions également distinctes de l'autre.

Remplaçons maintenant de la même manière les inconnues œ\ et x^ dans (2) par deux nouvelles inconnues x\ et œ'^, en posant

(a,, aî)ai-4-asYi = («n «î, «a)»

ai 81— p,Yi = i, x\ = ai x\ -f- Pi x'z , x\ = 81 x\ — pi Xsy

^3 = Yi ^1 -+- §1 ^'z 1 ^3 = — Yi ^1 ■+- «1 ^3» on obtiendra une transformée encore équivalente à(2)età (i) r'i) («1, «2, az)x\-\- bix'^-h b^x'^-h a^x^-h. . .-ha„^iXn+i=u.

On peut continuer ainsi, en opérant maintenant sur x"^ et x^^ etc. Après /? transformations, on aura la transformée équivalente que voici

(4) («1» «2. ...» a/ï-f-i)a?^i"'-H^2a:''2-+-Ô3a:''3-t-.^4^i-+-..--^^rt+ia?rt4., = m,

et Ton obtient les expressions de 5:1, . . ., x„^i au moyen de substitutions successives sous la forme

Xi = Aia^^i'*^^- ai,îa7',-H a,^3a:'8-+- «1,^37^ -4-. , .-h ai^a-^-i^'n+i^ Xi = Ajari^'H- «2,1^»', -+- «2,8 ^'s "^ «i,*^4 -*-• • •-+- «t,/l-»-l^n+l »

Ces formules donneront toutes les solutions du problème, si l'on prend pour ■^i"\ -^2? "^3? • • • î «^«+1 toutes les solutions de (4)« Mais on remarque que, si l'on prend pour (î et 8 les valeurs que nous avons indiquées plus haut, on a 6,= o.

SUR LA théorie: des nombres.

En appliquant donc toujours le même procédé, on aura aussi

Ô3 = Ô4 = . . . = bn^i = O.

Mais alors les solutions de (4) sont en évidence; il faut évidemment que u soit divisible par rf, et Ton obtient toutes les solutions de (4) en prenant x\"^ z=z u\d^ et en donnant à

toutes les valeurs de — 00 à -f-x.

Ïhéouème VII. — On obtient toutes les solutions de Véquation indéterminée (i), et chaque solution, une seule fois ^ en posant x^"^= u : d dans les formules (5) et en faisant parcourir à x'^, . . ., x)^^^ toutes les x^aleurs entières

de — 00 à 4- 00.

On voit sans difficulté qu'en procédant comme nous l'avons indiqué, les coefficients ^22} ctz^j • • •. ^/i+i,«4.i ont les valeurs suivantes :

21. Cette solution donne lieu à quelques remarques utiles. Il est clair qu'en ajoutant les équations (5) après les avoir multipliées par «i, «2, . . ., ««4.1 les coefficients de x'.^^ x\^ ..., x),^.,, s'annulent. On a ainsi des relations homogènes entre «1, «2, . . ., a„^\y qui déterminent les rapports de ces quantités. En supposant

«ï,rt-l-l

= M|Xi-+-M,XîH-...4-M«4-iX,n.i,

on aura

«1 1 «t • «3 • • • • * «/»+t = Ml : Mj I ÎV13 ! ... I M;n|.

Mais il est clair qu'on a

Ml = «î,» X «3,3 X . . . xart+i,«^-i = à| : d-,

donc, généralement,

Mjt — ak\d, A" = 1 , 2, . . . , /i-h I .

/|2 T.J. STIELTJES.

Kn mullipliant donc, par exemple, la dernière ligne horizontale du délerniinanl D par d^ on obtient un déterminant dont les mineurs ont les valeurs ^i^. r/a, . . ., a„^|. On voit par là que Con peut toujours déterminer n lignes de n -h I nombres entiers telles quen ajoutant une {n-^- i)'*"' ligne et formant le déterminant^ les coefficients multipliés dans ce déterminant par les différents termes de la ( n -^ ,^i*nie ligne, soient des nombres donnés.

C'est là une proposition donnée par M. Hermile (Journal de Crelle, t. 40, p. 264), qui en a fait une application très imporlanle.

