Soit II A diviseur est 8, telle que
= Il ^i,k II une matrice du tj-pe m x (m-i- n), dont le plus grand C II = Il a^ff II une matrice du type complémentaire /? x (m H- /i),
Cn,i
Nous savons qu'il existe de telles matrices (voir n° 13).
Soit ensuite ||B1| = || 6i,a|| une matrice du type n x (/w + /i), formée par un système fondamental de solutions des équations linéaires homogènes
Les matrices || B|| et || C|| sont du même type; à un déterminant A^ de la première on peut faire correspondre un déterminant A^ de la seconde, en supposant que deux déterminants correspondants sont formés avec n colonnes de même rang (et prises dans le même ordre) dans les deux matrices. Cela étant, on a
la sommation s'étendant à toutes les paires de déterminants correspondants. Pour le montrer, remarquons que le plus grand diviseur de la matrice || B|| est l'unité : on peut donc former une matrice || D l| = |' rf/,A|| du type m x (/n -|- /?), telle que
di.
in-¥n
'/iiym-i-n
En multipliant les deux déterminants (i) et (2), il vient
c'est-à-dire
Ai,i . . . ^m,\
^l,n • • • <^rt,rt
Or, Art et A,/ étant deux déterminants correspondants des matrices || A j] et | IJ
T.-J. sriELTJES.
de même type, on a, d'après une propriété élémentaire des déterminants,
et de même
A^l,l • • • A/Hj]
Ai,//i • • . ^m^m
•'ijrt • • • t'/I,/!
=2AaArf,
Hr.
Mais tous les déterminants A^ sont divisibles par o; on a donc nécessairement
\^AaA^ = dto, \^AaA,. — it: I, r.. y. F. I).
18. A Taide de ce résultat, nous pouvons résoudre facilement le prohlènu» suivant: Étant donnée une matrice || A || du tvpe m x (/?? H- /?), dont le plus grand diviseur est o, trouver toutes les matrices || D || du même ty|)e et telles que
]^AaA,/ = dza,
Xi et Id étant deux déterminants correspondants des deux matrices. En eflTel, déterminons deux matrices || B |( et ||C|| comme dans le numéro précédenl. Si nous déterminons ensuite une matrice || D |l par la condition
nous savons (jue cette matrice fournit une solution de notre problème.
Mais je dis qu'on obtient ainsi toutes les solutions du problème. Soit, en eflel, D II une solution quelconque, et posons
On en conclut
A'O = (^la\/) X (^^h\)\
or on a, puisque || D j| est une solution
AaArf = rtzo,
et, d'après la proposition du n" 17,
]^A/,A, = dri;
donc
Il est clair par là que le problème proposé est identique avec le suivant que nous avons déjà résolu dans le n^ 15 : Trouver toutes les matrices || D||, telles que
On obtient ces résultats aussi en s'appujant sur le théorème VII, car la rela> tion (i) du n** 17 peut s'écrire
Or, d'après le théorème cité, le rapport A^ : A^ est constant et égal à ±: 2; donc
et, ensuite, il est évident que les relations
sont équivalentes.
19. Nous terminerons ces considérations par quelques remarques sur le phis grand commun diviseur d'une matrice.
Dans le cas d'une matrice du type i x /i, le plus grand diviseur peut être défini aussi comme la plus petite valeur (sauf o) que peut prendre la fonction linéaire
Œi a?! -4- û^i a?i -4- . . . -f- a/i cCftf
pour les valeurs entières de ^1, ^2, . • •) Xw II existe une proposition analogue pour une matrice 1)<2|,a|| du type m x (m -+- n). Considérons les m fonctions linéaires
(t = I, 2, . . . , m), et m systèmes de valeurs de ces fonctions
le déterminant | A|,a | est toujours divisible par 8, le plus grand diviseur de la matrice ||ûKi,a||; niais nous savons, par l'analyse précédente, qu'on peut toujours choisir les rf/,* de manière que ce déterminant devient égal à ± 8.
8o T.-J. STIELTJES.
Par conséquent, 5 est aussi la plus petite valeur (sauf o) que peut avoir le déterminant formé par m systèmes de valeurs des m fonctions linéaires X/.
iO. Soient I ai^k |] ou || A | une matrice du type /w x (m -f- /i), ;j A^ || la matrice du t\pe mx p formée par/> colonnes de |] A '\ Nous supposons p <Cm. Désignons encore par dp le plus grand diviseur de |i A^|], et par D le plus grand commun diviseur de tous les déterminants de |' A {! qui renferment les y? colonnes de |{ Ap ||. Il est clair que D est est un multiple de dp. Nous allons montrer que tous les
déterminants de '1 A[| sont divisibles par -7-*
Pour simplifier un peu la démonstration, nous supposerons que JA^|| est formée par les p premières colonnes de |,A||. Nous avons à démontrer qu'un
fléterminant quelconque A de | A || est divisible par ^« Si ce déterminant A a un
certain nombre r de colonnes communes avec I| A^||, nous pouvons encore supposer que ce sont les r premières colonnes de ||A^||. Cela étant, nous désignerons lin déterminant quelconque de || A|| par le symbole
OÙ A|, A2j • • • ï '^m indiquent les rangs des colonnes de || A|[ qui figurent dans le déterminant.
