C'CO

cl f) :::=<; (I — t"),

le soin possible; les trois apparitions <1e 1819, 1822 et 1825 fournissaicni (les séries d'observations parfaitement satisfaisantes, et qui permettaient une nouvelle détermination de U. On choisit trois positions normales parmi celles de chacune des deux premières apparitions, et six de la dernière; puis, les considérant toutes comme également précises et se servant de la méthode des moindres carrés, la plus petite somme des carrés des erreurs restantes, fut considérée comme une fonction d'une correction de U et de la masse de Jupiter. L'expression ainsi obtenue au moyen de 24 équations de condition {Jstron. Nachr., t IX , p. 337), montre qu'une masse de Jupiter plus considérable et une diminution du coefficient U, feraient concorder mieux le calcul avec les observations. Poussant le calcul des pcrlurl»ations jusque après l'apparition de 1828, faisant la même application de la méthode des moindres carrés, et changeant la masse de Jupiter

d'après les déterminations de M. Nicolaï en y , on obtient une

équation finale fournissant à peu près la même correction pour U que la

précédente , et qui donne L == -wwKWr ■ I^^"s les calculs postérieurs des

jierturbalions de sa Comète, M. Encke a conservé à peu près la même valeur pour ce coefficient, et a fait varier les masses des autres planètes troublantes {Astron. Nac/ir., t. XXI, n" 458 et 459\ 11 satisfait, moyennant ces nouvelles constantes, aussi bien que possible aux observations laites dans les derniers retours de la Comète : cependant sa théorie sur la résistance de l'élhcr n'est point encore généralement admise. Bessel luimême s'y est refusé. Voici ce que nous trouvons dans une de ses lettres, écrite à propos du parfait accord présenté par les observations de la Comète de Halley avec l'orbite que lui avait assignée M. Rosenberger pour son apparition de 1835 (') : «Un fait est bien capable d'exciter notre allonlion ; c'est que la Comète (de Halley) est apparue quelques jours plus lard que cela n'aurait dû arriver suivant les calculs de M. Rosenberger, tandis que pour la Comète d'Euckc calculée avec autant de soin, le contraire a eu lieu. On doit s'attendre qu'un nouveau retour sur le calcul , peut-être la recherche de l'influence des variations des masses planétaires,

(') Astron. Nachi., t. Xill , [>. 6.

iil)|)ortora un cliangemcnt dans ce résultat, mais je ne verrais pas moiiiièine de conlradiclion dans une divergence persistant à cet égard entre les deux Comètes, et quoique l'accéléra lion des révolutions de la Comète d'Encke me semble clairement démontrée par les observations, l'bypothèse d'un milieu résistant pour expliquer celte accélération, ne me paraît pas suKisamment fondée. Le fait est simple: les périodes s'accélèrent ; il y a cent causes à supposer qui peuvent amener un pareil résultat, mais on ne l)eut se croire fondé à en admettre une déterminée, que lorsque sa présence est indiquée d'autre part, ou que son admission explique encore d'autres phénomènes ; et tel n"esf pas le cas, ce me semble, avec le milieu résistant. Car si l'on accorde l'existence de l'édier lumineux, on ne pourra l'assimiler a l'éther résistant que lorsqu'il sera démontré qu'il ne pénètre pas dans l'intérieur des Comètes, et d'autre part aucun phénomène ne s'est présenté jusiju'ici, excepté l'alléralion du mouvement d'une seule Comète, qui i)uisse cire expliqué par une résistance dans l'espace; les mouvements des planètes et de la Lune n'en donnaiit aucune indication. »

M. Enckc a tenté de réfuter ces ol)jections dans le n" 305 des .Islroiiomisclic Naclirichtcyi, et a continué à maintenir son cocflicient Ll dans ses calculs de perturbations. Son ii}pothèse n'est pourtant point généralement admise i)ar les astronomes, dont plusieurs considèrent la présence ii"an éther résistant comme un fait contestable et non encore sulfisanimenl démontré.

Ouillons maintenant cette digression, cl revenons aux directions données par rvL Encke pour le calcul des perturbations. Après une exposition précise de la méthode des quadratures mécaniques, et dans un travail spécial iiiiilulé Ucbcr die Bcrcclinunx) der speciellen Sldrmtgen ('), cel astroisume distingué indique tle quelle manière il arrive aux formules qui doniUMit les variations des éléments pour le cas général des orbites à excentricités et inclinaisons quelconques, en sorte que ses procédés sont ap[)licaliles aux petites planèles comme aux Comètes, et il éclaircit ses [iréceples en appliquant ses formules au calcul des pcrlurbations de Vesta par Jupiter. Sa méthode théorique se rapproche de celle de Lagrange , exposée dans la Mécatùrjuc încdytiquc ,-)■ En voici un aperçu très-sommaire.

(') /'. lîitliiiit .lili ononiiichi'S Iti/ii Liic/i , Icir 1837.

(' ) M'civiiiiHi Aniilj ti<jur. sccomiIp ii.T.tie, seclion 'N II. ilinp. II. f^ 2.

Après avoir élabli les é(iualions diiTércnlieUes du mouvement elliptique, et les relations qui en sont les intég^rales complètes , analogues aux équations (b), p. 58, M. Encke suppose d'abord une force perturbatrice P, agissant dans une direction Q, en sorte que ses trois composantes, parallèles auK trois axes coordonnés rectangulaires, soient Pcos. OX^ P cos. QY, P cos. QZ. Sous rinlluence de cette force troublante , les équations dilférentielles du mouvement sont analogues aux primitives, sauf que leurs seconds membres, au lieu d'être nuis, renferment respectivement ciiacunc; de ces composantes. On satisfait néanmoins à ces nouvelles écjuations, comme nous l'avons vu cbap. II, sect. ,1 , au moyen des mêmes intégrales complètes, pourvu qu'on suppose les constantes arbitraires qu'elles renferment variables avec le temps, et de la forme

a — ci^ + da , e = e^ -h ^e , o) = w„ -|- S.j, , etc.

où a„, c, , co„ ... sont de véritables constantes, et Sa, ôc , (îco, etc., de nouvelles fonctions du temps et de la force perlurbalrice P, qui s'annullent (juand P =: o. a représente le demi-grand axe, c l'excentricité, co la longitude du péribélie comptée du nœud, etc. On a vu dans le chajdtre cilé de (juelle manière on obtient six équations aux dilférences premières, pour (iélerminer en fonctions de P et des angles que fait sa direction avec les axes coordonnés, les coefficients différentiels [)ris,par rapport au temps, des six paramètres a, e, s, m, N et /. Trois d'entre elles résultent des équations différentielles du second ordre du mouvement troublé, les trois autres sont arbitraires. Voici sous quelle forme elles se présentent:

/il.i\\fl<i. ,^dx,\d: /<lx.\tlc /'il.i\\d,o /'dx,\dN /"dx.^di V COS. Q\ = (^---J + ^j+(^— J +(^7;-j M+\^dsJ Tl ^KlTjdi'

'■-'■ Q^ - {djjdi +(wJdr+L-ti7jd7+(£)di+{^h K^Jd^ •

/f/;, \ da /</-, \ dt /Uh, \ de /</:, \ du> fdz, \ d^ fdz-, "n di

°~- K'd^ J dF '^[^'dTjdl^K^^ JdT '^\Z:'Jdt '^K^dN' J 7n '^'^s^'dT Jir

° ~ \da)jl '^\d7jdl '^\d7)di ^\.il^Jiït '^\d}ij~dl '^\di Jdl '

' = (tO'^ +(t>)I +( 1' )',/7 +( ly'lc +(;7x VJ' +(7/7);

De CCS six équalions on déduira {tar réliininalion les six coefficients dif-

^, ... d.Jc de di d'^i dS di , , „■ , . ,. , fcrcnlicls — , ■ 1 -—- y ,~ , , ' ^ —rr ■> ('O'»' ' ink'i!;ration donnera les dt dt dl dl dt dt

valeurs exactes de 8a, Se, S:, o,^, oN et Si, ou ajoutant respectivement a„, e„ , E„ , etc., celles des éléments eux-nièines a, c, i, w, N et i. N représentant la longitude du nœud ascendant de Torbile sur le plan des xij et i l'inclinaison du plan de l'orbite sur ce même pian.

