On peut obtenir la solution du système
( i = ij If . . ., m
encore par une autre méthode, un peu différente dé celle que nous avons exposée dans le n** 4, et qui conduit à un résultat dont nous aurons besoin plus loin.
Nous avons vu, dans le Chapitre II, que par une substitution linéaire de déterminant ± I, on peut transformer l'expression
en d^x^'i d{ étant le plus grand commun -diviseur des coefficients ai,i, . . ., «i,»j+/|. A l'aide de cette transformation, on déduira de (I) un système équivalent dont la matrice affectera la forme
Les coefficients a,^ 21 ^'2 i> • • •? ^2 m^n ^^ peuvent pas être tous nuls, car tous les mineurs du second degré des deux premières lignes seraient nuls ; la même chose aurait lieu pour la matrice des a/^A, ce qui est contre l'hypothèse admise. En opérant donc sur les variables j?2, x'^, . . ., ^^+„, on pourra transformer encore le système de manière à obtenir un nouveau système dont la matrice affecte la forme
cti
dt
66 T.-J. STIELTJES.
rfa étant le p. g. c. d. de a^^, a'^ ,, ..., a'a^^+,j. En continuant ainsi, on sera amené finalement à une matrice de la forme
di o ... o o
Pî,i di .. . o o
Pm,l Pm,l ••• Pm,/M— l»^/w
Il est clair qu'on aura rf= rf| rfa^fa. . . rfm» et si les nouvelles inconnues sont ytt yi'ï • • "tym+n, la solution la plus générale s'obtient en posant
yi = yi = yi = "-=ym = o,
tandis que j^;„^i, ym+2) • • *i ym+n peuvent prendre toutes les valeurs entières de — 00 à -f-oo.
On peut simplifier encore le tableau (A). En remplaçant d'abord y2 par y 2 — cy^j il est clair qu'on peut faire en sorte que le coefficient ^2,1 devient positif, mais inférieur à <i2- En remplaçant ensuite y^ par y^ — cj'2 — 0^2 > o" peut assujettir les coefficients ^3^1, ^3,2 aux limitations
On voit, en définitive, qu'il existe toujours une substitution de déterminant ±: 1 , tel que le système transformé a une matrice de la forme particulière (A), où les coefficients rf|, d^^ . • ., dm sont positifs et
o^^i,k<di "[A:= r,2, ...,(i:— i)]
{voir Hermite, Journal de Crelle, t. 41, p. 192). On verra facilement que cette forme réduite (A) est unique. La nature invariantive des coefficients du tableau (A) s'aperçoit aisément. D'abord il est clair que di est la plus petite valeur (sauf o) que peut avoir l'expression
0*1, x^t • • • , Xm^n étant liés par les relations
Ensuite ^2,1 est la plus petite valeur que peut avoir la fonction linéaire
j?i, • • ., Xm^n étant liés par la relation
Ensuite ^s,,, ^3^2 sont les plus petites valeurs de
jTi, . . . , j:;,!^./, étant assujettis, dans le premier cas, aux relations
et, dans le second cas, aux relations
ainsi de suite.
«1,1^1 -+-...-+- ax^ni-\-n^m-^n = O»
H. Considérons maintenant le système non homogène
* Soit rf le plus grand diviseur de la matrice de ce système, d' le plus grand diviseur de la matrice complétée, il est clair que cP divise d. Mais, en éliminant m — I des inconnues, on reconnaît que tout déterminant delà matrice complétée, qui n'est pas en même temps un déterminant de la matrice non complétée, doit être divisible par d. Pour que le système (III) admette des solutions, il est donc nécessaire que Ton ait rf= d. Mais cette condition est aussi suffisante.
Théouème VIII. — Pour que le système (HI) admette des solutions, il faut et il suffit que le plus grand diviseur de la matrice du système soit égal au plus grand diviseur de la matrice complétée.
