LINÉAIRES

i . Considérons le système des congruences

a/,1 Xi -4- at^iX^ -h . . .-h a/,„ :H a?» = M/ (mod M).

Soit A = |a/A| le déterminant formé avec les coefficients des inconnues, puis a/A le coefficient de a/A dans A. On obtient immédiatement

^Xi^ UiOLii-h Ut^2i-h.,,-h UnOint (modM).

Supposons que A soit premier avec le module M, alors cette dernière relation détermine une valeur unique de Xi par rapport au module M; et ensuite il est facile devoir que les valeurs de a:<, x^^ . .., Xn ainsi obtenues satisfont bien aux conditions proposées. En effet, on trouve

\{anxi-h attXf-h. ..-f- atnXn)^ ^«i (modM)

et, puisque A est premier avec M, on peut diviser par A.

Le système des congruences admet donc une solution unique dans le cas particulier que nous considérons. On peut ajouter que les valeurs de ^t, ^2» • • •? ^n satisferont encore à la relation

si Ton a

= ( inod M ) .

En effet, il est facile de voir que cette dernière congruence peut s'écrire sous celle forme

A( Wrt+i — ««+1,1 Xi — an+i,îXi — ... — an+iniPn ) = o ( mod M ).

2. Les résultats précédents sont ceux qui s'offrent immédiatement lorsqu'on poursuit l'analogie évidente qui existe entre la théorie des congruences et la

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théorie des équations. Mais si A n'est pas premier avec M, une étude plus approfondie est nécessaire. Elle a été faite pour la première fois par M. H.-J.-S. Smith, et nous allons exposer sa théorie. Les considérations suivantes interviennent non seulement dans des questions de la théorie des nombres, mais elles sont encore utiles dans beaucoup de théories d'analyse pure; aussi plusieurs résultats isolés ont été obtenus antérieurement par d'autres géomètres.

Nous commencerons par étudier les équations linéaires indéterminées, mais il convient d'abord de fixer le sens de quelques expressions dont nous ferons usage.

En adoptant une expression introduite, croyons-nous, par M. Sylvester, nous appellerons matrice un Tableau de forme rectangulaire

«im,

contenant mn quantités données, et nous dirons que cette matrice est du type n X m. Si Ton a un système quelconque d'équations linéaires, les coefficients des inconnues constituent la matrice de ce système. Si les équations ne sont pas homogènes, on peut ajouter à cette matrice une dernière colonne formée par les termes connus. On obtient ainsi la matrice complétée du système. Les mêmes expressions s'emploieront dans le cas d'un système de congruences. Les éléments ai/( seront toujours des nombres entiers.

Les déterminants d'une matrice sont les déterminants de degré le plus élevé que Ton peut former avec les lignes ou les colonnes de la matrice; ainsi, dans le cas m^ /2, ces déterminants renferment n^ éléments et leur nombre est

Le plus grand diviseur d'une matrice est le plus grand commun diviseur des déterminants de cette matrice, en supposant que ces déterminants ne soient pas tous nuls. Dans le cas m = /i, ce plus grand diviseur est le déterminant même du système des n^ éléments.

Nous désignerons une matrice souvent par le symbole

et, dans le cas où elle est du type w x /i, | A | sera le déterminant. Deux matrices

et 1|B des types m x (m -f- n) et a? x (m + n) sont de types complémentaires. Il est

DI

clair que ces matrices ont le même nombre de déterminants, et Ton peut faire correspondre à chaque déterminant de || A.]| un déterminant de ||B|| et réciproquement, de la manière suivante.

En écrivant la matrice '| B || en dessous de la matrice || A|| on obtient une matrice

qui sera du type (m -h n) X {i^i -\- n) et à un déterminant de |1A|| on fera correspondre le déterminant de || B || avec lequel il se trouve multiplié dans le déterminant des (m -H /i)^ éléments

Souvent il n'y a pas d'intérêt à faire attention au signe d'un déterminant d'une matrice, mais dans le cas actuel il convient de faire en sorte que le produit des déterminants correspondants se retrouve avec son signe dans le déterminant des (m -h ny éléments.