Pour effectuer counnodénient cette élimination, il faut transformer d'une

manière convenable les coefGcienls de , ^ , -7— » - , - , etc., dans ces

dt dl dt

, , . ,. , ,.,. dx dij dz dx dx dx,

équations , c esl-a-dire les quantités

da du da ' de d^ du

dx ^~j—' , etc., etc. L'auteur introduit pour cet ctîet certaines directioîis qui,

ne dépendant que d'un lieu et d'une vitesse instantanée, doivent être considérées comme données. Supposant comme précédemment X , Y, Z Icg directions des trois axes coordonnés et Q celle de la force P; appelons R la direction du rayon vecteur, S celle de la perpendiculaire à ce rayon, comptés dans le sens du mouvement, T la direction de la tangente également dans le sens du mouvement , V celle de la normale vers l'intérieur de l'ellipse, enfin W la direction de la perpendiculaire au plan de l'orbite dans le sens du pôle nord de l'écliptifiue. On pourra exprimer les cosinus des angles que font ces directions avec les axes, au moyen des éléments de i'orbite primitive. En effet, désignant par v l'anomalie vraie, et appelant l\X l'angle compris entre la direction R et l'axe X , RY l'angle compris entre R et l'axe Y, et ainsi de suite , on a :

X = 7' COS. RX = r { cos. [v -+- w) cos. N — sin. {v + w) sin. N cos. i ] y = r cos. RY = r {cos. (y-f-w)sin.N -|- sin. {v ■+■ co)cos.Ncos. i} z = /■ COS. RZ = /• { sin. (y -+- oj) sin. i ] .

Les angles TX, TY, TZ, s'obtiennent de même en fonctions des éléments et de la vitesse tangentielle instantanée c, dont la valeur est donnée par l'intégrale des foices vives (Noie 1) :

Les autres cosinus s'expriment aussi d'une manière analogue, en faisant décrire à l'ellipse primitive 90° dans son orbite, pour les directions S et \, et en faisant tourner le plan de cette orbite de 90° autour de la ligne des nœuds, pour la direction W. La trigonométrie donne des moyens très-simples pour exprimer les cosinus des angles que font entre elles ces différentes directions, une fois ceux qu'elles font avec les trois axes rectangulaires déterminés. Il reste à exprimer au moyen de ces angles les coefficients dilîé-

Or les équations du mouvement elliptique fournissent —r- > —7— > ?

^ ^ da de d:

dv dv dv , .. . , , ... , . ,

— r— , — — 5—-— : a, c et t étant les seuls éléments compris dans r et v: da de dz

et comme on ne trouve dans les valeurs de x, y, z qui précèdent , que les combinaisons r sin. (v-f-w) et r cos. (w + w), on aura les coefficients différentiels de ces deux expressions, relatifs îi a, e ei s , par de simples substi-

... . , . , . . , .. , . dx dx dx dii

tutions, et on en déduira numedialemenl — — , ,- , — — , —— , etc. Les

da di de da

différentielles relatives à m, N et i , se prennent directement, et on obtient ainsi aisément tous les coefficients cherchés , en fondions des cosinus des angles que font avec les axes les directions introduites dans la page précédente.

On en déduira sans difficulté les valeurs de (— ."^ j - ( . ' ) , ( i~j-

— ^J,etc.; car puisque ces coefficients différentiels indiquent qu'on

doit d'abord différentier chaque coordonnée par rapport à /, en regardant les éléments comme constants, el qu'ensuite on différentie l'expression obtenue par rapport à chaque élément , sans avoir égard à la variation de /, dans la première difTércntialion on ne considérera pas les éléments comme fonctions du temps, el dans la seconde ou ne considérera pas le temps / comme fonction des éléments. Les deux espèces de variables t, et les ('lénicnts, seront donc regardées comme entièrement indépendantes, et on aura par exemple :

^ dx

da

Une telle forme étant donnée à tous les coefficients de —, — , -7- , —- ,

dt dt dl

cic, dans les équations (//), on procédera à réliminalion par la voie ordinaire , qui , les transformations précédentes une fois faites, n'oflre plus de

,-ç(. ,, • 4 ...,,. ,, . ... da dt de

diiliculle^ et on arrive a six équations, d ou on peut tirer — -- , — — , -— ,

* dl dt dl

—r- » -^ et —r- , en fonctions de la force perturbatrice P et des cosinus dt dt dt

des angles introduits. Voici leurs expressions données par Encke , où h est la constante de Gauss dont nous avons déjà parlé 'p. 89), et où p représente le demi-paramètre :

da 2a' ^ ^^ ^=.-^c.Pcos.QT,

4=-^:.r2r-i'^^>cos.QR U i^^^ sint-.PcosQS

H ^z^ .cPcos.QT,

^= ^-—-^^-^ r.Pcos.QS-+- ^ — .cPcos.QT,

rf« 1 pcos.v 1 2)-\-r . T. /-.c • d^

—r- = ^■' PcosORH =r -^-i — sin.v.Pcos.OS— cos.î. -^->

dt k^p c - /.yp e ^ dt

dlN 1 rsin.(wH- o^)

—yr = /— ^ — r ^PCOS.OW,

dt h\/p sin.t

di 1

-7— — -,-= rcos. iv -h co)Pcos. OW.

dt k\/p

Il s'agit maintenant de donner la véritable expression de la force perturbatrice, décomposée suivant trois directions rectangulaires, le choix de ces axes coordonnés étant entièrement arbitraire. On sait que si l'on con-

sidère Taclion dos planètes m' , m" ... sur la Conièle m, leurs cooriionnée:^ étant rcspeclivement x' , y' , z , x" , y" , z" .... leurs distances au Soleil ;■', ?•".., et leurs distances à la Comète p, p'..., on a pour les composantes de la force perturbatrice :

T, „^. / x' — X oc' \ < , f x" — X x" \ „ . P COS. QX = r -^ -^^,^^ ] m + { r,^— -,p. ) m + .

P COS. OY = r^-^ — X- ) m'H- ( " .-" — -^7^ ) m" +

, Il

ff

p COS. QZ - r-il=^ - --^-^.-^ m'+ (^ T-^ - 4v) '«" + ••

d'où on pourra déterminer P cos. QR , P cos. QS , P cos. Q'V , P cos QVV. Biais comme pour celte décomposition de forces, la direction des coordonnées originelles est arbitraire, et que parmi les quatre directions R, S, T, W, sur lesquelles on doit projeter la force perturbatrice, il y en a trois R, S et W, qui sont perpendiculaires les unes aux autres, on arrivera le plus directement au but, en choisissant ces directions mômes connue axes coordonnés , et en rapportant les coordonnées des planètes troublantes à un axe des x, qui ail la direction R du rayon vecteur de la Comète , à un axe des y qui ait la direction S, et à un axe des z qui ait la direction W. On a alors évidemment pour coordonnées de la Comète ;