En effet, dire que le système (III) admet une solution, c'est la même chose que de dire que le système homogène
UiXQ -4- a/, 37, H- a/,ja?2 -4- ... -4- Cli^m-\-n^m-\-n^ O
admet une solution où :ro = — i . Or la solution générale du système homogène est
En supposant d = d' les déterminants de la matrice des || Pi,k\\ qui renferment
68 T.-J. STIELTJES.
les coefficients ^0,0? ^i,o« • • •? ^/2,o sont égaux aux déterminants correspondants de la matrice du système homogène, divisés par d. Mais ces déterminants sont simplement les déterminants du système (III). et en les divisant par d on obtient des nombres dont le p. g. c. d. est = i. Il est clair par là que le p. g. c. d, de ?o,o^ ?i,Oî •••> ?/ï,o est aussi = 1, et, par conséquent, on peut donner à /©, /i, ..., /;„ des valeurs telles que jr© = — <• On reconnaîtrait aussi facilement la vérité de ce théorème à l'aide de la méthode de réduction du n° 4. On voit, d'après ce théorème, que si l'on considère l'ensemble des solutions du système
homogène (1), la plus petite valeur de x*(sauf o) est -^> dk étant le plus grand
diviseur de la matrice obtenue en supprimant la A'*''"* colonne. Cette valeur -^ est donc, dans tout système fondamental de solutions
le p. g. c. d. de ^i,a, ?2,a, • • ., ^i«,A.
Il est clair que pour obtenir la solution la plus générale du système non homogène (III), il suffit d'ajouter à une solution particulière la solution la plus générale du système homogène (I).
12. Si le système (III) admet une solution pour certaines valeurs de //«, W2, . . ., Unij il en sera de même encore si l'on remplace ces nombres par t^i, v^^ ....
i'//i, on
ttiz^Çi (modd), £=ri,îî, ..., m,
La possibilité ou l'impossibilité du système ne dépend donc que des résidus de W|, «2, . . ., Um par rapporta d. Le nombre total de ces systèmes de résidus est de rf"*, mais pour rf*»*» de ces systèmes seulement, les équations (III) admettent une solution-. Pour le reconnaître, il suffit de recourir à la transformation du n® 10, qui donne un système équivalent de la forme
d\ d^ , , , dffi = d.
Il est clair d'abord que w, ne peut voir que ~ valeurs par rapport au module rf.
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 6c)
A chacune de ces valeurs de Ut correspond une valeur déterminée de yt et eusuite évidemment -r valeurs de Wa par rapport au module d, A chaque système de valeurs de Wj et 112 correspondent ensuite des valeurs déterminées de y^ et ^'2 et ensuite -j- valeurs de a^ par rapport au module d, etc. Le nombre total des systèmes de résidus de M|, ^2? • • • > '^m? par rapport au module d, est donc
Parmi les valeurs admissibles pour w/ figure toujours la valeur Ui^= o, et si l'on se donne d'avance
les wa+i, . . ., Um ne peuvent plus représenter que d"^~^ systèmes de résidus par rapport au module d. Mais, en raisonnant comme tout à l'heure, on voit quc<. parmi ces systèmes, il n'y en a que
= didi.,. dkX d'"-^'-^,
dk-^\i dfc^i'i . . . , dffi
pour lesquels le système (III) admet des solutions. Il est clair que d^d^ , . . dk est ici le plus grand diviseur de la matrice des k premières des équations (III).
13. Ces propositions ont lieu encore dans le cas n = o, lorsque le nombre des équations est égal au nombre des inconnues, et nous allons en faire une application dans un cas de cette nature.
Prenons un système de m^ nombres entiers
dont le déterminant
est positif ]>> o.
Si l'on considère les équations
(A) --a?, -4-— --ar2-f-...-h T- — Xm= uu
le déterminant est A'»^', et, d'après ce qu'on vient de voir, il y a A^'»"**^' systèmes de résidus m par rapport au module A"*~* pour lesquels le système (A) admel une solution entière. Mais la solution de ce système est donnée par les formules
t = 1} 2, . • • ) ni.
T,-J. STIELTJES.
