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CIÎAPITIIE CINQUIÈME.

Comète dos&t on a oSji^ei'vé pBga»ssefirg »|$paE'i<ioiis.

Si nous récapiluions les méllioclos, que nous venons d'examiner, pour io calcul du mouvement IrouMé des Coraclcs, nous voyons qu'elles diiïèreni pour les diverses parties de l'orbite que l'on considère. L'intégration des i'onnules, qui expriment les variations des éléments, par les quadratures mécaniques fournit, il est vrai, un mojcn sur de calculer les perturbations ])0ur toutes les positions de la Comète; mais des procédés simpliOant les calculs fort longs qu'elles exigent, ont clé donnés pour les portions extrêmes de l'orbite, c'est-à-dire pour la partie qui avoisine le Soleil , et pour celle qui, au contraire, en est beaucoup plus distante que les planètes perturbatrices. Dès que la Comète s'approchera de celles-ci, il faudra recourir toutefois aux quadratures, dès lors renoncer à obtenir une expression analytique des perturbations, et se résoudre à reprendre jiour chaque nouvelle apparition un calcul, qui de l'aveu des plus cminenls géomètres ?i'a jamais de fin. Celte conclusion n'est-elle cependant pas un peu précipitée, et devons-nous abandonner la pensée d'obtenir des formules générales pour le mouvement troublé des Comètes? C'est la question que nous nous proposons d'examiner dans ce chapitre, en nous occupant particulièrement du cas, où l'on a observé plusieurs apparitions successives de la même Comète et exécuté pour chacune d'elles le calcul de ses perturbations relatives.

Nous avons vu, p. 116, Bessel arriver par l'inlerpolalion à exprimer, en séries procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de la longiludc moyenne de la planète troublante, les coefticienls dillérentiels , pris par rapport au temps, des variations des éléments, pour le cas particulier oii l'on considère une Comète dans la partie de son orbite, où elle se trouve à

de beaucoup plus grandes dislances du Soleil que l'aslre perlurbaleur. La erandeur des excentricités et des inclinaisons des orbites coniétaires, empêche d'étendre ces procédés à leur trajectoire tout entière, mais on sait (pie dans la théorie des planèles ils sont d'un emploi fréquent cl avantajicux.

L'interpolation a en général pour but, de trouver l'expression générale d'une fonction d'une ou de plusieurs variables, au moyen d'un certain nombre de valeurs déterminées de cette fonction , correspondantes à des valeurs connues de la ou des variables qu'elle renferme. Ainsi la fonction perturbatrice R p. 56), qui se développe algébriquement dans la théorie des planètes en une série procédant suivant les sinus et cosinus des mullij)les des longitudes ou anomalies moyennes des astres troublé et troublant, cl dont les coefficients des dillérents termes renferment les puissances ascendantes des excentricités des mêmes astres (Méc Ccl., liv. Il, n" 43 et suivants , peut aussi s'obtenir par les formules d'interpolation, de même que ses dérivées.

Désignons en effet par T et '4' 'f^s deux anomalies moyennes, qui entrent comme variables dans la composition de la fonction R ; nous pourrons ])Oser R = /'(r, ^'). La question est de trouver l'expression générale de son développement, au moyen d'un nombre suffisant q de valeurs numériques de la fonction, valeurs qui se calculeront au moyen de sa forme ordinaire ,

A a\r' + yi/' -h zz' 1 )

OU K = m /- + r - — ^ rr s ■ ,-- ;

appelant .v le cosinus de l'angle compris entre les deux rayons vecteurs /' l't /•' , et qui est fonction des anomalies ou longitudes des deux planètes, en donnant à ces anomalies ou longitudes les valeurs particulières qu'on jugera convenables.

Donnant premièrement à ij' une valeur particulière i, la fonction R" correspondante, ne contiendra plus que la seule variable T, et se mollra sous la forme :

R(" = Bi'> + B;^ COS. : -i- B; COS. 2 : -h B;' ces. 3 ; -f- etc. + Ai'sin. : + A/'sin. 2'! -f- A:/^sin. 3 r -f etc.