Les positions des planètes troublantes sont eu général données au moyen de leurs dislances au Soleil i^' , r" ...; de leurs longitudes dans l'orbite L', L" ...; de leurs nœuds N', N"..., ces deux derniers comptés sur l'édiplique à partir du point équinoxial, et des inclinaisons de leurs orbites i' , i" ■■■ au plan de récli[)tique. M. Encke donne des formules détaillées pour transformer ces quantités en fonctions des nouvelles coordonnées , et fait usage à cet elîet d'angles auxiliaires qui simplifient beaucoup le calcul. Une lois qu'on l'a exécuté , on a à calculer

r" ' p^ y' 3 5 pô .,.'

expressions qui s'écrivent, à cause du syslèrae de coordonnées choisi , en

posant A = -^

R'=Aj:' — ^, S' = A,y', W' = A^'. P"

Marquant de deux accents les quantités analogues relatives à la planète m" , et ainsi de suite, on aura :

Pcos.QR =7/i'R' -\-7n"\\" +...=:-.«„ Pcos. QS =?;i'S' -f-7/i"S" H-...r=S„ P COS. Q W = m ' VV ' + m" W" + . . . = W„

Puis remplaçant Télément c par sin. ^p ; p/ -h c par M, qui représentera l'auonialie moyenne, et posant CT=rco + N, c'est-à-dire désignant par ct la longitude du péribélie, non plus comptée"du nœud, mais de l'équinoxe, on obtiendra, en substituant les valeurs qui précèdent dans les équations (A' , les expressions suivantes, propres immédiatement au calcul numérique :

d'j. 3/i" . /iR„ 3/.- 1) kS„

' =r — — e SUl.t'.

VP VP

^ — [ 2 r COS. y — 2^ *-'ot- ? f^os. v] - — (;j -f r) cot. y sin. <>

du> . A'R„ . / ;; r \ /.S,,

— -!- = rtcos. usui. t». —-^4- acot. '^ [ ) — = ,

dt ^/p ■ \ r ay ^/p

—J-- = — - -^ -]r— sin. r. -— ^ + (1 — cos. <)— jT

dt e y/p ' e ^p dt

dN /^.sin.(^)-4-tT — N) AW,

dt sin. î '

— = rcos.,. + ^-N)--^-

Telles sont les formules dont l'inlégralion par quadrature fournira les variations des éléments de l'orbite de la Comète , et auxquelles M. Encke, dans réphéméride de Berlin pour 1838 , a joint quelques directions essentielles pour le calcul numérique.

La principale a rapport à la détermination de la grandeur des intervalles de temps, pour lesquels on calcule les coefficients dilîérentiels, afin de pouvoir les intégrer ensuite. Mais les règles que l'auteur donne à cet effet ne sont aucunement applicables aux orbites de Comètes. Il nous dit lui-même, que pour ces astres, on se dirigera uniquement, soit quant à la grandeur (les intervalles, soit (piant au nombre et à la distribution des positions à déterminer par le calcul, d'après les circonstances qui se présenteront dans chaque cas particulier. Lu simple estimation en portions de la période , donnera déjà de salutaires directions pour déterminer la grandeur des inlervalles. Car avec des orbites aussi excentriques, on sera obligé, pour conserver dans le calcul une forme de courbe à peu [très semblable, de raccourcir considérablement les intervalles de temps dans le voisinage du périhélie. Un autre fait a une intluence plus grande encore , c'est que la distance de la Comète aux planètes dans la sphère d'attraction desquelles elle entre ;, change si subitement, qu'on doit toujours avoir l'œil ouvert dans ces cas exceplioiniels , pour ne pas s'exposer au danger d'omettre complètement ces portions de courbe anormales, en se servant d'intervalles trop étendus. Le croisement des orbites planétaires par celle de la Comète, entendu dans un sens large, entraîne nécessairement celte diminution de régularité dans la trajectoire, et on ne peut y obvier autrement, qu'en considérant de très-près la course des corps célestes en mouvement, et modifiant la grandeur des intervalles, ainsi que les altérations des éléments, de manière que l'inlerpolatiou entre les valeurs calculées de r, p et des coefficients dilférenticls , donne autant que possible leurs valeurs réelles.

Si l'on a à considérer les perturbations produites par plusieurs planètes, le calcul sera plus prompt en réunissant toutes les forces perturbatrices en une somme R„ , et la remplaçant dans les équations (Zy). Mais dans la pratique il vaudra mieux sacrifier (piebiue chose de celle promplilude , et calculer séparément les perturbations produites par chacpu^ planète. Les masses des corps qui composent notre s} slème sont , en cITet , encore si peu sûres . qu'à chaque calcul on peut supposer, qu'il faudra par la suilc introduire

— ion —

(les corrotliûiii a ces masses, ce ijui ne S(M'a j)Ossible que si Pou a séparé pour chaque planète l'effel de sa pcrluibalion. Le calcul en sera augmenlé sans doute, parce qu'on aura à cllecluer plusieurs substitutions distinctes , mais cet inconvénient est bien compensé par le fait qu'on peut modifier la firandcur des intervalles, suivant la configuration de l'orbite de la planète troublante. Ainsi, j)ar exenq)Ie, si le voisinage de Mercure exige pour le calcul des perturbations i)roduites par cette planète, des intervalles de 7 ou n jours, on pourra en prendre de trois ou quatre fois plus grands pour celles dues à l'inllucnce de Jupiter et Saturne. Remarquons toutefois que les corrections des éléments de la Comète doivent cire déduites des i)erluil)alions de toutes les planètes à la lois, ce {|ui se comprend aisément.

Ces diversités dans la grandeur des inlervalles, dépendant de la forme de l'orbite de la planète perturbatrice, enliaineraient des calculs sans fin, s'il (Mail toujours nécessaire d'avoir égard à l'aclion de toutes les planètes. Heureusement les masses des planètes inréiieurcs sont si petites, que leur iniluence ne peut être sensible que dans le cas d'un rapprochemeni extraordinaire ; si un pareil rap{)rochement ne se présente pas, on pourra la négliger tout à fail, ou employer des j»rocédés de simplilicalioii , tels (pie ceux (|ue nous avons exposés d'après Lagrange à la fin du chapitre 11 ; nous en verrons plus loin encore un autre, consislanl à rapporter le mouvement de la Comète, r.on plus au centre du Soleil, mais au centre de gravité du s\stème composé' de ce corps principal, et d'une ou plusieurs planètes troublantes.

Lorsqu'on a pris une connaissance géiiérale du calcul (ju'on a à faire, (ju'on a \\\(' retendue dt's inlervalles dont on se servira, M. Encke partage les opérations à exéculer (Ml cinq parties , savoir :

1" Le calcul des lieux de la planèle troublante pour les instants convenus.

2" Le calcul des lieux de la Comète troublée cl des valeurs qui sont nécessaires pour la formalion des coefiicienls dans les équations dilVérentielles(L).

r>° Le calcul (]o^ forces i»eriuri)alrices suivant les directions R, S et ^V.

•'1° Leur substilution dans les formules (L) , et le calcul des \alcurs des coefficienis diflérenliels des éléments.

5" L'iulégralion de ceux-ci , ou la formation de la lable qui tient lieu d'intégrale générale, en y comj)renant les diitérentes conslanles.