22. En cherchant l'expression de x''"\ x'^, . , . , x„^^ comme fonctions linéaires de jTi , X2't . . . , x„^i , on trouve d'abord, à cause de fe, = 63 = . . . == fe„^, = u.

(aj,aj) jf'j = ûfi j"| -i- a^Xf,

et ensuite on reconnaît que les expressions cherchées se présentent sous la forme

x," = (aiXi-hatX^-^,..-^-an^iX„+i) : d,

•^'î = 2tj,iJ-i-haï,jJ'î,

^'3 = «3,1^1-+- 2t3,ïJ'î-i- «3.3-^3»

Le déterminant des fonctions linéaires au second membre est évidemment = 1. comme cela a lieu pour les équations (5), car les déterminants des deux systèmes sont réciproques et en même temps des nombres entiers. Ces déterminants sont donc, tous les deux, soit = H- i , soit = — 1 , mais il est facile de voir que c'est la première valeur qui a lieu.

On voit donc que, étant donnés les nombres entiers

on pourra trouver toujours n lignes de n-h i nombres entiers, telles qu'en les ajoutant à la ligne donnée, on obtient un déterminant égal au p. g. c. d. de

(7est là un résultat dont on a souvent besoin. La question a été posée et résolue par M. Henni te (Journal de Mathématiques appliquées, t. XIV, 1849). Nous verrons, dans le Chapitre III, qu'il est extrêmement facile de déduire d'une solution particulière de ce problème toutes les solutions possibles.

SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. f\i

23. Il convient de considérer plus particulièrement le cas u = o,

aiXi-i- a^x^ ■+- ajj^'s-h. . .-h a„+i x„^i = o. '

Si Ton a m solutions de cette équation

^'l,l ^1,2 ATi.s ... ^*1,/H-1 (Kt)

^*i,l M,î ^*2,3 ••• ^î,«-»-l (Kj)

A'/zi,! ^m,i ^.'11,3 ••• ^*//i,n+i (K,;/)

nous dirons que ces solutions sont indépendantes^ lorsque les déterminants de degré m dont les éléments sont puisés dans cette matrice (et que nous appellerons les déterminants de ces solutions) ne sont pas tous nuls, il est clair qu'un système de solutions indépendantes se composera tout au plus de n solutions, car, les nombres «i, a„, ...,«„,, n'étant pas tous nuls, le déterminant de n -+- \ solutions est toujours nul. On peut représenter une solution par un simple symbole (R,) qui représente ainsi n -\- i nombres entiers, pris dans un ordre déterminé.

On peut déduire des solutions (K,), (K2), . . ., (K/«) une nouvelle solution

( Kl ^1 -4- K2/24- . . .-4- K,„/,;| ),

dont les éléments sont

A:|,,./l-f- A-2,r^î-H A3,,./3-+-. .. -+- A/w,r/,// (/' = ij'J. , n -m).

Nous dirons qu'un système de solutions (iv,), (Ko)? •••? C^m) forme un système fondamental de solutions, dans le cas où l'on obtient toutes les solutions de l'équation proposée, et chaque solution, i/nc seule fois, en donnant à /,, /j, . . ., tffi toutes les valeurs entières de — 30 à -h^o dans l'expression

( Kl f\ -h Kj ^2 ~^ • • • ~^ K//I tfii ).

L'existence de ces systèmes fondamentaux ne fait pas de doute ; nous avons obtenu déjà (théorème VII) un système fondamental composé de n solutions.

ÏHÉOHKME VIII. — Un système fondamental de solutions se compose nécessairement de n solutions indépendantes.

D'abord, les solutions qui composent un système fondamental (K,, Ko, ..., K;„) sont nécessairement indépendantes. En effet, dans le cas contraire, on sait qu'il existe une relation identique

( Kl Ml H- Ko W2 H- ... M- K,„ u„i ) = O;

44 T.-J. STIELTJES.

les e/|, //27 • • •) ii^m n'étant pas tous nuls. On obtiendrait donc la solution

:ri = iTi = . . . = Xn-\-i = o,

non seulement en prenant mais encore en prenant

ce qui est contraire à la définition d'un système fondamental.

