IP/,*I

ne divise pas tous les autres déterminants, il ne divisera pas, par exemple, le déterminant

Pl.î Pî,«

Mais alors on pourra remplacer le système donné par le système équivalent

A/14-i— cAi = «n+i — cai,

et ce nouveau système aura, pour une valeur convenable de c, un déterminant minimum plus petit que A. On pourra ainsi diminuer le déterminant minimum jusqu'à ce qu'il soit devenu égal au plus grand diviseur de la matrice donnée. Il divisera alors tous les autres déterminants et Ton est ramené au cas que nous avons considéré d'abord.

Le théorème IV peut se démontrer d'une façon toute semblable, ou encore parle raisonnement que nous avons fait dans la démonstration du théorème IX (Chapitre II).

Nous indiquerons encore une autre démonstration du théorème V.

Si Ton écrit

où P, Q, R, ... sont des puissances de nombres premiers distincts, on reconnaît facilement que les congruences données admettent une solution unique, par rapport à chacun des modules P, Q, R, . . ., d'où l'on peut conclure qu'elles en admettent aussi une par rapport au module M.