J. SN J. GN
JS' JG''
(jui exprime la force lolale avec laquelle la planète lire la Goraèle vers le Soleil.
Dès cette première section , Glairaut fait d'importantes observations sur la manière de calculer les perturbations dans les dilTérenles parties de l'orbite. Lorsque la Comète sera dans les régions fort éloignées du Soleil , et par conséquent de la planète perturbatrice, on pourra sans erreur considérable négliger l'action directe qu'elle reçoit de la planète et n'avoir égard qu'à la force sur le Soleil. Alors les forces perturbatrices sont :
J.jN J.SN
JS"' JS=
Si on veut pousser l'exactitude jusqu'à ne pas négliger le dérangement que peut produire l'action directe de la planète sur la Gomète, on pourrait, après avoir calculé la perturbation qui vient de l'action sur le Soleil, traiter celle de l'action directe sur la Gomète, en prenant alors pour les forces perturbatrices :
JG^
Cette décomposition des forces troublantes facilite et abrège beaucoup les calculs et est permise, en tant qu'on peut sans inconvénient négliger leurs secondes puissances. Par la même raison , on pourra calculer les droites JG, es, etc., en se servant comme trajectoire, de l'ellipse dont les éléments sont donnés par l'observation.
En raison de la forme ordinairement très-allongée de celte ellipse, ses arcs variant très-difiéremment pour des accroissements égaux d'anomalie vraie, Glairaut adopte pour argument général de toutes les quantités l'anomalie excentrique pour laquelle cette irrégularité est moins sensible , et il indique les transformations que subissent, en vertu de ce changement, les équations de sa solution générale du problème des trois corps. Dans sa théorie de la Lune , il donne pour expressions des coordonnées troublées du mobile :
1 + e cos V + sin. t' / fi cos. v dv — cos, v j i^ sin. i^ dv
et
/» r-av
où /' est le rayon vecteur, v l'anomalie vraie, z l'anomalie moyenne, e l'excentricité, et où le grand axe est supposé égal à l'unité. La force totale
qui pousse le mobile vers le centre est -r + V j M représentant la somme
des masses du Soleil et de la planète; celle qui agit perpendiculairement au rayon vecteur est -n-. On a posé de plus :
<s> r' -Kvd)
/-rrr^dv . ,^ M M du
Ces équations sont démontrées dans les Mémoires de V ylcadémie de Paris, année 1748. (Voyez aussi Dissertation Jstrojiomique , par A. (iautier, page 103.)
Dans le cas où on néglige les termes de l'ordre vr et •n-, ce qui est permis quand on ne considère que peu de révolutions consécutives, la valeur de U sera exprimée avec une exactitude suffisante par
— I — e- .\ppelanl r le rayon vecteur de l'ellipse non altérée qui vaut -r— -•
et désignant par Ç la correction à faire à la valeur de celte expression ,
^ ?• cos.
V r , . rs\n. V r ,
— I o rfusin. V z ~ /fi «y COS.
1 — e' v\ le rayon vrai sera égal à
Pour le moyen mouvement, sa valeur dans la même supposition ^erail exprimée par
r- dv (2 î — o)
__ __ /• r av /•
/• = 1 — c COS. X j ;; = I , -f = J /• dx = x — c sin. x.
V désignant le moyen mouvement dans rellipse non troublée
Si au lieu de v nous introduisons comme variable l'anomalie excentrique X , on sait que dans l'ellipse primitive :
7'- dv
Dans l'ellipse troublée, nous aurons:
y = /• (1 + t) ; -,=iz-\-l i ^r dx — iordx,
et supposant que
/'Kr-dx 'j -rresin. .:r 2p il .
J^ := I o3.dx. sin. X ; Q=lwdx(cos.x — e);
on aura :
Ç = P (cos. a.- — c) — Q sin. .r.
Ces formules suffisent , les éléments de l'orbite elliptique étant donnes . pour obtenir la perturbation pour toute la révolution. Voici le procédé usité par Glairaut. Il fait d'abord une table des valeurs de log. ?'.,
C sin ^
log. (cos. ^ — e), log. — " pour chaque degré d'anomalie excen-
l/ 1 — etrique , puis il calcule pour les mêmes points les valeurs de w et de ir. Au
J« 1'- -rr dx . , . .
— -—=^ , ce qui s exécute 1/1— e"
par quadratures. Il considère cette courbe comme un assemblage de lignes
droites dont les ordonnées sont — ==^ : l'intervalle choisi entre les
ordonnées étant une droite égale à l'arc de 1 ° pour le rayon 1 , chaque
Trr-. r
aire vaudra ■. Ensuite il retranche de chaque aire rectiligne '/.s
de la somme des secondes différences, ajoute '/,, de la somme des troisièmes, retranche les ''/tso de la somme des quatrièmes, et ainsi de suite. Généralement il suffira d'avoir égard aux secondes différences.