Nous n'ciilîcrons pas plus avant dans le diJlail de ces différentes portions du calcul des perturbations, ce que nous avons dit et ce qui suivra suflisant bien pour l'éclaircir complètement. M. Encive en a donné plusieurs apjdicalions dans les calculs des perturbations des petites planètes et de sa Comète. MM. Brcniiker cl Sporer ,') ont été cbargés par lui d'une partie des calculs relatifs à cette dernière, et il a fait connaître leurs résultats dans un des derniers volumes des éphémérides de Berlin, et dans le journal de M. Schumacher. Le travail relatif à l'apparition de 1638, offrait un intérêt de plus, en raison de ce qu'il devait fournir les premières données un peu certaines que l'astronomie ait jamais possédées, pour déterminer la masse de la planète Mercure. La valeur de cette niasse donnée dans la Mécanique Céleste {Vw. VI, p. 63), repose sur une hypothèse faite par Lagrange, impossible à vérifier, et qui se fonde sur ce que le rap[)ort des masses des trois planètes, la Terre, Jupiter et Saturne, à leurs volumes, est à peu près en raison inverse de leurs moyennes distances au Soleil. Laplace a adopté la même supposition pour Mercure, et en a déduit la valeur ttttftbttij q"'» ^'u son origine fort contestable, demandait une^érification. Or M. Encke annonçait en mars 1838 ;'-), que vers le 23 août 1835 la (lomète s'était approchée de Mercure jusqu'à une distance de 0,12. Les altérations des éléments de la Comète résultant de ce rapi)rochement, avaient tellement inllué sur la {)récédente apparition, (ju'elles dcvaieid accélérer le retour au périhélie deU,l jour, et (lu'en raison de la grande proximité oîi la Comète devait se trouver de la Terre dans l'apparition suivante, les perturbations en ascension droite, s'étendraient jusqu'à près d'un degré, et celles en déclinaison, jusqu'à 17 minutes environ. On conçoit que la simple conq)araison des observations avec l'éphéméride calculée au moyen de ces perturbations, qui avaient pour base l'ancienne valeur de la masse de Mercure, permettrait de décider si celle masse était entachée d'une erreur considérable. Déjà les observations faites à Genève, du 10 octobre au 20 novembre 1838 ('), amenèrent en cITet mon oncle, M. Alfred Gautier, à penser que cette valeur était notablement trop forte. Celles qu'on (il à Berlin

(') Bcrlincr y/stronomisclics Jti/irbucli, fur 1840. Aition. .XtlcLi ., ii' ' 48S cl 534.

(V -'('■lion. Niiclir., t. XV, 11° ,'553.

(') Bibliothkjue Unircru-Hr, t. XVII, p 384, ciiolnc 1838.

du 16 scplenibrc au 28 novembre, conduisirent M. Encke à une conclusion analogue, c'est-à-dire que la valeur livpotliélique adoptée jusqu'alors pour la masse de Mercure, devait èlre réduite environ de moitié. Les calculs qui ont motivé ce résultat furent exposés à l'Académie de Berlin dans un mémoire lu dans l'année 1841 , et dont un extrait seulement fui publié dans les Rapports mensuels de celle Académie. La nouvelle valeur à laquelle M. Encke s'est arrêté pour la masse de Mercu.re est -tt^-t- Nous voyons dans ce calcul un exemple intéressant de l'utilité que peut avoir le calcul des perturbations comélaires , et à laquelle on n'avait guère songé auparavant.

Nous ne terminerons pas celte section sans mentionner encore un grand mémoire de M. Ilansen, publié en 1843 sous le titre de Ermiltelung der absohiten Stôrimgen in Ellipsen von beliebiyer ExcenlricHat und Neigung. Considérant une Comète ni et une planète m' , l'auteur distingue, comme nous l'avons déjà fait plusieurs fois, les trois cas où la distance de l'astre troublé au Soleil est plus petite, plus grande, ou alternativement plus petite ou plus grande que celle de l'astre troublant au même corps. Dans la première partie de son ouvrage, qui a seule paru, il ne traite que le premier cas, et l'éclaircit en y joignant comme exemple le calcul des perturbations absolues de la Comète d'Encke par Saturne. Les méthodes à employer pour traiter le second cas, peuvent rigoureusement se déduire de celles qu'il expose, mais le troisième demeure encore irrésolu. M. Hansen reste ainsi dans les limites de ce qu'avait fait Lagrange, mais ses procédés sont nouveaux. Nous ne les exposerons point en détail, une traduction française venant d'en paraître dans la Connaissance des Temps pour /847, nous nous bornerons à une revue sommaire de ses opérations.

Le point essentiel dans le problème qui l'occupe , est d'éviter, dans la fonction perturbatrice et dans toutes les fonctions dont le développement est employé, des séries in/inies procédant suivant les puissances de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite de la Comète. C'est là le but de son procédé. Appelant, comme précédemment, a le demi-grand axe, e l'excenlricilé, et u l'anomalie excentrique de la C<omèle, il met la fonction perturbatrice il sous la forme :

i2 = i; J — c^fi\wMi (cos. u — e/'(^,,/ •

k el /élanl toujours des nombres entiers et positifs, chacun des termes de Q. consistera en un nombre fini de termes qu'on peut ordonner suivant les sinus et cosinus des multiples de Tanomalie excentrique de la Comète, et les coefficients de ces sinus et cosinus étant des fondions entières el ra-

tionnelles de e et de i/ 1 — e''. Les quantités G, / se laissent aussi développer en fondions finies de Tanomalic moyenne g' de la planète el les coefficients de tous les termes de ces fondions sont des fonctions finies de son excentricité e' ■ En sorte que si l'on introduit ce développement de G,/ dans l'expression précédente de fi , elle prend la forme :

=rn — im.,^,,cos.{iu + i'g') +lN,,,.sin.(m + i'g'},

1/1 — e' oïl les coefficients M, ,, el N,,,, sont composés uniquement de fondions en-

tières et rationnelles de e' , j^ , e, \,^\ — c",elsin.- -— I, I étant

l'inclinaison des deux orbites. Les dérivées de la fonction perturbatrice nécessaires pour le calcul des perturbations de la longitude, du rayon vecteur et de la latitude, s'obtiennent aussi sous des formes analogues.

Les formules dans lesquelles elles entrent , sonl tirées de la Tlicoric de la Liinc ('; du môme auteur. Les perturbations de la longitude moyenne et du rayon vecteur s'obtiennent par l'intégration d'une fonction T des dérivées-^— et —--7 ^^ ^^ fonction perturbatrice, v, désignant la longitude vraie dans l'orbite. Ces deux dérivées peuvent se transformer en fonctions de -^ — el -^ — , X, V, z, étant les coordonnées orthogonales de dx (II/

la Comète. Les formules qui fournissent raltéraliou de la latitude ne renferment que -7^ . Ces dérivées ayant été mises sous la forme indi(iuéc, toutes les fonctions à intégrer seront de la forme

(') P. A. Hanscn. Fundutnaidi iioi'a Invesligationi^ OrbiUv verx tfuam Luna pcilmtrat. Gotha 1838.

— lOi —

^ sin.

ou î)icn

'' j COS.' '""^ /'//' + A) (f;/ .

7 \ sin. } ■ , ' ' , 4 1,

// représenlanl le moyen mouvement de la Comèle; h cl A élonl iiulépendanls du temps t. La seconde forme peut se ramener à la première, c'est de rcllc-ci que M. Hanscn s'occupe parlicuiieremenl , son intégrale n"a\ant pas encore été donnée, (-etlc intégrale ne peut avoir d'autre forme que la suivante :

k COS. (ia + i'o' + A) du = /. a sin. {tu + i'g' -f- A)

(A' +/ia;^,sin.[;i + \)u + i' g' + A\ + k -x:^,sin.[{i-hT,u + i' g' -|-AH-elc. + /»• a; , sin.[ <— îf)u + /'//' + A] + A a; ,, sin.|(/— 2:7«4~ <Vy' + A] -4- etc.

ou les quantités désignées par a sont des facteurs constants. Si maintenant, nous différentions celte expression en ayant égard aux équations

a' :=z 7i' t + c' ; v= — : dt = — (I — c COS. ;/)(/«, et posant

nous aurons une nouvelle équation, qui devant être une identité fournira, en égalant les coefficients des cosinus des mêmes angles, les relations suivantes :

(y) 0 =>a;— (/+! H-rv)a;^, +/a;^, , o = >a; — (/— l 4.rv)x;, H->a;L, ,

0r:=:>a;^— (z + 2 + l'v)a;^,-f->a;^,, 0:r=),a;,— (1—2 + 2 'v^aU +>oc;3,

etc. etc.

