C COS. X
dr zr: dx.f s:n . x , rdv =r dx[/ 1 — k*. Nous pouvons Jone r. mplacer l'équaiou (cj par collc-ci :
V./V-I- -^ = — f • e slu. a-.(/x -f -dx |/1— e' et SI nous l'intégrons, ce qui donne
— — 2e / ^dj:s\n.x-{-2[/l—c' j ndx ,
il faudra remplacer V* par sa valeur (■ 1 )(1 +À), d — P^"" -— -— .
On lire de là , par ces subslihilions , . i
el si l'on remplace dans la valeur de ;^ , ). par la valeur priicedenle , on trouve
yzz=.2\/\ — c- \ -rzdx — 2e I »sln. X-f/x ,
expression cbercliée de l'alléralion du demi-grand axe.
^VOTF II.
•■'■' Origine et intégration de l'équation différentielle du mouvement ellipligiir p. •2'3) : • •
'dr - — ; — ; :; ,
Si on mulliplie la première des e'qualions (1) du mouvement elliptique (p. 22) par Idx , la seconde par 2^/)-, la troisième par Idz , qu'on intègre cl qu'on additionne, on obtient linlègraio première des forces vives
dl- ^ ' ' \ r a
où a est une constante arbitraire.
Multipliant ensuite les mêmes équations par J", y, z et ajoutant à leur somme 1 équation précédente , on a , à cause de / - = x'' -f-^ ' -\- =' .
équation , qui étant multipliée par d.r' et intégrée , donne
h étaol une nouvelle constante arbitraire. Celle dernière équation peut s'écrire : ,
dt\/2{l-^m) =
rdr
t'esl la relation qu'il s'ajjit d'inlégrer.
En verlu de sa première forme (si je pose \/'l (1 +'") ^^ '*)' j'aurai
de 1/ a
on devra supposer que le signe du radical soll celui de —j- , c esl-à-dire positif quand r croil avec
le temps t , ou que l'astre se meut du pe'rihélic à l'apliclie , cl négatif dans !a seconde partie de sa révolution. De la sorte, l'intégrale
■dr
kt
/• rdr
r Il
qu'il s'agil d'estimer, aura toujours tous ses éléments positifs; la valeur de / croUia et décroîtra allernalivenient , en passant de l'une à l'autre des valeurs extrêmes
qui annulent le radical. Ce dernier prend pour rcrr— sa valeur maximum ( .iljstiactiuti filh? du
a signe) , qui est j ' - — h
Cela posé, effectuons lintégraliou. En posant ;■ z=: x -| — 7^ , notre intégrale devient
|/' i-''-^7 ' \^ i-'-ir y T-''- .
, il x^ a\/a ( Ix )
a if —, /( 1 ; — arc. < sm. = — ^^ ) -|- constante ,
r rdr ^ r^ , a^/a ) . \ 2 ,
.,. I TT -— A7=— /z«/ r h -\ ^arc,jsin. = — (-}-Qom{.
Le premier Icrme ainsi inlc'gre' est exact, même en lonanl compte des changements de signe du radical. Quant au second, en suivant une autre marche, on arriverait a des intégrales de forme dilTcronte en apparence, quoique identiques au fond , et nous voyons en elfet que ce re'sultal ne concorde pas avec celui de Lagrange (p. 29). Cela tient à ce que l'expression are. sin. est ambiguë de
sa nature. Généralement, l'intégrale indéGnie I - , qui dans les élémenls de calcul intégrai
esl trouvée égale à arc. sin. jr-fconsl., peut être cgalcmenl représentée par les huit formes, on apparence différentes : - ; ; , . ^,
, . +arc.sin.x-l-C ; +arc. cos. x-)-C ; +are. sin. ^/l — x' -|-C .
et +arc.cos. |/'l — x' -\-C.
La première de ces formes, savoir arc. sin. x-|- C ou C-f ;, en posant arc. sin. x =; i , est déjà
connue.