2p Ayant ainsi obtenu les quantités p, il forme ~ , puis au moyen des
csin. X , , , ., n , ., , -n-esin. x
]oa. — =^ et des los-r^, il forme la suite des — . Joignant
iresin..^ 2p , •■ ,
alors les trois parties w -\ 7 -, on a la suite des to, avec
laquelle il est aisé, par la méthode des quadratures qu'on vient d'employer pour p , de former
V= M.d.vsinx et Q —. i u,(cos. x — e) d.r,
d'où l'on tirera
ç -= P (cos. X — e) ^ Qsin..r, et partant ,
z = z-\-2 '^7'dx— jpr'dx;
c'est-à-dire le moyen mouvement de la Comète pour un arc quelcomiue répondant à l'anomalie vraie ?» , ou à l'anomalie excentrique x.
On voit bien que la méthode précédente est complète et suffisante pour le calcul des perturbations pendant toute la révolution : il suffit pour cela de faire varier les abscisses des courbes qu'il faut quarrer, depuis ^ = 0°, jusqu'à .X'— -300°. Mais de grandes simplifications se présentent dans le cours du calcul, surtout pour celui qui a rapport à la partie supérieure de l'orbite.
On a vu, page G, ce que deviennent les forces perturbatrices, si on néglige l'action immédiate de la planète sur la Comète, et qu'on ne considère (jue son action sur le Soleil. Ces forces peuvent aussi s'écrire, si on appelle t la commulation raccourcie des deux astres, c'est-à-dire (figure U l'angïeySC:
J.SJ.cos.t. J.Sj.sinl
JS^' JS"
Ces valeurs, quoique beaucoup plus simples que celles qui expriment les forces perlurbalrices réelles, demanderaient encore la résolution d'équations très-compliquées, si on se servait de la méthode générale. Clairaut indique un expédient au moyen duquel on évite de résoudre toutes ces équations. Il consiste à supposer la Comète se mouvant dans l'espace absolu, en décrivant une trajectoire qui, en raison de l'attraction de la planète sur le Soleil, n'a plus pour foyer un point fixe, mais bien successivement les points S d'une petite ellipse SKL (figure 2), que parcourt le Soleil autour du centre de gravité de la somme de sa masse et de celle de la planète troublante. Or, dans la partie supérieure de l'orbite, la trajectoire considérée comme décrite dans l'espace absolu, pourra être prise pour une ellipse dont les dimensions sont fort aisées à trouver, et l'orbite dont nous avons besoin dans l'espace relatif devra être telle, qu'elle paraisse cette même ellipse pour un spectateur, qui serait supposé se mouvoir dans la petite orbite décrite par le centre de gravité du Soleil et de la planète. — Clairaut fait comprendre sa méthode par l'exposé d'une construction géométrique , qu'il développe ensuite analytiquement pour en conclure la véritable trajectoire de la Comète dans la partie supérieure de son orbite. Nous verrons plos tard que les géomètres modernes ont aussi employé le même procédé et nous donnerons leurs formules, qui sont plus simples (jue celles de Clairaut et plus applicables. Remarquons encore qu'il donne en même temps les procédés nécessaires pour passer d'un mode de calcul a un autre, c'est-à-dire pour déterminer l'ellipse que parcourrait la Comète a partir d'un certain point, d'où l'on commencerait à négliger les forces perturbatrices ou à en tenir compte d'une autre manière.
Le calcul des perturbations produites par l'action directe de la planète sur la Comète, et résultant des forces
J.CN . J.jN , -,
'j = —= — et -rr^ —^ — {page 6),
JC" JC'
pourrait s'exécuter par la méthode générale. Clairaut l'abrège en se ser- \anl, au lieu de l'anomalie excentrique, du supplément de l'anomalie vraie., (jui, en raison de l'allongement de l'orbite, est un angle toujours peu considérable au delà des deux extrémités du petit axe, et dont les lignes trigonomélriques pourront se remplacer par les séries connues où Ton necon-
servera que les troisièmes puissances de l'angle. On aura loujours besoin de recourir aux quadratures , mais cette opération demandera moins de scrupule.
