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Aaix-i l<>qj* 'ie S4- î^. ..•- î^ «^.'Dt Jtî' rj'jiûLi^f p<»sîlif§- el q-jou j»ourrajt apjK-ler urje forjLt*: normale. \\ e*l cliîr que le p. ^- c. d- de> déterrijiiiiDU de deCTé h de la UihU'if.ii: corre*j»<^»Ddànle. q'jî dojl être éiral à </,. ei-l ici ^Implemenl le p. £. c. ddeè d:ier* prod'jjl?- /« à k de§ Donjhre*'
d OÙ loD conclut, d'dpres les expîicati«jn> du CLap. I ■ n** 8-10 , qae les înv»-
rîîiul§ ei. e^. e^ *^jdI MmplemeDl le> Dombres r*}'Juîu de ?,. 2* 2^-
AacI-I ajDiî oLleDu udc forme Donuale, on en conclul donc sans difficulté les iui Pliants. On \oîl au^sî que celle f-jnne normale n'est pas unique comme la f:rnie réduJle, mai* il eiisle toujours un nombre fini de formes normales équivalentes â une forme donnée F.
On peut montrer facilement, d une façon directe, que la forme normale est équî\alenle à la f^rme reduile. C>>n*idéruns pour cela une forme
F = cij-,r, — SjXjVj.
el posons
On ]>eat maintenant transformer directement F en F' )»ar les substitutions
• J xs — Js^ =1,
'2' as — J{v=i.
En effet, les conditions du problème sont
(3) Oiaa' -+- §îYy'= rf,
(4) 8,ap'+8,YS' = o»
(5) a,pa' + 8,8Y'=o»
(6) 8,pp'-4-8,Sa' = m.
Pour y satisfaire, on prendra, pour a', y', deux nombres premiers entre eux, soumis à cette seule restriction que
(oia', a,Y') = (Sl»Sï) = ^• Cela peut se faire évidemment d'une infinité de manières; le plus simple, c'est
de prendre a'= y'= i .
On cherchera ensuite deux nombres a et y qui satisfont à la relation (3), puis
on prendra
en sorte que la relation (5) se trouve vérifiée et en même temps la relation (i),
car
^ Q Siaa'-f-OjYv' a6-pY=: ^ ''' =1.
Par suite de ces valeurs de ^ et 5, la relation (6) revient à
c'est-à-dire elle rentre dans la formule (2), car 0|32 = md. Il suffit donc, pour achever la solution, de déterminer ^' et 3' par les relations (2) et (4) qui donnent
Il est clair maintenant que, par une application répétée de la transformation que nous venons d'indiquer, on pourra transformer une forme normale
dans la forme réduite
28. On peut énoncer le résultat principal que nous venons d'obtenir sous une forme un peu différente; mais, pour simplifier, nous supposerons m = n et le déterminant | a/^^l différent de^zéro, en sorte que p = n.
()2 T.-J. STIELTJES.
La forme bi linéaire
X/ = a/,1 :ri -h a/,î iTj-f- ... -h «/,„ t„
est réductible à la forme réduite
F'= exx\y\ -H eix\y^ -h. . .-h e„rr;,7;,
par les substitutions
Supposons qu'on ait
Si Ton substitue ces valeurs des y\ dans F', le coefficient de yi est nécessairement égal à X/ : donc
ou bien
si l'on pose
(H) /, = e,ar', , /, = gja:',, ..., ^» = C/i^«.
On voit donc que toute substitution
peut êlre remplacée par trois substitutions successives, la première (I), de déterminant ± i introduisant les variables /,, ^2? • • •? ^«> '» seconde affectant la forme particulière (II), tandis que la troisième
(HI) 'r)=^pi^
a encore un déterminant égal à zt 1 .
11 est à peine nécessaire de dire que, dans cet énoncé, on pourrait remplacer les invariants e,, ^a, ..., 6,1 par les coefficients 8<, Ô2, ..., o^ d'une forme nor-
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. g3
maie équivaleDte à F. Et le cas p <in n^apporte non plus une modification; on aura seulement alors ^a = o ou 5^ == o pour k^ p.
Le nombre p que nous avons vu s'introduire dans l'étude de la forme bilinéaire
s'appelle le rang" de la forme bilinéaire ou de la matrice des ai^fç.
Nous dirons quelquefois aussi que ^i, e^, ...^Cp sont les invariants de cette matrice.
29. L'invariant e^ a été défini d'abord par le quotient dk\dk^^ ; M. Smith a obtenu encore une autre expression remarquable de cet invariant.
Considérons un déterminant quelconque du degré A* de la matrice. Divisons ce déterminant par le p. g. c. d. de ses propres mineurs, soit E^ enfin le p. g. c. d. de tous les quotients qu'on obtient ainsi; alors le théorème de M. Smith consiste en ce qu'on a
Pour éviter toute ambiguïté, ajoutons que, lorsqu'un des déterminants de degré k est nul, on doit adopter toujours la valeur zéro pour le quotient obtenu en divisant le déterminant par le p. g. c. d. de ses mineurs, même si ces derniers étaient tous nuls.
Il convient du reste, dans ces considérations, de regarder zéro comme le p. g. c. d. de plusieurs nombres qui sont tous nuls. C'est seulement avec cette convention que le principe du n® 6 (Chap. I) reste applicable au cas où l'on n'exclut pas la valeur zéro pour les nombres a, ft, c, . . . , /.