(Jr on voit aisément que la loi de ces relations étant fort simple, on pourra en déduire la valeur du rapport '"^™"^' ou — ^"™^' , sous la

forme d'une fraction continue qui toujours devra être convergente, et se calculera facilement. Ayant donc «; , qui, après avoir exprimé a'.^i et a;^,

en foDclions de a; , sera donné par la première des équalions précédcnles, on pourra obtenir tous les autres facteurs d'intégration ot'.^, , a', , a\.. , <: ; etc. On conçoit aussi que ce mode de procéder s'étend immédiatement à l'intégration de Asin. (iii + i' g' -{- A)dn en changeant dans la formule (A) qui précède, les sinus en cosinus et mettant des signes contraires.

Cette méthode de calculer les facteurs d'intégration est surtout applicable aux cas où À est petit. Si cette quantité est grande, l'emploi des fractions continues devient pénible, et il vaudra mieux employer un autre procédé, où l'auteur se sert avec avantage de certaines transcendantes introduites par Bessel dans un mémoire sur la Rechci'che de la partie des jjerturbations planétaires qui résulte du mouvement du Soleil ('\

Il suppose deux quantités js et y, liées l'une à l'autre par l'équation :

h c Si nous la multiplions successivement par h, — , —j , etc., et si nous

additionnons les produits, nous obtenons :

y\k-] h -4- + etc. = 1-^ < 'ru,^, + ?>a,^,^, -h ca,^„^, + elc.x'.

La différentielle de l'équation supposée est :

Si nous opérons sur elle comme sur l'intégrale , nous aurons :

dx

Comparant maintenant ces deux équations avec les relations (Y) de la page précédente, et donnant aux coefficients a ^, , etc., respectivement la signification qu'y ont <x\^^, etc., il en résultera:

dx '^ ^ i X X- S X

(') Mémoires de l' Académie de Berlin, janvier 1824. — Voyez aussi les mêmes Mémoires , années 1816—1817, p. 55. Jnalytische Juflôsung der Keplerschen Jufgabc.

et vu la manière dont a été obtenue cette équation différentielle linéaire du premier ordre, il s'ensuit que si nous l'inléj^^rous, et si nous développons sou intégrale en une série infinie, procédant suivant les puissances entières de X ; pour chaque valeur de l'exposant n, le coefficient de x' sera égal au facteur d'intégration a;^„ , et par conséquent ces facteurs pourront être déterminés par l'intégration.

M. Hansen démontre ici, que si les moyens mouvements 7i et 7i' de la Comète et de la planète sont incommensurables , aucun des facteurs d'intégration ne peut devenir infiniment grand. Cette condition est nécessaire pour la solution du problème. Passant à l'intégration de l'équation (Z), il obtient :

y = a;-'-' c'^''~ "^' f-^""' c~'^'"~ ^'' dx + constante ,

où c représente la base des logarithmes népériens et w =; i + l 'v.

Les séries auxquelles équivalent les exponentielles c ^"^ ■ et f""^^"^"" ' '^ peuvent s'exprimer au moyen des transcendantes I; semblables à celles que Bessel a appelées I'., pourvu qu'on v fasse 2/ = /., et dont l'expression est :

^''-r2T3::r:,r~+ii^Ty)+i.2.o-fix,4-2,)Vi'y' i.2.3^<+ixi-i-'-^X'-t-3)v2j"^'""1

T/inlégratioa s'opère alors aisément, et on obtient:

X "le.- -^ ■î"+ - , <, •' — xT •'+ ^^ + — r ^'" + — ^ ■'" "^ — 3 ■''" + '"-v

( w-|-0 iLi-\-Z u-|-l ùi u) — l w — - u) — o )

-|- constante.

On démontre que les coefficients de ces deux séries infinies, dont le produit fournit la valeur de y, doivent toujours converger. 11 sera facile d'en déduire les facteurs d'intégration «;, a'^, , etc., quand on connaîtra les valeurs des transcendantes I- . Ces valeurs sont longues à calculer directe-

ment, aussi l'auteur donne-l-il une table des deux transcendantes il et 1) depuis A = 0 à À = 10, qui par une simple interpolation fournira leurs valeurs pour toute valeur de ) comprise entre ces limites. Il montre ensuite que cette table suffit pour obtenir toutes les autres transcendantes correspondant à des valeurs analogues de ). , vu qu'on obtient les relations générales

Enfin il indique comment on pourra obtenir les valeurs de ces transcendantes, lorsque / dépasse les limites qui précèdent.

Une fois ces procédés donnés, on se trouve en état d'intégrer les formules qui donnent les variations des coordonnées de la Comète. M. Hansen en fait immédiatement l'application au calcul des perturbations de la Comète d'Encke produites par Saturne, pour tout ce qui dépend delà première puissance des forces perturbatrices. Il compare ensuite ses formules absolues, aux résultats obtenus par ?>I. Encke lui-même, au moyen des quadratures mécaniques. Les différences que fournit cette comparaison se trouvent être d'un ordre de grandeur fort petit, et donnent ainsi une belle vérification de l'exactitude de ses calculs et de la rigueur de son analyse. Mais, encore une fois , remarquons que M. Hansen n'a traité complètement que le premier des cas qu'il a lui-même distingués. Le problème général ne sera résolu, que lorsque le troisième l'aura été aussi. Nous attendrons donc avec impatience l'impression de la seconde partie de son mémoire, où il nous annonce devoir s'en occuper.

Travaux relatifs à la dernière apparition de la Comète de Ilalley.

Il était naturel que l'approcbe d'une nouvelle apparition de la première et de la plus grande Comète reconnue périodique, engageât les astronomes à en fixer l'époque d'une manière précise, et à entreprendre à cet cllel le

calcul de ses perlurbalions. L'importance de celte apparition n'était , il est vrai, plus pour eux aussi grande que celle que le monde savant y attachait en 1759, parce que la théorie de la gravitation, à peine établie et encore contestée à celle époque, devait en tirer une de ses plus fortes preuves d'évidence; cependant de nombreuses questions d'astronomie physique se rattachant à ce phénomène, et Tinléressanlc vérification des progrès de l'analyse qui pouvait en résulter, devaient suKire pour engager les géomètres à se livrer avec soin aux recherches relatives au dernier retour de celle Comèle.

Dès l'année 1809, nous trouvons dans les mémoires de l'Académie des sciences de Paris, la mention d'un ménioire de Burckhardt lu le 10 juillet, où cet astronome rendait compte de ses calculs des perturbations, pour la ])ériode comprise entre les deux passages a^i périhélie de 1759 et 1835 ('). Pour vérifier et contrôler avec sécurité ses résultais, les Académies de Turin et de Paris mirent au concours celle importante question. A cette occasion MM. Damoiseau et de Ponlécoulanl publièrent des mémoires qui lurent couronnés, le premier en 1818,1e second en 1829. Ils renferment tous les deux les calculs complets des perlurbalions de la Comèle pendant ses deux dernières révolutions, avec un exposé sommaire de la mélhode employée pour les exécuter, et qui n'est autre que celle de Lagrange et Laplace, dont nous avons parlé longuement dans les chapitres II el 111. M. Damoiseau iixe i'inslaul du passage de la Comèle à son périhélie au 4,32 novembre 1835, el M. de Ponlécoulanl au 7,2 novembre de la même année (*) ; celle diflérence entre les résultats d'aussi longs calculs tient à des divergences dans les bases adoptées, c'est-à-dire, dans les éléments des orbites de la Comèle et des planètes perturbatrices, ainsi (juc dans les masses de ces dernières, qui , comme ou sait, ont subi fréquemment des corrections notables dans ces derniers temps. M. de Ponlécoulanl, tenant lui-même compte d'une de ces correcUor.s relative à la masse de Jupiter, fut amené à ajouter G jours à sa première détermination. Le passage ne

(^') Voyez aussi (onri. tic.'. Trnijis pour 1819. [>. 374.

