Etant donnée une matrice
«1, a,, . . ., an+i ou II A ||
du tvpe I X (n -h i), dont rf est le plus grand diviseur, nous avons vu (Chap.11,22) qu'on peut trouver toujours une matrice
ll^a-ll ou ijBli
du type 72 (/2 4- i), telle que le déterminant
Proposons-nous maintenant de trouver la solution la plus générale de ce problème. Il est clair, en divisant tous les éléments de || A|| par rf, qu'on peut supposer d =z i. Cela étant, si l'on a
C II étant une solution quelconque, nous savons, par le théorème VI, qu'il existe toujours une matrice ||E|| du type (n -\- i) x (n -i- 1) (et une seule), telle que
= llE|lx
où;|E|| =
entière
± I. Mais il est clair que la matrice ||E || doit avoir ici la forme parti-
Pi
elj .
Pt
Pn
en,x
P\T Pli ' ' ") Pn étant arbitraires et | Ci^k | = zt i . Avec celle expression de || E ||, la formule (i) renferme donc toutes les solutions du problème et chaque solution une seule fois. On peut mettre cette solution sous une autre forme en remarquant que la matrice || E || peut se mettre sous la forme
Çt
<ln
<74, ^To, . . . , y,, étant des nombres qui peuvent avoir des valeurs arbitraires. En substituant cette expression dans la formule (i), on obtient sans difficulté la matrice la plus générale || C || qui satisfait au problème, sous la forme
B II == Il hi^H II étant une solution particulière.
lo. Plus généralement, soit
ll«/,A-l| OU II A 11
une matrice donnée du type m x (m •+- n), dont d est le plus grand diviseur. Proposons-nous de trouver toutes les matrices
Ika-ll ou II G II
du type complémentaire n x (m -h n) telles que
A- = ï,2, . . ., (/TU- n) I
= dzd.
On peut remarquer d'abord qu*on peut supposer d=: i, car nous savons qu'on peut trouver une matrice ||A'|| du même type que ||A||, dont les déterminants sont proportionnels à ceux de || A|| et dont le plus grand diviseur est = i (n°9). (^etle matrice || A' || étant obtenue, il est clair que les deux conditions
=zdzdy
sont absolument équivalentes. Nous supposerons donc rf=i, et de plus qu'on ait obtenu déjà une solution particulière
Il 6.-,* Il ou ||B|1
lO
Ayant
on en conclut encore par le théorème VI
E|| étant une matrice du type (m -i- /i) x (/n 4- /j) dont le déterminant est Mais il est clair que cette matrice || E || doit avoir ici la forme particulière
Pu
Pn,i
Pn,i
Pn,
^n,rf
Cette formule (i) renferme ainsi déjà la solution la plus générale du problème, mais on peut la mettre encore sous une autre forme en remarquant que la matrice ]| E II peut se mettre sous la forme d'un produit
Çn,m O O
OÙ les gr/^A peuvent avoir des valeurs quelconques. On obtient facilement
X ||ô/,jt-+-^/,iai,A.-+- gF/,,a,,*
qi\m^m,k I!
où les ei^k doivent satisfaire à la relation | a^k \=àzi.
Pour obtenir la solution particulière || B ||, on prendra d'abord une matrice quelconque || m/,* || ou || M || du type n x(m -h n), telle que le déterminant de la
matrice
ne soit pas nul. Par le procédé du n^ 9 on pourra, sans changer les m premières lignes, en déduire une autre matrice du même type {m + n) x {m 4- n) et dont le déterminant est ±: 1 .
16. Nous avons vu (Chap. II, n** 21) qu'on peut toujours trouver une matrice du type n X (/i + 1) dont les déterminants ont des valeurs données, non toutes nulles. On peut se proposer d'obtenir toutes les matrices qui satisfont à ces conditions, mais nous traiterons directement le problème plus général ;
Trouver toutes les matrices du type m x (m -{- n) dont les déterminants ont des valeurs données.
A cause des relations identiques entre les déterminants, les valeurs données ne peuvent pas être quelconques. Adoptons les notations du n° 3 et supposons que le déterminant A ne soit pas nul : on pourra se borner à considérer les mn -|- i déterminants A, A/^„4^A- Ces déterminants-là ne peuvent pas même être des nombres arbitraires, il faut que les autres déterminants A' qu'on en déduit par la formule (5) du n° 3 soient aussi des entiers. Mais, cela étant, nous allons voir que le problème est toujours possible et admet une infinité de solutions.
En effet, prenons d'abord arbitrairement les m premières colonnes avec la seule
condition
\ai^k\ = ^ (t, A: = 1,2. . .,m),
alors on pourra déterminer les autres colonnes comme au n°3; il est vrai que ces autres éléments
ne seront pas des entiers; toujours est-il vrai que la matrice ainsi formée admettra pour déterminants les valeurs données, qui sont toutes entières. En multipliant les lignes horizontales par A, on obtiendra une matrice dont les déterminants sont proportionnels aux valeurs données. On peut alors déduire de là (par le procédé du n" 9) une autre matrice dont les déterminants sont encore proportionnels aux valeurs données, mais dont le plus grand diviseur est i. Soit
IIBII
cette matrice, si d est le p. g. c. d. de tous les déterminants de la matrice cherchée, l'expression la plus générale de cette matrice sera
IIG||x|lBl|,
OÙ II C II est une matrice quelconque du type mx m^ dont le déterminant est = dz rf. En prenant en parliculier pour les ai^k (hf^ = i> • • • î ^) les valeurs sui-
vantes
on trouve que les déterminants de la matrice
*l,/«-4-/ïi
^ni^m-\-n
sont proportionnels aux déterminants de la matrice cherchée; on pourra donc en déduire la matrice || B ||.
Si Tun des déterminants donnés divise exactement tous les autres, on le prendra pour A ; dans ce cas, on peut écrire la matrice || B jj sans aucun calcul.
Une autre méthode pour trouver cette matrice || B || est la suivante ; considérons le système d'équations linéaires homogènes dont la matrice est
^//IjOTH-l — ^
^l,m-»-» ^lytn-^n • • • ^m^m+n O O ... — A
La matrice formée par un système fondamental de solutions de ces équations sera une matrice du type m x (m-\- n); ses déterminants seront proportionnels aux valeurs données et le plus grand diviseur de cette matrice est = i . C'est ce qui résulte immédiatement des propositions établies précédemment, si Ton se rappelle le théorème VII et sa démonstration.