Nous allons démontrer d'abord un cas particulier du théorème de M. Smith. Supposons n^m dans la matrice
- Il A II,
nous ferons voir que E;„ = e„j= d,n l dm-\' Nous pouvons supposer que rf„, n'est pas nul, car on aurait, dans le cas contraire, E;„=^,„=:o, et l'on peut écrire
[voir n** 9)
B II étant une matrice du type m x //?, || C || une matrice du même type que j| A dont le plus grand diviseur est l'unité. On reconnaît aisément que les matrices || A
f4$ T.-l. *n£L7JL<'.
%il#nil^ ^ la {oTTU*: b '/.n^kli^ 4-j:A Ik a.itn'^e ert A . Nous savon* 4^ j^îa* qa'on pe*Jt écnr*r
ou 1/ = v =
= ir: I- doDc
D =r i X C ^Vàiil une matrice da Ivpf /y/ >c /ï don! le plus ^rand diviseur e*^l ruDjlé-
Sî Ion considère le* dner* déterminant^ du d^-iTé /w — i de A qui renfermenl //« — i co'onne* donnée* de celte matrice, on constate que le p. ^. c. d. de ce* déterminants ne change pas si Ion multijJie la matrice par u "•- On en conclut que 1^ nombre £,■ est le mém*" p«»nr le* deu\ matrices
il suffira donc de prouver I égalité E,. = ^^ dan* 1^ ca* df la matrice
obtenue en multipliant par ^,, e^. .... e,„ les /n lignes de D .
Soient '^1 - f*2 . . . . les di\erscs matrices du tjkpe /n x /w contenues dans D : f>i, f*2, . - . leur* déterminants: 1', le p. g:, c. d. drs mineurs de .' B, j qui
ne renferment pas la dernière ligne: en sorte que ~ est entier. Enfin, désignons
par Vil 1^ quotient obtenu en divisant le déterminant de
o em a ... o ■
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. qS
par le p. g. c. d. de ses mineurs; il s'ensuivra
E„| = (w,, Wj, TSz, . . .).
Mais il est clair que le p. g. c. d. des mineurs de (i) est divisible par 6?ie2 . . .e,„i = rfw 4, et, d'autre part, ce p. g. c. d. est un diviseur de dm-^ X ^i (car dm-iX^i est le p. g. c. d. des mineurs qui ne renferment pas la dernière
ligne). Donc, rsi divise em^i et est divisible par '" = — • On a donc nécessairement
et, d'autre part, Cm est le p. g. c. d. des nombres em^i=^ ^i^i
(rsi pi, BTjpi, . . .) = c,«.
Le nombre E;„= (tït,, ma, . . .) doit donc être un multiple de N x Cm et un diviseur de e,«, ce qui exige
N = i, E,;, = e,rt. c. Q. F. D.
A l'aide de ce cas particulier, il est facile d'arriver au théorème général.
Si, dans une matrice quelconque du type m x n^ on se propose de calculer le nombre E)t, on peut commencer par choisir k colonnes verticales, puis diviser chacun des déterminants du degré k de cette matrice partielle du type m x k (m^k) par le p. g. c. d. de ses propres mineurs. Soit X/ le p. g. c. d. des quotients ainsi obtenus; alors, d'après ce que nous venons de voir, "ki est le ^ième invariant de la matrice partielle. Par conséquent, X/ ne changera pas en eOectuant sur j/-,, . . . , y m une substitution de déterminant zfc i . Mais E^ est évidemment le p. g. c. d. des divers nombres )^4, Xj, . . . correspondant aux divers groupes de k colonnes; donc E^ ne change pas par cette substitution sur ^4, y 2-, • • • ) y m' Par le même raisonnement, on voit que E;^ ne change pas en effectuant sur les Xi, ..., Xn une substitution de déterminant liii. Ea est donc le même pour toutes les formes équivalentes à F et, en considérant la forme réduite ou une forme normale, on constate que E)t= e^'
30. La nouvelle expression des invariants conduit à plusieurs conséquences importantes. Soient
les invariants d'une matrice ||a/,A|| ou || A||. Supprimons dans {|A|| une colonne ou
{|(i T.-J. HriKJ/NKS.
iiiMi h^Hi', <li'«piigiM)iiii |Mir II A' Il la inulricr uiiiHi obKtnuc, cl ])ar
«i<« MiVMi'iiiiil^. Il i*«t cliiir (|IM* Y /> rt niHiiiN! r^ (!.Ht divisible de Ck>
Ht, Mil lii*ii dti iiH|i|iriiiiiM' iino coloiiun, on uvuit itiulliplié les éléments de cette iMiluniiP |itn' un imiiiiImt rntit'r N, Ii*m inviirianls de lu nouvelle matrice || A'' || seraient
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iM r^ r<«l di\i«»il)lo pur f'A* SoitMit imi rIVot Pa I<* P* K* ('* ^1* ^l^^» déterminants du do^rO A di^ Il \ Il t|ui no ronronnonl puH lu ridoune que Ton change, Qa le p. g. c. d. doi d^Moiiuihttuli ipii ivhlVrnionl crUo ludouno, on aura
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S^xl V^^IU^K ^l VW C'^l vlv UUH^U^ v)o
H^;< vis' u^ïn>y^ t'.'sxow