Faisant C-\--k — C', ir étant la demi-circonférence, elle devient C— ir-j-; ou C— (w— :"). Or commesin.(7r — ')=:sin.c=:a:, « — ^est une des valeurs de arc. sin. x , donc
C' — (ir — -)=^ C — ^''c- =>'"■ •^■• C'est la seconde des huit formes ci-dessus. Les deux suivantes se trouveront de même, en remarquant que si : = arc. sin. .r , x = sm.:^=:
COS. f — —z^=: COS. (z — -^ j ; de sorte que -^ —s et s — y seront tous deux compris dans
l'expression multiforme arc.cos.j:, cl qu'on pourra remplacer à volonté ;: pur — + arc. cos. .r ,
ce qui ramène l'expression normale arc. sin. x et altère seulement la constante C. ^^^ ^
l-'.nfin pour les quatre dernières formes il suffit de remarquer, que si
sin. I COS. ) ,,., , ;., "
tos. ) sin. j
cl par conséquent : i^
sin. 1 COS. 1 j
arc. > j: = arc. . i y^ — ^' ■
COS. J sm. )
Dans tous les cas, chacune des expressions arc. sin. , arc.cos. alTectéc d'un signe quelconque, ne sera pas propre à représenter l'inlégralc ; mais pour cela, on s'assure en dilTéientiaut, que
f/.sin.s clx ■ A \
arc. sin.a: = ; par exemple, doil être choisi de manière que dz =z -- — — — ^^^ . *"'^ '^tl''' '
dx
, cl pour cela que cos.s cl [/X—x- soient égaux el de même signe. Si l'on prcn.i.t y'I—x' «me autre valeur de arc. sin. x, ir — s par exemple, alors cos. z étanl de signe contraire , on aurait
</farc. sin. x) =: clc,
Y.n L-IioisissaiU la fuimc arc. slii. J/ 1 — x' , et prenant
y a- — 4 n!i 011 a dan^ le cas ailuel
onsl.
C'est l'inloyrale clioisle par Larjrange. Mais ici , comme précédemment , rexpicsslon arc. sm. ne
peut représenter un quelconque des arcs dont le sinus est — — , et cela se voit aisé-
mett en différentianl. En effet posons
1/ nr arc. sin. ^ , ou
En différentianl, et remarquant que, dans la formule de Lagrange, \/a — 4/i doit être supposé toujours positif, tandis que J/ r — h suit, quant à son signe, les mêmes phases que
dr
— J— , on trouve dt
1 ]dr
= cos. uda ;
dr et pour qu'on ait bien réellement du =: z==^:;=:^ i comme cela doit être, il faut qu on aii
dr
cos. U Z=. ^-^
ya — u
Moyennant celte restriction, l'intégrale se vérifie el la fonction arc.sin. se trouve suffisamment
piéclsdo: l'iinglc u InlroJu'il , coïiiclJan! exactcmenl avec l'anj-li! appelé ordinairemcnl ranomalic exccnliique. Pailageons , tn ciïel , la lêvolul'iun de l'aslrc, ou slnipUinenl les varialions de r, cii (jiiatie périodes , ayant pour limites les valeurs suivantes de /' :
Les valeurs
où j/a — 4/iCsl toujours positif, tandis que j/ r h est po^^itlf pendant les deux premières périodes et négatif dans les deux dernières, ces vaicuis, dis-je , présentent les pliases de slj'.ne correspondanU's :
,.,7. j,;v sin.u^:; + + — " ' ]' V
cos.(/:zr -|- — — -|- .
On volt donc que u devra dans la première période être compris entre 2/!- et 'Inr: -{- -^ , 'i étant
un entier quelconque; par conséquent 11 se réduira à 2"7r pourr=r-^^; — l/rt*— 4rt/i. On voit
de même que u croîtra continuellement dans les quatre périodes, d'un angle droit dans chacune d'elles, de façon à devenir égal à 2"ir -f 2x après une révolution complète; et on en conclut sa parfaite analogie avec l'anomalie excentrique, ce qui permettra de mettre léquation (.-/) intégrée
fC) 2t y' '-^ "^ '"^ + t — arc, sin.
où ; est une constante arbitraire , sous la forme
l.t-\-i = u — csin.v, en posant j
Si au lieu de l'intégrale (C) de Lagrange , on avait pris le même arc. sin. en signe négatif, on aurait trouvé que cet arc devait être de la forme (2« + l)7r au périhélie, et décroître constamment. Etant négatif, il aurait donné les mêmes valeurs que de l'autre manière , mais sous une forme moins commode. Il en eût été de même de la foinic (fi). , . . ,
■ „), .,(1.,-. .1.. IW'^M s.- lOp
ol. -f,.V.«- ■
NOTE m.
Hecherche de l'équation de eondilion à laquelle doivent satisfaire les sept constantes arbitraires
des équations (5! , ((i) et (7) {page 29).