Et en second lieu, on a nécessairement m = n.En efTet, la supposition de m <C n est inadmissible, car il en résulterait que m + i solutions quelconques ne pourraient jamais être indépendantes. Or, le système fondamental que nous avons obtenu se compose eflectivement de n solutions indépendantes, dont les déterminants (d'après le n° 21) sont «a ! ûf (A== i, a, . . . , n -h i).

21. On s'assure facilement que n solutions indépendantes quelconques (K,), (K,), . . . , (K„) ne forment pas toujours un système fondamental de solutions. Car si l'on clierclie à représenter une solution quelconque par

(Kl/, -hKj/s-h ...H-K,|/,i),

on trouve bien toujours des valeurs déterminées pour t^^ t^^ ..., ^«, mais ces valeurs seront en général fractionnaires.

Thkorème IX. — Cn système de n solutions indépendantes, tel que le plus grand commun diviseur de ses déterminants

Ml, Mj, ..., Mn-^l

est = 1 , forme un système fondamental de solutions. En effet, si l'on cherche à représenter par

une solution quelconque 6|, 62, ..., b„^i, on obtient, pour déterminer ^,, /^

/„, un système de /z 4- r équations linéaires, mais ces équations sont compatibles à cause de la relation

On peut donc, pour déterminer lesinconnues, faire abstraction d'une quelconque de ces équations, et Ton obtient ainsi n -f- i systèmes de n équations dont les déterminants sont M,, Ma, ..., iVIrt^.!. La valeur de tk se présentera donc sous la

forme

Pn+\

/?! ,/>2<. • • . ?/?«+! étant des nombres entiers. Mais, si la valeur fractionnaire irréductible d. ,. es> Ç, , divise™ M„ M.. .. ., M„,. 0„ , d,nc .= „ c'.sl-Wire ,. . „„e

valeur entière et les solutions indépendantes (K<, K2, ..., K,,) forment un système fondamental, ce qu'il fallait démontrer. H est clair que les déterminants de n solutions indépendantes sont proportionnels à «<, «2, . . ., an^\ {voir n** 21).

Théorèmr X. — Les déterminants d'' un systi^mc fondamental de solutions sont y abstraction faite des signes,

a\\d, af'.dj ..., a„+i:d.

Désignons par (Ai), (A2), ...,(A„) le système fondamental particulier que nous avons obtenu et dont les déterminants sont ^yt I d(k = 1,2, . . ., /i -|-i). Alors (Ki), (Ko), . . ., (K«) étant un autre système fondamental, on aura

(a, Kl -Ha2Kj-4-...-+^a„K«) = (A|), (?iKi4-p,Kj-4-...-f-p„K„) = (A,),

(âj Kl -f- Â2 K2 -h . . . -h Afi^n) = (An).

On voit par là qu'un déterminant quelconque a/d rf, du système fondamental (Al), (A2), ..., (A„) est égal au déterminant correspondant du système fondîimental (K| ), (K2), (K.«) multiplié par

SCi 2) ... Gl/j Pi p2 • • • ?n

A 1 Aj ... A/i

On a donc nécessairement A di 1 .

La liaison des divers systèmes fondamentaux est évidente. On voit que chaque système fondamental fournit une solution du problème que nous avons considéré dans le n" 21.

2o. La méthode la plus simple pour obtenir un système fondamental de solutions se fonde sur la remarque suivante.

Supposons que l'un des coefficients ai, «2> • • •? ^n^^ soit égal à

d = («1, ûf, «rt+i),

par exemple a,,^, = d. Alors il est clair que, pour avoir toutes les solutions de

réquation indéterminée

il sijffil de donner à Xt, X2- • • ", Xn des valeurs entières quelconques et à Xn^\ la valeur (entière aussi) qui en est une conséquence. On a donc, dans ce cas, immédiatement un système fondamental de solutions correspondant à la solution gênéraie

«i/, -h at/t-4-...-4- a„/y, Xl = /i Xi— II, ..., x,i= tnj ^n-^t = 2 •

Si le cas particulier que nous avons considéré ne se présente pas, soit «i le coefHcicnt non nul, dont la valeur absolue est la plus petite. En posant

X i = J*i -4- A'i Xi -h A'î X3 -+-...-+- A"/i Xfi 4. 1 ,

on aura une équation transformée

ai^r', -+- biXi-h 63 a"3 -h . . . -h b,i^\Xa^i= o.