(') Voyez Coitn. rli-i Triiips po-ir 1S32, p. 25, pour 1833, p. lOi, cl piur 1838, p. G7, cl Memorif dflld Fu'ulr .■Iciiilfiiiut tlclle SciciiZf ili Toniio, I. \.\IV, p. 3G.

devait plus arriver que le 13, l'observalion a donné le 16, c"es[-à-dire trois jours seulement de dilTérence.

Cette différence sera encore moindre , si l'on adopte les résultats de M. Rosenberger, professeur à Halle, qui s'est, de son côté, occupé activement du calcul dos perlurlialions de la Comète de lïallcy, cl en a rendu compte d'une manière délailléc dans le journal de M. Schumacher. Tandis que les géomètres français n'avaient tenu compte que de l'influence de la Terre, de Jupiter, de Saturne et d'Uranus, M. Rosenberger affirme Llstr. Nadir. , w" 276), que les actions de Vénus, Mercure et Mars, néf^lif^ées comme insensibles, peuvent produire une accélération de 6 '/. jours dans la période de la Coînèle , savoir 5 ' ., jours du fait de Vénus, et un jour par les attractions combinées de Mars et de Mercure. Nous nous arrêterons un moment sur les travaux de ce savant distingué, et sur les détails qu'il donne (') quant à la méthode par laquelle on rapporte le mouvement d'une Comète non plus au centre du Soleil, mais au centre de gravité du svstème solaire, considéré comme foyer de son orbite. Nous avons déjà vu Glairaut employer cet artifice pour simplifier ses calculs (page 10), et nous avons annoncé que nous donnerions par la suite les formules des géomètres modernes qui y sont relatives: voici donc celles de M. Rosenberger, qu'il donne d'après les préceptes de Bessel.

Appelons, comme précédemment, x, y, z les coordonnées de la Coiiièie rapportées à un système d'axes rectangulaires se coupant au centre du Soleil ;.r', y' , z' , x" , y", z" .... les coordonnées des planètes troublantes m' , m" ... ; la lettre r désignera toujours le rayon vecteur de la Comète. r' , r" ... ceux des planètes, p, p'... les distances de celles-ci à la Comète • nous poserons 'p" égal à la troisième puissance de la dislance des deux

planètes m' , m" et ainsi de suite. Soient enfin X, Y, Z les cooi'données du ccnlre de gravité de notre système solaire, en sorte que

- m' x' + ni"x" -\-ni"'x"' + etc.

oii M = ni -+- m" -f- m'" + etc. , et la masse du Soleil = 1.

(') Astivnoinischc ^dchriclilcii, t. XI, n° 250.

r.cs équations qui déierminenl le mouvement de la Comète et des planètes autour du Soleil seront :

d'x ^^ X j^m' x' ni' (X — x') . m" x" m"{x — x")

d\r' , i\Jrm')x' , m" x" , m"ix'-x") , m"'x"' 7n"'{x'-x"') ,

etc.

et d'analogues en y, z, y' , z' , etc. Si l'on multiplie les équations (.5'), (o")... respectivement par , , - , etc., leur somme devient :

d^ , ïn'a-' , 7ti"x" in"'x"' dt ' r r ■' r •'

Si en outre nous posons :

etc.

ï, V), Ç, Ç', r/', i^', ç", etc., étant les coordonnées de la Comète et des planètes, rapportées à un système d'axes se croisant au centre de gravité et parallèles aux premiers , et si l'on retranche cette équation de la relation (^5) , on obtient :

d^^x ^ m'jx—x') , 7n"{x—x") ?n"'{x — x"')

" ij , «i- , //t (.«- u, ] , III, \ui — O- / III i^ — kiu )

Equation , (pii avec les deux anologues en ri et 'C, détermine le mouvement

du centre de tique avec celle-ci :

de la Comète autour du centre de gravité du système solaire. Elle est iden-

lu

El comme ^ = — -f (^ _____ ^^ ei^ désignant par R la distance de la Comète à la nouvelle origine, on peut encore récrire:

ou enfin, en mettant m''^' + ?w"i"+ ?«'";'"+ etc., à la place de X.

Le mouvement de la Comète autour du centre de gravité du système sera donc le même, que si ce point était le siège d'une force centrale éiiale à 1 +W, et qu'en même temps elle fût sollicitée par les forces perturbatrices suivantes, A, B et C, parallèles aux axes coordonnés:

A=(ï + X)(i-^0 +»''i'-;)(s -^) +'»":r-l)(ji-;,,') +etc. W B = ,+T(i-l,)+„/(,/-,',(i-i}+,„"(,;--,)(jl-i).^e.c.

. c=(;+z,(l-l) +«'(;'-ç:(i-i) + ,„"s"-:)(sU^;.) + eic.

Si la distance de la Comète au Soleil n'est pas trop petite, on pourra facilement exprimer T— ^ rry ) au moyen d'une série très-convergente,

et ce n'est que dans ce cas là, qu'en général le mouvement de la Comète doit être rapporté au centre de gravité, et qu'on doit faire usage des équations (^). En effet on a alors :

r- = x- + y' + z' = R' -f 2P + JT , où

P = ?X -j- ,;Y + rz ; R- = X- -f- Y- 4- Z%

et par conséquent P et R sont de Tordre des masses perturbatrices. On en déduit :

/?-i-T^/'^ ^ > — 3P.? 3PX 15 P-.^ 3 R-.?

{^ + ^){^ ,., -wJ^^' ir" + ^ "R' — V^r ^'^•.

et de là pour les expressions des forces troublantes :

=[.n'.,r-<^ - 7^) +-"(r-r :( ^ - ^) +eic. - ^]

3P.X , il 2!1 1^ K-.g

3P.Y ii.^Ai^ R' "^ 2 R^ 2 iV ■^^^•

<: = [m'(C'-0(i^-7)+m''r-:)(l^-7T)4-elc.---f]

Très-souvent il sufûra de ne considérer que les termes compris entre les

|)arenlhèses j

Déterminons maintenant la direction arbitraire des axes coordonnés, de manière que le plan des cr, coïncide avec celui de l'orbite de la Comète autour du centre de gravité pour l'instant du calcul, et l'axe des ? avec son rayon vecteur ; on aura ? = R , -/i = Ç = o ,, P = RX , et on déterminera par le moyen des équations (d) à (?) du chapitre précédent, les variations dés éléments de l'orbite de la Comète rapportée au centre de gravité du système. On posera à cet effet |ji=1 4-M,et appelant A', B', C les forces perturbatrices dans les directions déterminées, elles prendront la forme suivante :

^^1 In 37;i'ç' „.,„ ^- / 1 1 \ Gm'T , .

(>) B'=mV(^--)4-^.(-î^-yr)+etc.— ^ / 1 1 \ .w,/ 1 In. 3XZ

L'avanlage que présente ccl ordre de calcul , consiste en ce que les parlies des forces perturbatrices A', B', C qui dépendent des petites planètes, diminuent parfois tellement, qu'on peut sans danger les négliger entièrement. Pour la Comète de Halley, qui se trouve la plupart du temps à de très-grandes distances du Soleil, cet avantage est encore accru, en ce que les perturbations qu'elle éprouve de la part de Jupiter, Saturne ci Uranus, au moins dans la plus grande partie de son orbite, sont beaucoup moindres et plus aisées à calculer, si l'on rapporte son mouvement au centre de gravité du système solaire, que si on voulait calculer immédiatement les variations de ses éléments par rapport au centre du Soleil.

