Multiplication des matrices. — Soit
Il «.-.* Il ( . ) ,
ou II A II une matrice du type n x (/n-f- n), (/n>o),
Il ^/,*ll (*»^= 1,2» ••.» f^)y
OU II C II, une matrice du type nx n, nous représenterons par
||G||x|lA|| = ||A'||
T.-J. STÎELTJES.
une matrice du même l^-pe que [A et dont les éléments sont
<^i,k — C/,|ûf|,Jt — Ci^^a^^k — ... — Ci^n^a^k
lorsque C« ]| est encore du type nx.n, nous écrirons
et il est facile de voir que
■C.i.xJC:|x|iAJ = !'|G,- X Gl':x |A,'.
Mais on ne peut pas permuter les deux matrices dans un produit, et si l'on considère un produit de plusieurs facteurs
|G„'ixi'C„,;;x...x;ic;'x.'A|i.
on suppose toujours que toutes les matrices |1Ca|| sont du type n x n : seule la matrice | A || peut être du t^pe n x (m -h n), le produit est toujours du même type que||Aj|. ^
Il est clair que, lorsque
:iA'i:=.;iC;|x|iA|;.
tout déterminant de || A'|| est égal au déterminant correspondant de j| A ]'^ multiplié par le déterminant |C|. Les déterminants correspondants de || A || el 1' A' || seront proportionnels et si, en particulier, le plus grand diviseur de | A | est = i , le plus grand diviseur de || A' || sera la valeur absolue de | C |. Dans le cas où le déterminant
Cn,t Cn,t
nous désignerons par || C|| * la matrice
^ïl,»» ^ïî,»> •••» 3Y«,n»
Y/,A étant le coefficient de Ci;a dans le déterminant | C
On voit que
l|G||x|lG||-«=||C|l-'x|lCl| =
et de la relation
on peut conclure
Il A' Il = H C II X II A 11.
||A|| = |lG|hix||A'||.
8. Soit II A II la matrice formée par n solutions indépendantes, || B || la matrice formée par un système fondamental de solutions.
Puisque les solutions de || A || peuvent se déduire du système fondamental [j B | , cela revient, avec notre nouvelle notation, à dire que
Il est clair que le plus grand diviseur de ||A|| est =zt:|C|, et, dans le cas |C|=iii:i, Il A II est évidemment aussi un système fondamental de solutions,
car
||B|| = ||G||-tx||A||.
Si l'on considère plusieurs systèmes de n solutions indépendantes, ou de systèmes fondamentaux, les déterminants correspondants seront toujours proportionnels.
Théorème VI. — Lorsque le plus grand diviseur de la matrice
|1B|| du type /i X (/n-+-/i) est =^\<i et que les déterminants d^une matrice
Il A II du type fi X (m-hn)
sont proportionnels aux déterminants correspondants de ||B||, on a toujours
l|A|| = ||G|lx||B||
et la matrice |j C || est unique.
En effet, on obtient pour déterminer c/,i, C|,2, . • ., ct^n les équations
62 T.-J. STIELTJES.
Un déterminant quelconque de la matrice complétée de ce système, tel que
^1,1 ^î,i ^«,1 «/,i ^i,t ^i,« àn,t a/,j
est nul, car d'après la proportionnalité supposée entre les déterminants de || A|| et de II B ||, il est permis de remplacer partout fe/^/t par a/,*, à condition de diviser après par un certain nombre entier le facteur de proportionnalité.
Mais on obtient ainsi un déterminant avec deux colonnes identiques. Donc, d'après le théorème IV, il existe un système et un seul de valeurs c/^i , C|,2> • • • » <^/,/i qui satisfont à la question.
On voit qu'une matrice du type n x {m -h n) dont les déterminants (non tous nuls) sont proportionnels aux déterminants de la matrice || B|| formée avec un système fondamental (ou avec n solutions indépendantes) est nécessairement composée avec n solutions indépendantes.
Théorème VII. — Les déterminants d'une matrice formée par n solutions indépendantes, du type nx (m-^ n)^ sont proportionnels aux déterminants correspondants de la matrice du type m x(m-h n) du système indéterminé donné (I). En particulier, un déterminant d'un système fondamental de solutions est égal au déterminant correspondant du système (I), divisé par rf.