Par un choix convenable de Ati, A'"2, ..., A/, on peut faire en sorte que le plus petit coefficient de Téqualion transformée soit moindre que «i ou même ne surpasse pas ^cii. En continuant ainsi, on tombe finalement sur une équation dont un des coefficients est cl et dont on peut écrire immédiatement un système fondamental de solutions auquel correspondra un système fondamental de solutions de l'équation proposée. Cette méthode, qui s'applique également à l'équation

aiXi -+- a^Xi-h. . .-t- a„^iX,i^i = w,

se trouve dans un Mémoire posthume d'Eiiler. Jacobi Ta rappelée à l'attention des géomètres dans un Mémoire également posthume (Journal de Crelle, t. 69, p. 21).

2(3. Les nombres a^ b^ c. . . ., / étant premiers entre eux et

m = abc, . . . , /,

mm m

nous savons que le plus erand commun diviseur des nombres — ? -r > • -•> -y est

= I. N étant un nombre quelconque, on pourradonc toujours satisfaire à l'équa-

tion

TVT m , mr .m

c'csl-à-dire on aura

N ax bi l

abc.A a b ' l

On verra facilement que la fraction -r , peut se mettre d'une seule ma-

^ abc, .,1^

nière sous la forme

Eh — î-h-T^H-...-+--7, a b l

E étant un entier positif ou négatif et

o^aj<a, o-bi<Cb, o2/t</.

La solution de l'équation indéterminée ax — My = i a été donnée en Europe, pour la première fois, par Bachet de Méziriac (Problèmes plaisants et délectables, qui se font par les nombres, a* édition; 1624. 5® édition, parLabosne; 1884). ÏjCs anciens géomètres hindous, Bhascara et Brahmegupta connaissaient aussi déjà la solution de ce problème.

Le problème dun** 11 se trouve traité complètement dans d'anciens Livres d'Arithmétique chinois. On v trouve non seulement la méthode de Gauss (n" 13), mais aussi la réduction du cas général au cas où les modules sont premiers entre eux (n° 15). On peut voir sur cette question

BiERXATZKi, Journal de Crelle, t. 52.

J. Bertrand, Journal des Savants^ 1869.

Matthiessen, Journal de Crelle^ l. 91.

La fonction ç(M) a été considérée pour la première fois par Euler. Les Mémoires d'Euler sur l'Arithmétique ont été réunis en deux volumes [Leonhardi Euleri Commentationes arithmeticœ collectœ. Petropoli, 1849). Nous citerons toujours cette édition 5 la fonction ç se rencontre dans le Mémoire Theoremala arithmetica nova melhodo demonstrata, 1769 (tome I, p. î?.74)- La démonstration d'Euler est reproduite dans le tome II de Y Algèbre de Serret. Le théorrme S(p(rf) = M est dû à Gauss {Disquisitiones arithmeticœ^ 1801, art. 39; tome 1 des Œuvres complètes).

Les théorèmes de Lagrange sur les congruences se trouvent dans le Mémoire : Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers {Œuvres, t. II) et la démonstration des théorèmes de Fermât et de Wilson, Œuvres^ t. III, p. 4^5.

La considération d'un système fondamental de solutions d'une ou de plusieurs équations indéterminées est due à M. H.-J. Slephcn Smjth (Philosophical Transactions ofthe Royal Society for the year 1861; vol. 151).

48 T.-J. STIELTJES.

Nous indiquerons ici les principaux Ouvrages d*un caractère général sur la théorie des nombres :

Galss, Disquisitiones arithmeticœ (QEuvreSy t. I). Il y a une traduction française par Foullct-Delisle.

Legkndre, Théorie des nombres, 3' édition.

Smïtii, Report on the theory of Numbers (British Association Jor the advancement of Science, 1839, 1860, i86j, 1862, i863, i865).

C'est là un résumé extrêmement important sur toutes les parties de la théorie des nombres auquel nous aurons à emprunter beaucoup de choses.

Lejel'NE-Diriculet, Vorlesun^en iiber Zahlentheorie, herausgegeben von R. Dedekind. Drilte Auflage, ^879.

Serret, Traité d'Algèbre, 3* édition, t. II.