En ajoutant à la matrice une (m -f- i)'^"« ligne
^/,1> ^/,l» •••> ûf/^/n-f-/i,
on obtient une matrice du type (/n-f-i) x (m-+-/i), dont tous les déterminants sont nuls. En développant un tel déterminant comme fonction linéaire des éléments de la dernière ligne, on aura, par exemple,
['2, 3, .. ., /^> ^1) ^ï> •••) A,n p+i]a/,i -+-...-+-[1,2, ...,/? — Ij Al, Aj, ..,, y^m-p-^i\^i.p -t- [1, 2, ...,/?, Aj, , . ., K,fl^p^l'\ai^\^ -f- ...-+- [l, 2, . . ., />!, Al, . . . , km—p\<^t,m—p-¥\ = O.
Les indices )h, )»2î • • • sont ici et dans la suite toujours !>/?.
D'après notre notation, dp est le plus grand diviseur de la matrice |] A^||, formée par les p premières colonnes de || A |[. Il est clair, d'après cela, que ce qu'il faudra entendre par t/^.|, rf/j 2, • • •? d^^ ce sont les plus grands diviseurs de matrices que nous pouvons désigner par || A^| ||, || Ay,2 ||, . . • , || ^i ||- Dans l'identité que nous venons d'écrire, on peut prendre z = i , 2, . . . , m.
Si l'on élimine alors entre p des équations ainsi obtenues les quantités qui multiplient a/^i, a/,2j • • • ? (^i,p-^ij il viendra
[1 , 2, ...,/? I, Al, . . . , Affi—p-i~i j^p
-4- [1, ...,/), Xj, .. ., X,„p+i]Ap-h. . .-H [l, ...,/?, Xi, . .., \m-p]^P~P^^ = O.
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 8l
Ici A^ est un des déterminants de || kp ||. et il est clair que Aj,, A^, . . . , A^~^^* sont tous divisibles par dp^. Donc
est divisible par D x dp^ . Mais Ay, peut être un déterminant quelconque de || A^ || ; par conséquent,
est aussi divisible par D x rf/»i, c'est-à-dire
[I, '2, ...,/) I| Aj, . . ,, A;n— p+1 J
ôsl divisible par — ^~' .
En laissant de côté maintenant la ^'*"»« colonne de || A ||, on a les identités
[2, S', ...,/> — I, A,, Aj,..., A;n p-+-i]a/ji-f-...-T- [l, 2, .. .,/) — 2, Aj, Aj, ..., A,rt-/H-î ] Û^/,p--l
-h [i, 2, ..., /?— I, Xj, ..., XOT-p+î]a/,x, + '"-^ [ï, 2, ..., /î — I, Xi, ..., X,„yH-i]a/,X„-p^-, = 0,
En éliminant entre p — i de ces relations les coefficients de a/^i, . . . , a/,/?2> il vient
[1, 2, •••,/? — 2, Xi, ..., Afn-p-^i]^p-l
■+- [l, 2, ...^ p—1, Xt, .., X,n-p-«]Ap, -t-...-4- [1, ...,/) — I, Xi, ..., X;n p4.i]AJlr/'+' = 0,
OÙ A^| est un des déterminants de || A^| || et où Aj,,, ..., ^pZf^^ sont tous divisibles par dp 2. On voit donc que
[1,2, ...,/> — a, Xi, . . . , Am-p-hi ] Ap-i
est divisible par ^ ^-^> et, puisque Ay,i peut être un déterminant quel-
D X dp-ijK dp-
conque de || Ay,4 1|, on en conclut que
[l, 2, ...,/? — 2, Xi, . . ., Am-p+f]dp-ij
doit être aussi divisible par le même nombre, c'est-à-dire
[l, 2, " "t p — 2) Xj, . . . , A,n-p^t\
est divisible par — -^7-^^- En continuant ainsi, on reconnaît que
dp
[1,2, . . , , r, Aj , Aj, • . • } Af,i — r\
s. Il
8'J T.-J. STIELTJES.
est divisible par — j— ^> cl enfin que [X|, X2, ...,).,«] est divisible par -j-- La
proposition énoncée est démontrée.
D'après la démonstration, on voit facilement que, si l'on suppose que tous les déterminants de || A|| ne sont pas nuls, les déterminants de ||A|| qui renferment les p colonnes de || A^ |{ ne peuvent pas être tous nuls, à moins que tous les déterminants de || A^ { ne soient tous nuls. D et dp sont alors indéterminés tous les deux.
Corollaire L — Lorsque dp= i, D est le plus grand diviseur de la matrice Il A II .
Corollaire IL — Lorsque le plus grand diviseur de la matrice || A|| est = i, on a
D = dp.
