Considérons une matrice

;|B|| oa II 6,,* II,

A: = I, a, . . ., {m-{- /i), formée par un système fondamental de solutions de

Soient 11 B^ Il une matrice formée par jd des colonnes de ||B||, en supposant p<^n^ dp le plus grand diviseur de ||B^||. Soient ensuite 8 le plus grand diviseur de la matrice des ai^ht et 8^, le plus grand diviseur de la matrice obtenue en supprimant, dans la matrice des a/,^, les p colonnes qui correspondent aux colonnes de || By, ||. Alors on peut énoncer le

Théorème X. — Le plus grand diviseur dp est égal à y»

En effet, soient A, A', A", ... les déterminants de ||Bj| qui renferment les p colonnes de j|By,||. Leur plus grand commun diviseur est rf^, d'après le corollaire II du n" 20. Mais on a d'autre part, d'après le théorème VII,

A = cD:S, A'=CD':8, AV-cO'':5,

cO, cô', (0", . . . étant les déterminants de la matrice des ai^h qui correspondent aux déterminants A, A', A", .... Mais il est évident que ces déterminants (£), (JD', Cô'', . . . sont précisément ceux dont le plus grand commun diviseur est 8^, d'où la relation annoncée.

Il faut remarquer pourtant que tous les dé terni inants de la matrice ||By, peuvent s'annuler: dp devient indéterminé alors. Mais il est clair que, dans ce cas, on a aussi

en sorte que 8^ devient indéterminé en même temps. Réciproquement, si 8^ devient indéterminé, il en est de même de dp.

Nous avons supposé p <in^ mais le théorème reste encore vrai dans le cas p^^ n\ on retrouve alors un résultat connu (théorème VII).

L'énoncé du théorème se simplifie un peu dans le cas 8 = i , et si l'on se rappelle l'espèce de réciprocité que nous avons signalée dans le n** S, on verra que, dans ce cas, p peut avoir une valeur quelconque plus petite ou plus grande que /i.

Systèmes de congruences linéaires,

22. Etant donné un système de m congruences entre n inconnues

(i) Xi— ai,,j-i-f-. . .-ha/^rta7„ = o (mod M),

on peut en déduire un système équivalent, soit en opérant une substitution de déterminant ±i sur les inconnues x^^ x^t ...,^/i, soit en remplaçant les m congruences données par m combinaisons

(a) X;=/)/,iX, +-/?/^,Xi-h...-4-^/,,«X;„ = o (mod M),

te déterminant des entiers pi^k étant encore riz i, en sorte qu'on peut exprimer réciproquement les X, par les X^-.

En étudiant les équations linéaires indéterminées, nous avons employé exclusivement le premier moyen, la substitution de nouvelles inconnues; mais ce n'est qu^en opérant à la fois par les deux méthodes qu'on peut obtenir la plus grande simplification possible.

En multipliant, dans le système (i), les premiers membres par ^«,^2, . . . , j',« et ajoutant, on obtient la forme bilinéaire

(i =1,2, . . ., m\ k = ij i, , . ,, n J

Nous dirons que celle forme bilinéaire correspond au système de congruences donné.

84 T.-J. STIELTJES.

Une substitution linéaire sur les x^ dans le système (i), conduira à un système transformé (i'), et il est clair que la forme bilinéaire qui correspond à ce système (i') s'obtient simplement en effectuant directement la même substitution sur les x^ dans la forme F.

D'autre part, si l'on remplace le système (i) par le système (2), on constate que la forme bilinéaire correspondante au syst(^me (2) s'obtient simplement en opérant dans la forme F la substitution

n = Pi.iyi + />j,/7i ■+- • • '-^Pm.iy'm

On voit par là que nous avons à étudier les difl'érentes formes que peut prendre la forme F en opérant sur les variables x^y des substitutions de déterminants ±: I .

23. On appelle, en général, forme en Arithmétique un polynôme homogène de plusieurs indéterminées x^ y, z, ... à coefficients entiers. Si une telle forme F prend une certaine valeur m, pour certaines valeurs entières des indéterminées, on dit qu'elle représente le nombre m.