Si nous donnons à '^', de même, q valeurs diiïérenle», nous obliendrons q valeurs correspondantes de la fonction R, et par là q équations propres à déterminer autant de coefficients B, , A, , B, , A, , etc. Mais chacun de ces coefficients est fonction de valeurs particulières do >'; pour avoir son expression générale, il faudra donc refaire à son sujet la même série d'opérations, c'est-à-dire donner à T des valeurs particulières et en déduire les valeurs correspondantes de R en fonctions de la variable "^' seule. On arrivera ainsi à q systèmes de q équations à q inconnues, pour la résolution des- (juelles on a recours aux formules d'interpolation, sous peine d'être entièrement arrêté par l'extrême complication des calculs. Voici celles que M. Liouville a résumées dans son Journal de JlallicjncUiqiics , année 1836, page 206, et qui fournissent immédiatement les valeurs des divers coefficients des développements qui précèdent. Elles se déduisent promptemenl de la théorie des équations binômes. Cette théorie nous fournil par la résolution de l'équation x'' — 1 =o,

q valeurs de l'expression y i qui sont :

cos. \- ]/ — l.sin. -— , COS. — - -f- V/ — l.sin.

cos.llîIz!hL-4-\/Trrsin.lIi=12^.

La somme des ^; "■" puissances de ces racines devra être nulle, si p est différent de q ou d'un de ses multiples, car cette somme doit être égale au coefficient du second terme de l'équation, et ce second terme n'existe pas. [ille devra être égale à ^ , si p est égal à g ou à l'un de ses multiples , car c'est la condition même par laquelle ces racines ont été déterminées : chacune d'elles élevée à la puissance q doit reproduire l'unité, etparconsé- «jucnt aussi, si on l'élève à une puissance marquée par un multiple de q. On a donc, en supposant ^^ > o et différent de q, Iq , 2q, elc ,

l + ^'cos. -^ +/=:r.sin.^y+rcos.— -{-V/=r.sin. — V+..

.... -f-( cos. —^ ^~ 1- l/— l.sin. —^ — )= o :

ou en verlu de la formule de Moîvre, égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire :

2»TT 4»T7 G»- 2lV/ — 1)»- 1 + COS. — 1- COS. ~ f- COS. — h .... + COS. -^ ^-^-— = O

Q fl q q

sin. —^ — + sin. ~ 1- sin. [- -f- sm- — — — — o.

Là seconde é(jualioii existe aussi pour p =z o , ou pour p égal à fuu des multiples de q.

r.ela posé, reprenons l'équation

•t-) K = /•(:) = B„ 4- IB,, COS. i>; + IX,. si n . jï: ; taisons V successivement - = 0, ., = — -, ,= ....— —^^

li iijoulons tous les résultats obtenus. Les coefficients de B„ , B^, B,, , etc. seront égaux à q, et ceux des autres termes seront nuls, on aura donc :

q li.,H-B,-}-B,, + etc.,=/'(o) + /'(-Vr/\-)+--+/'r-^^^^"-'j

et si les coefficients B,^, B, , etc. sont négligeables, on en déduira la valeur du preniicr, B„ , égale à la somme des valeurs particulières du second jncndjre divisées par q :

( rénéralemciit , si on représenic l'expression

V ,01 -}- y ( r -I- y (2) H- . . . . -^ 'j q—]) par i:;/ y y.) , on j)0un'i! écrire :

([uelle que .soit la fonclion /•;.,). — Voilà pour le premier coeCncienl du dé- \eloppement de 11, voyons maiidenani l'expression d'un cocnicieul d"ordre quelconque, A^ et B^, par exemple.

Si dans l'équation .r) qui précède, nous remplaçons /) par p,, et

,juc nous considcMioiis }) comme une valeur parliculièrc de /),, elle

(levienl : ....

■ . . /-(r):^B, + IB , cos P.C+ ^A .sin.p.r. ■

Mulliplions ses deux membres par ces. p'C,, on aura : . ;..