3. Les déterminants d'une matrice ne sont pas indépendants; il existe en général un grand nombre de relations identiques entre eux. Nous allons nous rendre compte d'abord de la nature de ces relations et du nombre des déterminants qui sont indépendants. On pourra considérer dans ce numéro les éléments de la matrice comme des quantités arbitraires. Considérons la matrice

«/ii,l

du type m X (m -h n). Le nombre des déterminants est

(n-hj)(n -h i). ,.(n -h m) ,

mais nous allons montrer qu'il y en a seulement mn -f- 1 qui sont indépendants. Tous les déterminants peuvent s'exprimer à l'aide de mn -\- i d'entre eux. Soit

\ = \aifc

le déterminant formé par les m premières colonnes de la matrice. Le déterminant obtenu en remplaçant dans A la e*'"^ colonne par la m + A»*-*™* colonne de la matrice sera désigné par ^i,m+fc On déduit ainsi de A mn nouveaux déterminants, /

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variant de i à m, A' de i à n. On pourra les disposer dans le Tableau

^m,m-»-l ^/w^m-fl • • • Am,/n+/i'

Les mn + \ déterminants A, A/^^+a sont indépendants; on peut trouver une matrice pour laquelle ces déterminants ont des valeurs données d'avance. Prenons d'abord arbitrairement les éléments aïk de A, avec la seule restriction de vérifier la relation (2). On a ainsi les m premières colonnes de la matrice. On peut déterminer ensuite la m-f-A*'*""® colonne par la condition que les déterminants A/,OT+A(t = I j 2, . . ., m) prennent des valeurs données. En effet, on obtient ainsi m équations linéaires pour déterminer

Le déterminant de ce système est A"'"*, mais, en le résolvant, on trouve simplement

V — I) 2j Oj • m * f f/lf

K — Ij 2f Jj • • • • /»•

La vérification de ces valeurs est du reste immédiate, et Tindépendance des mfi -\- i déterminants A, ^i^m^k est manifeste.

Considérons maintenant un autre déterminant A' de la matrice. Il contiendra k colonnes appartenant auxn dernières colonnes de la matrice (A*^ 2); soient

m -f- Xj, /n-h Xj,

les rangs de ces colonnes. Les autres m — k colonnes de A' appartiendront aux m premières colonnes de la matrice, c'est-à-dire, ce sont des colonnes de A. Soient

f^i, Kî»

les rangs des colonnes de A qui ne figurent pas dans A'. En remplaçant alors dans A' les éléments ai^m+k par leurs valeurs (4), on obtient, à l'aide des propriétés élémentaires des déterminants, la formule

«^|lt,iw-hX, Auj,/nH-X, ••- ^ULjk.m-i-Xik

Ainsi tous les délermiDants de la matrice s'expriment rationnellement au moyen des mn -+- 1 déterminants A, ^i^ni^k- On voit que A' est égal à un déterminant mineur du degré A", puisé dans la matrice (3 ), divisé par A* ^ Le nombre des déterminants tels que A' est

Equations linéaires indéterminées, 4. Considérons d'abord le système linéaire et homogène

Nous supposerons que ces équations sont linéairement indépendantes, c'està-dire que tous les déterminants de la matrice de ce système ne sont pas nuls. Le plus grand diviseur de la matrice a alors une signification précise, soit d ce plus grand diviseur.

Le moyen que nous emploierons pour trouver toutes les solutions en nombres entiers consiste dans l'introduction de nouvelles inconnues.

Au lieu de ^Cf, ..., Xm-^t on peut introduire de nouvelles inconnues, en posant

Xi = C/ji X ^ -+- C/jj X^ H- . . . -+- Ci^m+n^m+ny

Les Ci^k seront des nombres entiers, et nous n'emploierons que des substitutions dont le déterminant | c/^a | == zh i .