En effectuant dans F la substitution à coefficients entiers

X = aix'-{- b^y -\- ci^-H. . ., y = a^x' -^ h%y -h Cj «' -f- . . . , z = «3 a?' H- h-^y -h Os >s' -f- . . . ,

on obtiendra une nouvelle forme F', et l'on dit que F renferme F', ou bien encore F' est contenue dans F. 11 est clair que tout nombre m qui peut être représenté par F' peut être représenté aussi par F, mais la réciproque n'a pas lieu nécessairement.

Le cas particulier où le déterminant de la substitution que nous venons d'effectuer est égal à dz I est le plus important.

On peut alors exprimer réciproquement a;', y ^ z\ . . comme fonctions linéaires à coefficients entiers de a;, j^, 5, ... et F est contenue aussi dans F'; on dit alors que les formes F et F' sont équivalentes.

Il est évident que deux formes équivalentes représentent les mêmes nombres.

Ce qui caractérise une forme F dans ces considérations, ce sont ses coefficients ; la notation des inconnues, au contraire, n*a aucune importance et l'on peut ainsi remplacer dans F' les lettres x\ y, z\ ... de nouveau par x^y^ z^ ...

L'un des problèmes les plus importants qu'on a à résoudre est maintenant le suivant : Étant données deux formes F et F', décider si elles sont équivalentes ou

non. El, pour compléter la solution, il faudra encore trouver, dans le cas où il y a équivalence, toutes les substitutions qui transforment F en F'.

Plus généralement, on peut demander à reconnaître si F' est contenue dans F, mais nous nous bornerons ici à ajouter quelques remarques sur les conditions d'équivalence seulement.

Dans certains cas, la solution complète de ce problème se présente sous la forme suivante :

Pour que la forme F soit équivalente à F', il faut et il suffit que l'on ait

Il = Ilï 'l=lj) •••! I/f=Ii'

Ici 1|, l2t . . ., U sont certains nombres qui dépendent d'une manière déterminée des coefficients de la forme F, et Ip I^» • •» U dépendent de la même façon des coefficients de F'.

On peut dire alors que I|, Ij, ..., Ia forment un système complet d'invariants de la forme F, et, pour que deux formes soient équivalentes, il faut et il suffit qu'elles aient les mêmes invariants.

On peut étendre facilement ces considérations au cas où la forme F dépend de plusieurs séries d'indéterminées, comme cela a lieu pour la forme bîlînéaire du n° 22. Et l'on peut aussi considérer simultanément plusieurs formes F, G, ... qui dépendent des mêmes indéterminées.

24. Pour en donner immédiatement un exemple, considérons m fonctions linéaires

X/= «/,ia?iH- at^iX^^. ..-4- at^m+n^m-^n (t =1, 2, . . .t /w),

et un second système analogue

Comment pourra-t-on reconnaître si les deux systèmes sont équivalents ou non, c'est-à-dire s'il est possible oui ou non de les transformer l'un dans l'autre par une substitution de déterminant dz i? La réponse est ici immédiate d'après les développements du n** 10. En efiet, nous savons que, par une substitution de déterminant ±: I, on peut transformer les X/ dans les Y,-

Yi = diyu

Ym = Pw,l7l^-- • --^ Pm.in-l^m-tH- ^/«J^/ii.

86 T.-J. STIELTJES.

OÙ df, d2j . . . , dm sont des nombres positifs, et

Ces nombres rf/, ^i^fc forment maintenant un système complet d'invariants, et, pour que deux systèmes soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils admettent les mêmes invariants.

En effet, si les deux systèmes sont équivalents, ils représentent les mêmes systèmes de m nombres, et dès lors leurs invariants sont égaux, car nous avons remarqué (n** 10) que ces invariants dépendent uniquement des divers systèmes de nombres représentés par les formes linéaires. Cette condition de l'égalité des invariants est donc nécessaire pour l'équivalence, maïs elle est aussi suffisante manifestement.

On voit que la solution a été obtenue ici en transformant les formes linéaires X| dans les Y/ qui affectent une forme particulièrement simple. Ce système des Y/ pourrait s'appeler un système réduit; il est unique et le même pour tous les systèmes équivalents.