Pour le dernier quart de Forbite, l'auteur indique aussi un changement d'argument avantageux pour le calcul , consistant à compter l'anomalie excentrique dans une direction opposée à celle du mouvement de la Comète. En effet dans cette portion de la trajectoire, les plus grandes valeurs de p se trouvant alors vers le périhélie , où les rayons vecteurs sont extrê-
2p mement petits , le terme —^ qui entre dans la valeur de eu devient trèsconsidérable et produit de grands sauts dans la progression des w, à moins qu'en déterminant les p , on n'ait mis beaucoup plus de rigueur dans les calculs des derniers degrés que dans ceux des premiers.
L'exposé de ces diverses méthodes et d'une dernière, applicable au cas où la planète est supposée décrire un cercle autour du Soleil , et où on s'occupe seulement des perturbations résultant de son action sur le Soleil, compose la première partie de l'ouvrage de Clairaut. La seconde partie renferme leur application aux révolutions de la Comète de Halley, en remontant jusqu'à celle de 1531 à 1607, avec tous les détails d'un calcul qui s'exécutait pour la première fois et qui exigea de la part de ses auteurs un courage et une patience extraordinaires. 11 s'occupe exclusivement dans ces deux premières parties de l'altération du temps périodique de la Comète, afin de pouvoir annoncer l'époque de son prochain retour en 1759 ; elles furent composées avant cet événement: la troisième seule, sur la- (jucUe il nous reste à dire quelques mots, le fut après l'apparition de la (Comète ; elle traite des variations des autres éléments des orbites des Comètes, c'est-à-dire des variations de la position du périhélie, de rinclinaison de l'orbite et de ses nœuds-
Lorsque la Comète est revenue dans le même rayon vecteur où elle était au périhéUe de l'apparition précédente , elle ne coupe plus ce rayon ni au même point, ni sous le même angle, ni avec la môme vitesse. C'est du changement de ces trois quantités que doit résulter ce qui constitue la position du nouveau périhélie. La variation du rayon vecteur est la quantité ri, répondant à l'anomalie excentrique de 360°. — La tangente de l'angle
dr
compris entre le rayon et la perpendiculaire à Torbite est ^ , ou chassant les différentielles en raison de la valeur de /* (page 7) :
dr esin .r 7'(Psin. a; + Q cos a?)
rdv ~ \/ure^ \/J^^e-
Pour trouver l'angle en question, on commencera par chercher celui qui aurait lieu dans l'ellipse primitive à la même anomalie excentrique, on fera à la
(P sin. X -{- Q COS. jc) r
tangente de cet angle la correction — ^ ,etonpren-
dra l'angle répondant à cette nouvelle tangente. — Mais la correction
d'une tangente, lorsqu'elle est très-petite, peut devenir celle de l'angle
mcme^ en la divisant par le carré du cosinus de cet angle. Donc on pourra
exprimer directement la correction de l'angle cherché par la formule :
(Psin. X -\- Qcos. .-r). \/ \ — e- 1 +ecos. X
Au changement de la vitesse , nous substituerons celui du grand axe de Tellipse que la Comète est prête à décrire avec la nouvelle vitesse. Ces deux variations sont liées par la relation :
X=-p^+2V. rfV,
à cause de féquation du mouvement elliptique :
en représentant par ^la correction à faire au demi-grand axe «de l'ellipse primitive , et par V la vitesse du mobile. Cette altération se met sous la forme , (')
-^ \ -^ dx— -^rz- \ ? dx sin. .r.
(') Voir la NOTE {.
qui peut s'écrire (') :
Cela posé , au moyen d'un lemme très-simple ('-), qui donne la variation de la base et des angles à la base d'un triangle dont on altère les côtés et l'angle compris, on obtiendra facilement la détermination du périhélie après un temps quelconque.
PC représentant l'orbite réelle (figure 3) , P son périhélie ainsi que celui de l'ellipse primitive, P'G l'ellipse qui aurait lieu si les forces perturbalri-
(') En effet, si nous prenons la valeur de P=:e/ w<^xsin.j-.
A cause de la forme de u (page 8) :
wdx^\n.x , -Kcdxs'm.-x 2dx&\n.x /•
M }\y\ — e'- /-Ml/1 — e-J
inlêgrant, el à cause de drz^e dx iin. x :
/• f,f,dxs\a. X (\edxs\n.-x 2 f t: r' dx 2 Ç U-^'dx
J "'^" ^■'"- " =J M— -y M J/Î^^- '^'J Ml/f=? ^ J M J/Ï^c^ '
ou
//\dxs\n.x , 2 /' nr-dx [/\ — e- f /'
on obtient :
4 2r /• nj^dx 21/1^'^ /• ^ 2e ^'
- 2eJ ...sin.. +- ;— j-^^^^;=,:^ — ^f— J Wx - -J ,.xs,„.
