Considérons/' solutions du système (I

<*/*,li *r,2> •••> ^r^m-^-nt

que nous désignerons quelquefois aussi par de simples lettres A^, A2, ..., A^. Ces solutions sont indépendantes si tous les déterminants de degrés r ne sont pas nuls. Il est clair que Ton peut trouver tout au plus n solutions indépendantes, car, puisque toutes les solutions sont comprises dans les formules (II) (n° 4) qui ne renferment que n indéterminées, n -\- i solutions ne sont jamais indépendantes. En multipliant les solutions précédentes par ^i, /o? • - -, tr et en ajoutant, on obtient une nouvelle solution

A 1 <i H- Aj ^2 -H . . . -H A,, r;.

dont les éléments sont

Nous dirons que les solutions

Al, Aï, .'.., A;.

forment un système fondamental de solutions, lorsque Ton obtient toutes les solutions possibles, et chaque solution une seule fois, en donnant à ^1, ^2? • • v ^r

les valeurs entières de — oo à -f-oo. L'existence de ces systèmes fondamentaux de solutions ne fait pas de doute, car nous savons, par le théorème I, que

est un tel système.

P/,lj P/,1» •••» P/.m+a

Théorème II. — Un système fondamental de solutions se compose de n solutions indépendantes*

Ce théorème est une généralisation du théorème VIII du Chapitre II; la démonstration est exactement la même.

La matrice formée par n solutions indépendantes, ou par un système fondamental de solutions, est du type n x {m-\- /i), donc du type complémentaire de la matrice du système (1).

Considérons la matrice du système (1) et la matrice formée par n solutions indépendantes

•» ^1,/rt-*-/»»

Les relations qui existent entre ces nombres se réduisent à ceci : que la somme obtenue en multipliant les éléments d'une quelconque des m premières lignes par les éléments correspondants d'une des n dernières lignes est nulle.

On voit donc qu'il y a une réciprocité complète entre les deux matrices, et si l'on considère le système indéterminé

les nombres

^/,l» <2t/,j, ..., ai^fn-k-n (t = 1, 2, , . ., m),

en donneront m solutions indépendantes.

D'après ce que nous avons dit dans le n** 2, on peut faire correspondre à chaque déterminant de la matrice ||a/,A|| un déterminant de la matrice ||a/,*|| d*un système de n solutions indépendantes.

Théorème III. — La matrice d'un système fondamental de solutions a V unité pour plus grand diviseur.

Considérons, en effet, les formules

[i= 1,2, .. .,(m -f- 71)] qui renferment la solution la plus générale. Il est clair d'abord que

( Pl,l ?l,î • • • Pl,/n-4-/i) = I ,

car, si ces nombres étaient tous divisibles par c]^ i, on trouverait une solution

entière en posant /^ = - > ce qui, on le voit facilement d'après ce que nous avons

dit plus haut, est contraire à la nature d'un système fondamental de solutions. Ensuite, je dis que les déterminants de la matrice

Pl.lï Pl,î> • • •> Pl,m-4-/i»

Pj.lj Pl,«» •••, Pl,w-i-a

ont aussi 1 pour plus grand commun diviseur. Car si ces déterminants étaient tous divisibles par c >> i, c ne divisera pas tous les éléments de la première ligne, par exemple c ne divisera pas ^\^\\ mais alors on trouverait encore une solution entière en posant

ce qui est impossible.

Ensuite, je dis que le plus grand commun diviseur de la matrice

Pl.l» Pî,lj ■ • •» Pl,/n+/n Pï,l> Pl.îj •••? Pî,/n-4-/ï»

P8,ïï p3jt> •••» P3,m-»-rt

est encore = i . Car si ce plus grand diviseur était c >> i, c ne diviserait pas, par exemple, le déterminant

Pm p«..

et, en posant

P«,i Pï,.

P3,l Ps.î

Pi,l Pi,.

Pi,i Pi,.

Pî.i P.,.

on trouverait encore une solution entière, ce qui est impossible.

Il est clair que l'on peut continuer ainsi, pour arriver au théorème énoncé.

^8 T.-J. ST1ELTJES.

6« En cherchant â exprimer une solution quelconque

*if *f *«— •

far un ^jU^me fondamental de solution S/.*, on est amené à déterminer n inconnui*s /| , /j. . - -, /« par m — n équations

/ 1 = I . i m — Ht.

On sait d'a\ance qu'il existe une solution unique el en nombres entiers: ce système linéaire doit donc présenter certaines circonstances particuli^'-res. Nous allons montrer qu'elles se réduisent à ceci : d'abord le plus grand diviseur de la matrice du svstéme est = i, ensuite tout déterminant de la matrice complétée est nul, car cette matrice complétée se compose de /i -^ i solutions.

Tbéoréme IV. — Un système de m-r- n équations entre n inconnues

admet toujours une solution unique et en nombres entiers, lorsque le plus grand diviseur de la matrice du système est = l 'et que tous les déterminants de la matrice complétée sont nuls.

Nous ajouterons un théorème analogue sur les congruences.

TBtoKkut, V. — Un système de m-^-n congruences entre n inconnues

ai == p,,/^! -+. p,,//, ^ . . . ^ ?«.//, ( mod M),

admet toujours une solution unique, lorsque le plus grand diviseur de la matrice du système est premier avec yi et que tous les déterminants de la matrice complétée sont zn o (mod M).

Il suffira de démontrer ce dernier théorème ; nous pouvons écrire les congruences données ainsi

A/ S5 «/ (mod M), (t= i,a, ..., m -f- n),

les A/ étant des fonctions linéaires en /|, . .., //|. Considérons le déterminant minimum A de la matrice de ce système. Si A divise tous les autres déterminants, il sera premier avec M d'après notre hypothèse. Les n congruences correspondantes admettront alors une solution unique et cette solution satisfera aussi à toutes les autres congruences {voir le n^ 1 ).

Mais si