COS. pr/tO ^ B„ COS. 2K + l ^B,M [COS. (p, + P) ^ + cos. p—p ? ] • 4-UA„[sin.(p,-h?>);-f sin.(p — ZJ):i.

Faisons } maintenant successivement : •

.. 2^7 ^ 4Tr ^ ^ jjP + g— ')-

et ajoutons les résultais, nous verrons que tous les coefficients de B, , B, , B, .... B,^, deviennent nuls, excepte celui de B,, qui est égal à p + q- En néL^ligeant les termes d'ordre q , on aura donc

et semblablement

B ^ — ^ — ^'^' r [ -^^^^ cos. — —- , ^ ■ ' Kp -\-q ' P + q

La convergence des séries, au moyen desquelles se laisse exprimer la fonction 11 dans la théorie des planètes, permet de négliger les termes des six, sept,.... dixième ordre, et dès lors de prendre le diviseur de la circonférence q, égal seulement à 8 ou 10, à cause de Tavantage d'emplou'r comme tel un mulliple de 4. Le calcid de Texpression générale de R s-eflècluera donc aisément par ces formules, ainsi que celui des dérivées de cette fonction, quf entrent dans les formules des varialions des éléments. Ce n'est que lorsqu'on les a obtenues , qu'on intègre pour avoir les valeurs Iroublées des éléments eux-mêmes.

Ce que l'on fait ainsi, dans la tliéorie des planètes par rai)porl aux dérivées des perturbalions, ne pourrail-on pas le faire pour les Comèles |.ar rapport aux perturbations elles-mêmes? C'est là la question qui nous paraît devoir être résolue par l'iillirmalive (pour la partie du moins qui dépend (le la première puissance des masses), et que nous essaierons de dé\elopper

ici. Au lieu d'avoir, comme dans Tcxemple qui précède, à calculer Texpression générale de la force perturbatrice au mo}en d'un certain nombre (le \aleurs particulières qu'on en po-sède, ce sont les coelTicienIs des perturbations absolues que nous déterminerons au moyen de valeurs numériques connues des perturbations relatives qu'on aurait obtenues par les quadratures), et au moyen de certaines équalions de condition.

Supposons donc une Comète périodique, dont on ait observé plusieurs apparitions, et calculé pour chacune d'elles les perturbations relatives, produites par une planète troublante. Désignons par a l'un quelconque des éléments de l'orbite de la Comète , de la variation duquel nous voulons chercber la formule générale, et par t le temps compté à partir de l'un de ses passages au périhélie, du premier par exemple. Appelons aussi s' l'anomalie moyenne de la planète perturbatrice, et n' son moyen mouvement. La forme sous laquelle je désire mettre l'altération èa de réiément considéré, produite par l'action de la planète, est la suivante :

oa = A.sin.:' -|- B.cos.:' -1- Kt -^ A,sin.2:' + B.,cos.2:' -+- A,sin.3;'-|- B.cosS;' + etc.

J/anomalie moyenne 'Ç sera l'argument général dont on se servira, A, , B, , A, , B, .... et K sont les inconnues du problème, qu'il s'agit de déterminer.

Soit G l'intervalle qui sépare deux passages consécutifs au périhélie. Représentons par P -l- «^rt, , P-{-<5rtj, P 4- rjft. , etc., les perturbations absolues de l'élément a pour les différentes périodes, âa, , 8a, , Sa.^.... étant ses perturbations relatives, calculées par les procédés ordinaires, depuis le premier jusqu'au second passage, depuis le second jusqu'au troisième, et ainsi de suite. On aura les équations :

A, sin. :;' + B, cos.û'lA, siD.2C' + B, cos.2C' + etc.r=P, (jA A. sin. (C' I «'Ô) + B, eos. (Z,' + k'ô) + A. s'in. (2t;' + 2«'0) + B. cos. (2^' + 2«'Ô) + elc . + K9 = P + oV, , A, s'in.(?;'+ 2"'e) + B, cos.(j;'+2«'6) + A. s'in.(2>;'+ 4n'0) + B. COS. (2?:'+ 4n'9) + etc. + 2K6 = P I Sa, , elc.