On voit donc que si le système a une solution entière pour un système de valeurs de Wi, . . ., Um^ il en aura encore une en remplaçant z^/par p/^ ui (mod A). Soit k le nombre des systèmes de résidus des Ui par rapport au module A, pour lesquels les équations (A) admettent une solution, un tel système en engendrera évidemment A"*^'""*^ par rapport au module A*""** ; donc
11 est clair, du reste, que ce nombre k est simplement le nombre des solutions des congruences
et, diaprés un théorème que nous rencontrerons plus loin, on peut conclure de là aussi cette valeur A* == A.
Ce résultat peut s'énoncer ainsi :
Théouème IX. — Il y a exactement A systèmes de nombres entiers X|, X2^ . . .y Xm qui satisfont aux inégalités
dl
Dans les cas m = 2, m = 3, ce théorème admet une interprétation géométrique très simple. Considérons dans l'espace trois axes rectangulaires OX, OY, OZ et le réseau de tous les points dont les trois coordonnées x, y, z sont des nombres entiers. Soient
A (ar,, j^,, ^,), B (j-„^„ Zi), C (Xi.yi, 5j)
trois points du réseau ; nous supposerons que
^1 yi -»!
^3 yi Zi
soit différent de zéro et positif. Alors' A est le volume d'un parallélépipède dont trois arêtes sont OA, OB, OC. Soient Oj, A,, B|, C| les sommets du parallélépipède opposés à O, A, B, C.
L'équation de la face OBC est
dA
àyx dzi
et Téquation de la face opposée O4 B|C| passant par le sommet 0| est
dxi dyi dzi
Les trois inégalités
dxi dyx àzi
o<— X-h— Y-i-— Z<A ~ c^a^j cj^f dZi '
og^— X-+- T— Yh- 3— Z<A àXi oy^ àz%
expriment donc que le point X, Y, Z est à l'intérieur du parallélépipède ou sur Tune des faces passant par O, mais non sur une des faces passant par 0|. Le théorème IX exprime donc qu'il y a exactement A points du réseau qui satisfont à ces conditions. Une légère attention suffit pour reconnaître que, dans ce dénombrement, il ne faut compter qu'un des huit sommets du parallélépipède : c'est le sommet O. Quant aux points sur les arêtes (mais qui ne sont pas des sommets), il ne faut compter que les points qui sont sur les trois arêtes passant par O. Enfin, pour les points sur les faces (mais non sur une arête), il ne faut compter que ceux qui sont sur les trois faces passant par O, mais non ceux qui sont sur les trois autres faces.
Il est clair qu'on obtiendrait le même nombre A, en comptant tous les points sur les faces, arêtes, sommets, si Ton adopte cette règle de compter un sommet pour -y, un point sur une arête pour j, un point sur une face pour^.
Il serait extrêmement facile de démontrer directement ce résultat en prolongeant les arêtes OA., OB, OC jusqu'en A', B', C, de telle manière que
OA'=)t.OA, OB'=A-.OB, OC'=>t.OG,
k étant un entier, et en considérant alors le parallélépipède avec les arêtes 0A\ OB', OC. Le rapport des volumes des deux parallélépipèdes est /:', et l'on reconnaît aussi que le rapport des nombres des points du réseau à l'intérieur des deux parallélépipèdes (comptés d'après la règle indiquée) est aussi exactement k^. Or, d'après la définition même du volume, le rapport du volume et du nombre des points à l'intérieur du parallélépipède OA'B'C doit tendre vers i pour k == oc. Mais puisque ce rapport ne varie pas, il est toujours = 1 .
On peut se placer à un point de vue un peu différent. Considérons dans l'espace le réseau des points dont les coordonnées sont des multiples de t? A* étant un nombre entier. Le volume d'une certaine partie de l'espace peut être défini
alors (d'après Lejeune-Dirichlet) comme la limite du rapport
pour k = 00, M étant le nombre des points du réseau qui appartiennent à la partie de l'espace que l'on considère. Adoptant cette définition de volume, on peut conclure directement du théorème IX que le volume du parallélépipède OABC est exprimé par le déterminant A.
On comprendra maintenant que M. Smjth a pu déduire de ces considérations une démonstration arithmétique de la formule de transformation des intégrales multiples.
Solutions de quelques problèmes sur les matrices,