On peut alors exprimer réciproquement les x] par des fonctions linéaires à coefficients entiers des Xiy et, comme nous ne considérons que les solutions en nombres entiers, le système transformé sera absolument équivalent au système donné, c'est-à-dire à deux solutions distinctes d'un des systèmes correspondront toujours deux solutions également distinctes de l'autre.

Parmi les déterminants de la matrice de (I) qui ne sont pas nuls, il y en aura au moins un dont la valeur absolue est le plus petit. Nous pouvons supposer, en adoptant la notation du n° 3, que A soit ce déterminant minimum. Supposons d'abord que tous les déterminants A/^^+a soient divisibles par A. Alors il est clair que l'on obtient la solution la plus générale de (I) en donnant à Xm^i, Xm+2f • • m Xnm-n des valeurs entières absolument quelconques et en déterminant ensuite

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j^,, . . ., Xm par les formules

On voit, du reste, par la formule (5) du n'* 3, que, lorsque A divise tous les A/,„i^A-, il divisera tous les déterminants de la matrice, en sorte que Ton doit avoir

Mais supposons que A ne divise pas tous les ^i^m^k ^t, par exemple, ne divise pas Ai^;,,^<. Alors, on peut toujours trouver un entière tel que la valeur absolue de

Ai,,/n-i — cA

soit inférieure à celle de A. La substitution de déterminant -h i

Xi = x'i (e = I, -2, 3, . . ., m, m -f-2, /n-H 3, . . ., m -+- n),

^m-\-\ ^^ •'^//n-i — ex Y

transformera alors le système (1) dans un autre système dans lequel un des déterminants est ^\^m^\ — cA. Le déterminant minimum du système transformé est donc plus petit (en valeur absolue) que A. Si ce déterminant minimum ne divise pas tous les autres déterminants, on pourra encore le diminuer par le même procédé. Il est clair que Ton finira par trouver un système transformé dans lequel le déterminant minimum divise tous les autres déterminants, et dont on peut écrire alors immédiatement la solution la plus générale. Cette solution renferme, comme nous l'avons vu, n indéterminées auxquelles on peut donner toutes les valeurs entières de — QO à -H 00.

Théorème I. — On obtient toutes les solutions du système {\)^ et chaque solution une seule fois, par les formules

(lï)

3Ci = ?l,{ti -f- Pi,//! -T- . . . -h P«,,/«,

en donnant à i|, ^2? • • •? ^n toutes les valeurs entières de — oo à -|-oo.

11 est clair qu'en substituant les expressions (II) dans le système (I), les coefficients de tiy t2, ..., tfi doivent s'annuler.

On obtiendrait donc encore des solutions de (I)en donnant à /|, . . ., //, des valeurs fractionnaires. Mais il est clair que l'on ne peut jamais obtenir, de cette façon, une solution de (I) en nombres entiers, car toute solution entière correspond à un système unique de valeurs entières de ^i, . . ., /„.

Pour obtenir, dans un cas donné, la solution générale sous la forme (II), il sera plus pratique de procéder autrement. On cherchera, par exemple, par la méthode d'Euler (Chap. II, 25), la solution générale de

qui renfermera m -h /i — i indéterminées, puis on introduira ces valeurs dans la seconde équation

etc., jusqu^à ce que l'on ait épuisé les m relations données.

Si Ton transforme, comme nous l'avons fait, le sjslème (I), il est clair que tout déterminant du système transformé est une fonction linéaire à coefficients entiers des déterminants de (I), et réciproquement. On voit par là que le plus grand diviseur des deux matrices est le même et, par conséquent, dans le procédé que nous avons employé plus haut, on trouvera finalement un système dont la matrice a un déterminant minimum égal à dz rf.