Ces formules pour rapporter le mouvement d'une Comète au centre de gravité du système solaire étant données, il est nécessaire encore d'indiquer une méthode par laquelle on puisse déduire les éléments qui déterminent le mouvement de la Comèle autour de ce centre de gravité, des éléiisents de son orbite autour du Soleil et vice versa. Cette méthode s'obtient fijciiemcnt par la considération des inlégrales premières du rnouvemenl elliptique, dont nous avons déjà fait usage pour en conclure les formules des variations des éléments, pour la déduction desquelles nous avons renvoyé à la Mécanique Cclesle, liv. Il, § 18. Ces intégrales donnent, comme ou sait, les constantes du mouvement elliptique d'un corps céleste, autour du foyer de son orbite, en fonctions des coordonnées relatives à ce point, et des composantes de sa vitesse, parallèles aux axes coordonnés. Si on applique ces équations aux deux orbites en question, il est évident que la (lillerence des deux systèmes d'éléments s'en déduira immédiatement. Cette opération est essentielle, parce qu'il n'est point avantageux de transporter le centre d'attraction du centre du Soleil au centre de gravité du système dans le calcul des perlurbalions pour l'orbile entière de la Comète. Ce n'est qu'à partir d'un certain écarlenient de la Comète au Soleil, comparé à celui de la planèle trou!)lanle au même corps , qu'il sera convenable de changer l'origine des axes de place , et souvent même ce déplacement se fera successivement pour les dilTérenles planètes perturbatrices, ou du moins pour les différents groupes de ces planètes. Le grand avantage de rapporter le mouvement au centre de gravité du système, qui ne subit aucun dérangement par le fait des attractions réciproques, réside en ce que la partie de la force perturbatrice qui, dans la forme ordinaire, dérive de l'action de la

|tlanèle troublaiile sur le Soleil, disparaît. Outre cela, les termes où entrent les coordonnées de la planète perturbatrice s'annullent, ou du moins diiniiiuent considérabloment, en exceptant cependant l'influence qu'elles ont sur la détermination de la distance des corps troublant et troublé. Si donc de prorapts changements de ces coordonnées exigeaient, avec la forme ordinaire, de très-petits intervalles dans le calcul des variations des éléments , il suffira de les calculer pour des espaces de temps beaucoup plus considérables après celte transformation.

M. llosenberger nous dit lui-même que l'exactitude de ses calculs, relatifs à la Comète de Halley, aurait été, en partie du moins, tout à fait illusoire, ou la complication de leur exécution entièrement insurmontable s'il n'avait fait usage de cette méthode , dont la première indication se trouve dans la pièce de M. Argelander sur la Comète de 1 8 M , déjà citée p. 86 , et que cet auteur distingué nous annonce lui avoir été transmise par son illustre maître Bessel.

C'est un travail de ce grand astronome (ju'il nous reste encore à analyser. H a été publié en 1836 dans les Jslronomischc Nachrichlen (n° 313 et suivants) sous le titre : Beilrag zu den Mcthodeii die Slurungcn dcr Kometcnzu hercchncn, et nous le mentionnons ici, parce que son auteur V a joint comme application le calcul des perturbations de la Comète de ilalle} {)roduiles par la Terre. Il a choisi rinfluence de la Terre comme exemple plutôt que celle de Jupiter, en raison de ce (jue ses procédés s'appliquent [)lus [)articulièrement à la délerminalion des perturbations qui sont produites par les planètes les moins éloignées du Soleil , et pour la partie supérieure de l'orbite des Comètes. Voici les principales idées qui forment la base de sa méthode.

Si on donne au coefficient différentiel d'un élément c de l'orbite de la Comète la forme suivante :

[M] —j— -■= />"-h//cos. n' l -\- p'coi- 2n' t -\- /r "cos. '!->n' t-\- ....

-f v'siu. 71 l -\- g'sin.'i n' l-\- (/'"sin. 3 «'/....,

expression dans laquelle ii' t représente l'anomalie moyenne de la planète troublante, dont nous considérons l'inlluence seule, et où jh p' , l^",-q' , q" ... sont des fonctions du temps et des éléments des deux orbites; on

aura la varialion de l'élémenl c pendant un temps déterminé, en prenant rintégrale de celte expression pour toute l'étendue de cet intervalle :

- Sc= fp'.dt -h I (2)' COS. 7i't + q's\n.7i't)dt ■ ' + 1 {i)"cos.'2ii' t + q" sm.27i' t)dt + e\c.-

Or, on peut développer les intégrales des termes de celle expression, qui renferment les sinus et cosinus de l'anomalie moyenne et de ses multiples, en séries dont la convergence dépend de celle de la suite des coefûcienls dillérentiels ôc j)' , q' , 1)\ q" Si, en effet, on leur donne la forme :

/ (p'cos.n't -H g'sin. 71' t) dt — P'cos.7i'f + Q'sin. n' t

fip"cos.'2?i' t-h q"s\n.2n' t)dl = P"cos.2«'f + Q"sin.2w'f,

on obtient en différenliant la première de ces formules , cl en égalant respectivement les coefûcienls des mêmes lignes trigonomélriques :

^.. . ^ dP' dQ' . . , , . r

Ehmmant — - — et — ^ par la comparaison de ces deux équations avec

leurs différentielles, on aura :

n''^ n'-' dt~^^n'- dt' ' «' "^ /i'- dt ~ '^ ii"- dt'

Si l'on différentie ces deux équations 2, 4, 6... fois, et qu'on en chasse chaque fois le coefficient différentiel de l'ordre le plus élevé par la différentiation suivante, on en déduit :

n''^7ï'^ de 11" de ^"'^ 71'-- dt 7i" de^n" de

^ n' w" de'^ 7i" de ■'"*"«.'- dl 71" de '^71" de

formules qui donneront évidemment P", Q" , P'", Q"', etc., si au lieu de p' , q' , 71' on écrit respectivement 2^", q", 27i'; p'", q'", 3w';etc.

Un peut employer celle inlé^^ralion des termes périodiques de l'expression de dv, quand les valeurs de p' , q' , p" , q" .... et de leurs coefficieiils diflérenliels sont connus pour les deux limites du temps, et si les séries qui expriment P', Q' , P", Q", etc. sont convergentes. Le terme indépendant de la position de la planète troublante doit être intégré à part et par une méthode différente. Il s'agit donc, pour le moment, de trouver le moyen de connaître P', Q', P", Q", etc.