Les équalions (5) el (6) donnent, en mettant p à la place de 2/i — r ,
— flUfL /" ~ ''P
à'oix
Posant
iMi obtient, en résolvant l'équatloD prc'cédenle ,
l/ yxi'ë-cfï-
p(cg+bf) i Y\t'ë-cfy-p\i^''+c%f+r+i.cf--bgy\+F\cs+fbr
puis , en re'dulsanl et se servant de la valeur de y ,
Il en résulte aussi , en vertu des valeurs de x cl de^' en z ,
/y - Me/"— g'^) —PS
Ces trois relations donnent x,j' et z en fonctions de r, qui est contenu dans les variables p et q Servons-nous de ces nouvelles valeurs pour les remplacer dans l'équation
dx^ + dy + d-J = -^ dr" ,
qui se déduit de celle des forces vives d'après la note II. Dillérentiant les valeurs de Jr, y, i el ajoutant les carrés, les doubles produits s'anouUenl entre eux et oo obtient :
I! faudra donc que » ^
C'csl de celle cqualion que .loll rcsuller la relalion cherchée. Remplaçons dans le p.cu.lcr membre /) el «7 par leurs \alcurs en r, et posons pour ahn'ger
notre expression devient :
Nous avons, à cause de ^ = 2/; — r,
dp= — ilr et dp^=zdi-.
et en vertu de la valeur âe ç zz: [///" — )/r ,
• ' krtlr — '/prfp kr-\-2h}. — lr
dq zzi •-~ "'"i
ykr^^lp'- ykr- — lp'-
el
"^ — Av- — 4/r/-|-4)V — )./° I.: .... : '
Substiluant celle valeur dans le premier membre de noire équation , il devient
),/,.* ir- 4- 4);-/r 4- )'/■- + 4XÀ/<.r — 2Ur- — 4XVir ^ .
/ ' A- (Af - — 4/i''>, 4- 4) Ar — )'■)
ou réduisant au même dénominateur et effaçant les termes qui se détruisent ,
XV^— A),°-4-4A)./;r 7[/ r' — 4/r X 4- 4>./jr — ) r- ) C'est cette eipression que nous éjjalerons au second membre de l'équation. Le facteur.//' di^paraîl. et si nous .ijoulons et retranchons au premier membre 4XX/.' divisé par le dénominateur, et ».i »e,cond, h divisé aussi par son dénominateur, nous obtenons
/[',■' — 4//J-X + 4XX/ir — i\r- "~ ar — r' — ah
Ch»ss»nl les dénominateurs , il ne reste que des termes en r* :
4A7./i/*-zz;rt(A>— /')/', lI'où nous tirons
'A riilablissaul les ancienne!, nolalions :
einialioii obeicliee.
XOTE IV.
Inriniilrs qui <luiiiicnl In rariiilion de l'cpoqur dr l'anomalie rnoyenru: et du moi/en maureuirnl. dans l'orbite troublée de la Comète 'page 35'.
On a obtenu ilans le mouvement elliptique (p. 29 cl note II ) l'équation
/=— 2/1/ -^ î + arc. 1 sin.=: — :^:;r=^: '
V '"' \ l'a-ih
iLds la(]iiellc /, constanlo arljilrairc (p. 32), représente l'époque de l'anomalie moyenne, .'^l (p. 35 ) nous ])Osons
— V , — — n cl r=i= =: Y ,
" « l/\—An '■lie i.le\ienl
> = --2ci/ ^il±^ + arc. sin.V-V^ 1-1:47. Itilferontianl celle \alcur par rapport à la caraclerisliquc -j , elle donne
Or on a
hzl2L. )
ce qui dorme après réduction : • , ■
ÎV =
. , , 2(1 -f/«) , -"'^''-r i 4„ o\ = 3; 1/ -^-4-^ (îa 4- = ;
air — rSn aSh — hia
où 1 011 remclUa pour v pA n , — el — , et pour ov el o" , ; el
' rt rt ' a-
Le radical du Jënominalcur de celle expression devenant nul aux deux apsides, comme oi ne peut èlre infini , il faut que le numérateur soit nul aussi. La formule sera donc en défaut pour ces deux points, et il faudra la transformer de manière qu'il n'y ait aucune fonction des variables au dénominateur. Pour cela, je remarque que
d ou
=: |/'l — \* iV — Yo\ ]/l — V ,
avant en outre (note III) :
7=2l/Hl + 6' + .')l/ r-^-A et pz::.2h-r, on oljiicnt
0/ rrr =z ort •
|/«5 rt|/I— 47Î al/l—^n\/n{\-\-0''-\-c^)
m. parte que la dilTérentiation de ii\,/l — 4/; fait disparaître certains ternies ;
