Revenons maintenant à la forme bilinéaire
En opérant sur les xj^, yi des substitutions de déterminants di i, on obtiendra une forme équivalente
Nous allons montrer que, parmi ces formes équivalentes, il y en a toujours une, parfaitement déterminée, qui affecte la forme très simple
et que nous appellerons la forme réduite. Ici Ci^ 62', . . ., e^ sont des entiers positifs, €f[i divise ej^j et p est tout au plus égal au plus petit des nombres m et n. Ensuite on reconnaîtra facilement que la condition nécessaire et suffisante pour l'équivalence de deux formes bilinéaires consiste en ce qu'elles admettent la même forme réduite. On peut donc considérer les nombres ^i, ^2» • • • > ^/i comme un système complet d'invariants de la forme bilinéaire F. Considérons la matrice
H «a II ou II A II,
formée par les coefficients de F, Nous désignerons par d^ le plus grand commun diviseur (pris posilivement) des coefficients a/^^î par ^2 le plus grand commun diviseur des déterminants du second degré tels que
de même, par d^ le p. g. c. d. des déterminants du troisième degré, etc.
Si tous les déterminants du degré p ne sont pas nuls, mais si tous les déterminants du degré /> + i sont nuls, on aura ainsi la suite des/? nombres
et nous supposerons alors dp^k= o. Il est clair que rf^i divise dk et nous posons
, df dp
ex = ai y ^î = "T" ' • • • > ^p — -7 y ^p-hk = o*
di dp-x
Ces nombres e sont des entiers, nous les appellerons déjà les invariants de F; nous verrons plus loin que ^a-i divise ek\ p est tout au plus égal au plus petit des nombres m el n.
Soit maintenant
Il «un «" ii^'i
la matrice formée par les coefficients de la forme F' équivalente à la forme F, et rfj^ le p. g. c. d. des déterminants de degré k de cette matrice. Il est clair que tout déterminant de degré k de la matrice || k! \ est une fonction linéaire et homogène de divers déterminants de degré k de la matrice || A ||. Donc d'f^ est nécessairement divisible par dk et tous les déterminants de degré /? -h i de || A'|| sont nuls. Mais, pour la même raison, d^ doit être divisible par rfj^; donc
d'ic = dk,
et tous les déterminants du degré p de || A'|| ne peuvent pas être nuls. On voit par là que les deux formes bilinéaires équivalentes F et F' ont les mêmes invariants e\ , e^^ • • • « ^p*
L'égalité des invariants est donc une condition nécessaire pour l'équivalence de deux formes, qu'elle est aussi une condition suffisante ; cela résulte ensuite immédiatement de la proposition que nous avons énoncée déjà, d'après laquelle la forme F est équivalente à la forme réduite
En elfet, d'après cela deux formes, dont les invariants sont égaux, sont équiva-
88 T.-J. STIELTJES.
lentes à une même forme réduite, et, par conséquent, aussi équivalentes Tune à Tautre.
26. Nous avons à montrer maintenant comment on peut opérer cette réduction de F à la forme réduite. Considérons la matrice
ûfi,t> ^i,ii ^i,»> •••> ^i,«>
<^t,ll ^l,î» ^î,3j •••» «î,/l»
ûfm,l> ^m,î> ^/?i,S» •••» ^m,A*
Par une substitution sur les Xk, on peut d'abord réduire la première ligne à
84 étant le p. g. c. d. de a^^^y ai, 2? • • •? «i,/i« (H va sans dire que nous n'employons que des substitutions de déterminants =dz i.)
Si après cela 8« divise tous les autres coefficients de la première colonne, on pourra, en remplaçante^! par une expression de la forme
sans changer ^2, . . . , ymy obtenir une matrice transformée de la forme
o Ofn^\ Ofn,9 • • • Ofn,n-
Mais si 8{ ne divisait pas les coefficients de la première colonne, on pourrait diminuer ce coefficient 8|, et le remplacer par 82, le p. g. c. d. des coefficients de la première colonne, en opérant une substitution sur les y^ et annuler en même temps les autres coefficients de la première colonne. Si 82 divise maintenant tous les coefficients de la première ligne, on obtiendra encore une matrice de la forme (A), en remplaçant x« par une expression
sans changer X2', . . • , x„. Au contraire, si 82 ne divise pas ces coefficients, on pourra le diminuer encore par une substitution sur les x. Il est clair qu'après un nombre fini d'opérations on obtiendra toujours une forme équivalente, dont la matrice affecte la forme particulière (A); mais on peut simplifier encore et obtenir une matrice (A), dans laquelle 8| divise exactement tous les coefficients 6/,a.
En effet, supposons que 81 ne divise pas exactement un des coefficients bi^k- H suffira de remplacer ^a par Xk-\-X{ pour voir paraître ce coefficient bi^k dans la première colonne avec 84. En reprenant alors les opérations de tout à l'heure, on obtiendra un Tableau du type (A), mais dans lequel le coefficient 3| a une valeur moindre. On voit donc qu'on peut diminuer ce coefficient tant qu'il ne divise pas tous les 6/^A) et, après un nombre fini de transformations, on tombera nécessairement sur une forme équivalente à F du type suivant
Xfi
ex
yt
Ym
bm,i
et dans laquelle le coefficient e^ divise tous les autres coefficients 6/^)^.
Et il est clair immédiatement que e^ est le p. g. c. d. des coefficients a/ a- Si maintenant les bi^k ne sont pas tous nuls, on pourra continuer la même réduction en opérant seulement sur les variables Xa, . . ., x„, y^^ . . ., J'to. On obtiendra ainsi une forme équivalente
ri y% r»
X\ X<ji x^
ei
et o
o o Cm,z
où e^ est un multiple de e^ et divise tous les c/^*.
En continuant ainsi, on obtiendra finalement la forme réduite
exXiyx^etXiXi-^,, .4- CpXpXp.
Puisque ek \ divise ^a, il est immédiatement clair que le p. g. c. d. des déterminants de degré k de la matrice correspondante à cette forme réduite est
e, ej . . . eii = dk,
d'où l'on voit que les ek ont bien les valeurs indiquées précédemment.
27. Dans la pratique, et s'il s'agit seulement de calculer les invariants, on pourra remplacer souvent avec avantage le procédé que nous venons d'indiquer S. 12
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