Pour cet effet, Bessel rapporte ses positions à un système d'axes reclangulaires, ayant leur origine au centre du Soleil, dont l'un coïncide avec le rayd"!! vecteur de la Comète, et le second situé dans le plan de l'orbite est Iterpendiculaire à ce rayon vecteur. 11 décompose suivant ces trois axes la iorce perturbatrice, et transforme les expressions des composantes en fonctions des anomalies vraies y et y' des corps troublé et troublant; prenant ensuite les formules des variations des éléments, il y substitue ces expressions , et obtient ainsi les coefficients diflérentiels de ces éléments en fonctions de ces deux variables. Pour les mettre, maintenant, sous la forme [jf , on se servira de l'interpolation. On combinera les valeurs connues de y et ;• correspondant à un certain instant donné, avec un nombre ut de valeurs de «7

Pour chacune de ces m valeurs, on calculera les termes des formules précédentes qui renferment y' et r'. el que Bessel a réunis pour simplifier sous trois formes seuleniLMil, qui reparaissent les mêmes dans les diflérentes équations; on cherchera ensuite la formule périodique qui s'adapte aux m valeurs de chacune de ces expressions. Si m a été pris assez grand pour que les j)remier5 termes seuls de ces expressions soient sensibles, on a obtenu le développement ciierché ; on aura ainsi, pour un temps donner, les développements des coefficients différentiels des éléments de l'orbite, sous nwQ: forme analogue à l'expression [M). On en déduira ceux de leurs propres coellicienis dillérentiels des divers ordres, après avoir calculé Texpres-

dc

>ioii de -T- , non pas seulement pour le lemps r où doit commencer l'intégrale oc , mais pour les instants :

C'est de la suile des valeurs de chaque coefficient et de leurs différences, qu'on pourra extraire ces coefficients différentiels. Toutes les quantités nécessaires pour calculer P', Q' , p", Q".... seront ainsi connues. L'emploi de cette intégration des termes périodiques des variations des éléments dépend delà convergence des séries qui expriment P', Q' , P", Q".... Celleci sera évidemment d'autant plus grande que la Comète à l'époque r, sera plus éloignée de son périhélie, et son mouvement plus lent et plus uniforme.

Quant au terme de l'expression (M) de oc qui est indépendant des sinus et cosinus de l'anomalie moyenne de la planète perlurhatrice, nous trouvons son influence calculée et exprimée au moyen de formules dans l'ouvrage de Gauss : Detcrmmatio Altractionis , e\.c., Gottingœ 1818; cependant, dans le cas qui nous occupe, les distances de la Comète au Soleil étant beaucoup plus grandes que celles de la planète troublante au même astre, on peut profiter de cette circonstance pour le calcul, et voici comment. Nous avons vu que les composantes de la force perturbatrice parallèles aux axes, sont fondions des coefficients diflérentiels de la quantité It (p. 57;. Poisson (') a exprimé les variations des éléments au moyen des coefficients différentiels de la même fonction , pris rel.ativement aux éléments mêmes de l'orbite , d'après ses propres travaux el ceux de Lagrange et Laplace. Le terme de celle fonction indépendant de ii't, que nous avons seul à considérer dans ces formules, est :

m' lY a^x' -\- yi/' + zz' In , , "o — Ik '3 )(l.n(.

La première partie en disparaît évidemment, et il se réduit à

ou , à cause de d.ti' l = (\ ~c' cos. ii ' ; du ' ——-, du' :

(') Jowiuil ,lr l'Rcolf l>o{}li-clim'c/uc, I. VIII, p. 308.

u' étant l'anomalie excentrique de la planète. La portion de R qui seule

est à considérer ici , est la partie du développement de — , — procédant

suivant les sinus et cosinus des multiples de u' , qui est indépendante de

l'anomalie excentrique u' .

Si l'on développe — , qui en raison du système d'axes adopté vaut , en une série de la forme :

[/r- — 2rx'-+- r'

U" rt'LT" a'-V"-' a'^W

procédant suivant les puissances de -; , et qu'on désigne par V", a'V" , rt''-V'-\.... la partie des produits des dénominateurs de ses différents termes, multipliée par -;t- = 1 — e cos- ti' , qui est indépendante de ti' , la portion de R que nous aurons à considérer ici sera :

~m'] 1 1 1 h etc. ■

Bessel donne le développement complet de celte partie de R, indépendante de la position de la planète perturbatrice, jusqu'à la sixième puissance de

— : cette approximation est le plus souvent plus que suffisante pour le ;•

calcul des variations des éléments, en particulier pour l'exemple auquel il fait l'application de sa métliode , et où il considère les perturbations de la Comète de Halley produites par la Terre.

Comme les coefficients dillérentiels des éléments, pris par rapport au temps, sont exprimés en fonctions des coefficients différentiels de R, pris relativement aux éléments, et que l'intégration des premiers doit être prise pour tout l'intervalle de temps, pour la durée duquel on veut déterminer les variations des éléments, on peut arbitrairement: ou bien différentier d'abord R par rapport aux éléments et intégrer ensuite relativement au temps, ou bien faire précéder l'intégration et ensuite différentier l'intégrale ob-

tenue. C'est celle dernière voie qu'a suivie Tauleur ; il a donc cherclié d'abord :

'n = ÇY{dt = , ^ Ç^r-.d'^ ;

ou, remplaçanl R par la série obtenue, dans laquelle le terme qui renferme

V^' est déjà insensible, et mettant i)our /• sa valeur -r- — = .

l+ecos.v 1 -hCCOSy

J 1 -f-ecos.«* h J ^

a'^ /• a'-' r -j^ j V'^C +ccos.'^,UZj — -- / Vf^(l+ecos.y)-rf'jj.

Différentiant ensuite cette expression, par rapport aux éléments qui entrent dans les formules des variations, il obtient directement les altérations des éléments de la Comète pour le commencement et la fin de l'intégrale ; leur dilTérence donnera la parlie des perturbations de la Comète indépendante de la position variable de la planète perturbatrice, pour le temps auquel s'étend l'intégrale calculée. Il applique immédiatement ces procédés à l'exemple indiqué, et remarque qu'ils peuvent s'employer également, soit (ju'on rapporte le mouvement de la Comète au centre du Soleil, ou au centre de gravité des corps attirants.

Dans une seconde section de son travail, Bessel expose une méthode approximative pour la détermination des perturbations des (>omètcs lors- ([u'elles se trouvent à de grandes dislances du Soleil, méthode qui facilite et abrège beaucoup les calculs , tout en écartant très-peu de la réalité. Elle est fondée sur la remarque que nous avons faite (p. 27) avec d'.\lembert cl Lagrange, qu'une Comète qui est beaucoup plus éloignée du Soleil que la planète perturbatrice, se meut à très-peu près autour du centre commun de gravité de ces deux corps, comme si elle était attirée vers ce point par leurs deux masses réunies. Si donc, comme à la page 1 10, je rapporte le mouventcntde la Conu'te à ce centre de gravité, ne considérant riniluence (jue d'une planète troublante, et que j'appelle a-, , .y, , z, , r, les coordonnées de la Comète relatives à un système d'axes se coupant en ce i)oint.

j'aurai pour équations de son mouvement des relations de la forme "] :

d-x' , . , ,.^r, r , m' ,\\ ,, , ,x, , / , , vi' ,\\

et d'analogues en »/, et z,. Si j'y introduis la fonction les mêmes équations deviennent :

gravité, on voit donc que les deux premières puissances de — disparaissent;

dl- rj' dx,

etc.

Si maintenant on développe R, d'après les puissances de -;- , on trouve

que le développement commence avec le cube de cette fonction, tandis que

celui de la fonction R employée dans le mouvement autour du Soleil ren-

terme déjà — . En rapportant le mouvement de la Comète au centre de

c'est dans cet amoindrissement de la force perturbatrice, et partant des

perturbations, que réside l'avantage de ce changement dans l'origine des

axes. La nouvelle approximation que propose Bessel , consiste maintenant

à ne prendre dans le développement de R, procédant suivant les puis-

sances de — , que le terme en — ^ , et de chercher les corrections des

éléments qui résultent de sa prise eu considération. Il donne fort au long tous les développements et les formules nécessaires à ces calculs ; mais nous ne le suivrons pas dans ces détails, que les limites de cet écrit ne nous permettent pas d'aborder.

(') Ces équalions se déduisent immédlalement des deux correspondantes du mouvement de la planète et de la Comète rapportées au centre du Soleil , en y faisant :

^ = ^- + T~i — T^' ' .>=.>■■ + 1—1 — rf ' - = ''+Tn — r