Les inconnues sont toujours K, A,, B,, A.,, B, , etc., et en outre P,

poriiiibalion absolue de rélémcnl a de la Comèle au premier passage observé. On pourra en délermiiicr autant qu'on aura d'équations de celle fornie, c'esl-à-dire autant qu'on aura calcuié de séries de pcrturl»alions relatives de la Comète.

Pour faire disparaître les deux inconnues K et P, et pouvoir traiter les relations qui précèdent de la manière indiquée, nous les retrancherons membre à membre et deux à deux. Mettant alors les coefficients des inconnues A, , B,, Aj , B, , elc, sous la forme du sinus ou cosinus d'une somme de deux angles, moins le sinus ou cosinus de la différence des mêmes angles, c'est-à-dire posant par exemple le coefficient de A, ,

si„^(Ç'+„-0)-sin.L:'=si„.{(;'+'-^)+!^^}-si„.{(ç'+!^)^j jiuis, développant ces lignes trigonométriques, on obtient :

A, 2sm. — ^ cos. (^^' -f- -^j — B, 2sm. -^sin. (^c,'-[- -^j

+ A, 2sin. 7t'0 COS. (2 ;;'+ /i'O)— B, ? sin. 7i'0 sin. (2 ;'-}- n'O) + etc. + KO = <îa,

A,2sm. -^-cos. (^^'H —) — B, 2sm.-^- sin. (^^'-j--,^^

+ A,2sin.?i'0cos.(2;' + 3«'0) — B.,2sin.w'0sin.(2;'-H3??.'0)

-h elc. ■ -|-KOr^r]rt, — Jr/,

i'I ainsi de suite. Retranchant ces nouvelles équations membre à membre , et posant

4sin.-— — - 4sm.--— -

4sin."-7i'0 ' 4sin.-yi'0

etc.

On obtiendra, après des transfoimalions analogues aux précédente^, di'< éijualions de la forme :

.r, sin. (;' + n'()) + y, cos. (Z' + n'')) H- œ, sin. (2 ;'' + 2 n'b) + ?/. cos. (2 :' -h 2 n'O) + etc. = 0(7., — 2oa,

<•( (i'aulres seniblahlcs. Ces relations en x, , y, , a:,, y., clc, peuvent èlrc traitées direetenienl par les formules (rinterpolalion, quel que soit d'ailleurs leur nombre. Dans la pratique, et pour les Comètes, l'applieation de ees formules se simplifierait beaucoup, en ee qu'il serait suffisant d'avoir les periuri>ations pour les époques moyennes des retours au périhélie.

Le coefficient K déterminé de la manière indiquée, ne le serait peut-être pas suffisamment exactement, puisqu'il se trouve multiplié par le temps el exige par conséquent une plus grande approximation que les autres coefficients- Il sera donc convenable de déterminer à l'avance la valeur de ce coefficient séculaire, et le terme KO des équations (::;; étant alors connu, on s'arrêtera aux différences premières des équations précédentes.

Aucune Comète périodique ne compte jusqu'ici un nombre suffisant d'apparitions, pour que nous ayons pu essayer de lui appliquer ce genre de calcul. On pourrait, il est vrai, calculer à Favancc les perturbations relatives, [)ar le moyen ordinaire, pour des révolutions futures, el s'en servir ensuite comme de quantités données pour l'interpolation. Mais le temps nous ayant uianqué pour entreprendre im semblable travail, nous nous bornons à indiquer aujourd'hui le principe de ce procédé, quitte à reprendre plus tard ce sujet avec plus d'étendue. Quoique ne pouvant s'appliquer qu'à un nombre de cas restreint, et n'étant praticable qu'au bout de calculs préliminaires par la voie ordinaire et lente des quadratures mécani- (jues, nous croyons cette méthode générale et susceptible de résoudre d'une manière satisfaisante le problème des peiturbations absolues des Comètes.

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