Il suffira de faire voir que le théorème se trouve vérifié pour un système particulier de n solutions indépendantes. Un tel système peut se déduire des considérations du n^ 3. Supposons que le déterminant A ne soit pas nul, alors on a le système suivant de n solutions indépendantes
^l,/n-+-l> ^t,mH-I» •••> ^/n,m+l> — ^> O, O, ..., O,
En effet, ce sont là bien n solutions, car on a [form. (4) du n» 3]
Ces solutions sont indépendantes, car l'un des déterminants est ( — A)".
Et si l'on considère maintenant les déterminants de cette matrice qui correspondent aux mn -\- i déterminants que nous avons considérés dans le n» 3, on reconnaît immédiatement qu'ils n'en diffèrent que par le facteur ( — i)" A" "*, et cette proportionnalité s'étend aisément aux autres déterminants.
Plus généralement, on peut obtenir n solutions indépendantes ainsi. Soit
Puisque tous les déterminants de la matrice donnée ne sont pas nuls, on pourrachoisir les nombres c/,*, de manière que D ne soit pas nul. Désignant alors par C|^* le coefficient de Ci^k dans D, il est clair que Ton a le système suivant de n solutions
Ci,i, ... ., Cl,
Git,i, . . • » '-•/i,
et, d'après un théorème connu, un déterminant quelconque de cette matrice est égal au déterminant correspondant de la matrice || ai,A|| multiplié par D""*.
9. Nous allons résoudre maintenant le problème suivant. Etant donnée une
matrice
du type n x (m 4- n), dont tf est le plus grand diviseur, trouver toutes les solutions
de Péquation
le déterminant | C | étant ± d. Il est clair que le plus grand diviseur de || B|| est i, et si Ton a trouvé une matrice dont les déterminants sont proportionnels à ceux de Il A II et dont le plus grand diviseur est = i, on pourra la prendre pour ||B||; la matrice || C|| s'en déduit d'après le théorème VI.
On peut obtenir une telle matrice jj B || en considérant le système indéterminé dont la matrice est || A ||. On cherchera m solutions indépendantes formant une matrice Il A' ||. Ensuite, on cherche un système fondamental de solutions du système indéterminé dont la matrice est || A' ||. La matrice formée par ce système fondamental satisfait évidemment aux conditions.
Mais voici une autre méthode qui sera préférable ordinairement. Divisons d'abord la première ligne horizontale de || A || par le plus grand commun diviseur des nombres qu'elle renferme, on aura ainsi la matrice
ûfj,m-t-ii»
Soit maintenant rf| le plus grand commun diviseur de la matrice formée avec les deux premières lignes. Je dis que l'on pourra déterminer un nombre x satisfaisant aux congruences
C'est ce qui résulte du théorème V. En retranchant donc de la seconde ligne, la première multipliée par x^ elle deviendra divisible par d^ et, après la division, on aura une matrice
^l,lï ^l,tj • • • » b\,m-¥nf ^J,l» ^î,ÎJ •••» ^t,m-*-/i»
<^3,l> ûJ3,t> •••> ^8,/n-»-n>
et le plus grand diviseur de la matrice des deux premières lignes est =: i .
Soit d^ le plus grand diviseur de la matrice des trois premières lignes, les con-
gruences
admettent encore une solution, d'après le théorème V. En retranchant de la troisième ligne la première multipliée par ^ et la seconde ligne multipliée par^^, on pourra diviser par d^ et, dans la matrice obtenue
^1,1» ^l,l> • • • j ài^ffi-^ni
<^4,l> <2*,î> •••» ûf*,m-»-/i>
le plus grand diviseur de la matrice partielle formée par les trois premières lignes est = I. Il est clair que l'on peut continuer ainsi, on finira par trouver une matrice
Il ^a- 11 = Il B II
dont le plus grand diviseur est = i, et il est clair que ses déterminants seront proportionnels à ceux de || A ||. On peut remarquer que ce procédé donne, dans le cas m = (), une nouvelle méthode pour la construction d'un déterminant =± i. Ayant ainsi obtenu une solution particulière
!IA||-||Ciixi|-B;|,
il est facile de voir que la solution la plus générale sera comprise dans les formules
||A|| = ||Co|lx||BoI|, où
||Bo|| = ||E||x||B||, ||Co|| = ||G||xl|E||-i,
Il E II étant une matrice quelconque du type n x n dont le déterminant est ± i.
Lorsque || A|| est la matrice de n solutions indépendantes du système (I), la matrice Il B[| sera composée d'un système fondamental de solutions.