■ I Ttdx— -^ j<fdxsm.x.
(') Lemme. Si l'on fait à l'angle C et aux cotés CS et CF (figure 4) les corrections dC, dXS, (/.CF, la correction qui en résultera pour l'angle S sera :
CFcos.F.tiC — sin.F.^CF-|-sln.S.<^CS
«l celle de la base : , ..
f/.SF=;CFsln.F.rfC4-cos.F.(?CF.--cos.S.<fCS. ^ .
ces cessaient en C, F le second foyer de celle ellipse: la question est réduite à trouver la différence de grandeur et de position qui est entre la première distance périhélie SP cl la seconde SP'.
Pour cela on substituera dans les formules du lemme indiqué, à la place de d G le double de la correction obtenue plus haut de l'angle compris entre le rayon vecleur et la normale, à la place de d. CS sa valeur r t, et à la place de d. CF la valeur 2/ — /■? résultant de la correction du grand axe et de celle de CS.
On aura ainsi pour fZS l'expression :
2,osin. X \ y \ — e-
qui exprime le mouvement du périhélie , et pour d. SF :
qui donne la variation de la distance périhélie. Ces deux expressions ne renferment que des quantités qui ont déjà été calculées dans la recherche de la perturbation du temps périodique de la Comète.
Les variations que rattraclion des planètes cause aux nœuds et aux inclinaisons des orbites des Comètes , se calculeront d'abord relativement au plan de l'orbite de chaque planète troublante ; on rapporte ensuite ces mouvements à l'écliptique. L'auteur donne pour les déterminer, d'abord une construction graphique, qu'il réduit ensuite en formule. Nous ne nous, arrêterons pas à en rendre compte ; cela ne pourrait se faire sans entrer dans des détails assez étendus , qui seraient en dehors des limites de notre travail et qui auraient peu d'utilité, vu qu'on a aujourd'hui pour exprimer ces variations des méthodes beaucoup plus simples.
Clairaut donne dans sa troisième partie les calculs des variations de ces différents éléments pour la Comète de Ilalley, mais le plus important de ces résultats était celui qui concernait le retour de l'astre attendu avec tant d'impatience par tous les observateurs et relaté dans la deuxième partie. Après avoir revu avec tout le soin possible cette partie capitale de son travail, notre éminent géomètre annonça le nouveau passage au périhélie pour le milieu du mois d'avril 1759. Le 14 novembre 1758 , il flt part de ce résultat à l'Académie des sciences de Paris , non sans une certaine appréhension, et en avertissant que, vu les quantités négligées nécessaire-
ment par les mélhodes d'approximation, vu les causes inconnues qui peuvent agir sur la Comète (') , il ne pouvait en garantir l'exactitude qu'à un mois près. Cette restriction accompagnant la publication d'un travail aussi considérable, devait faire pardonner à son auteur toute divergence d'avec la réalité en dedans des limites indiquées. En effet, tout calculateur qui prévoit et annonce la quantité dont il peut s'être trompé, ne doit point être chargé de cette erreur, quelque considérable qu'elle puisse être. Cependant la Comète ayant été aperçue dès la fin de 1758, et le calcul des éléments de sa nouvelle orbite lui ayant assigné pour nouvelle époque de son passage au périhélie le 12 mars 1759, 33 jours plus tôt que Tinstant prédit par Clairaut , cette différence fut l'objet d'une discussion très-animée parmi les mathématiciens. Trop de confiance dans ses résultats d'une part , chez des astronomes qui s'en -rapportèrent à eux plus servilement que leur auteur lui-même ne l'avait demandé, et calculèrent, en les prenant pour base, des éphémérides qui se trouvèrent de 40 à 50 degrés en erreur; l'animosité de l'autre, firent dégénérer cette question en une querelle véritable. D'Alembert la résume dans le tome II de ses Opuscules (page 237)^ et quoique certes, il ne puisse être suspecté de partialité envers le géomètre qui fut son rival pendant un certain temps , il conclut « que Terreur, quelque considérable qu'elle soit, doit être imputée uniquement à la nature du problème ; puisque d'une part il n'est peut-être pas possible (sans s'engager dans des calculs impraticables) de déterminer l'allération plus exactement, et puisque d'un autre côté on doit se proposer dans ces sortes de calculs , non de prédire exactement le retour d'une Comète de manière qu'on puisse avoir son lieu dans le ciel à 30, 40 ou 50 degrés près, mais seulement de prouver que , par la théorie de la gravitation , l'action de Jupiter et de Saturne doit altérer considérablement le cours de ces astres ; et c'est ce que M. Clairaut a suffisamment démontré par son travail. »
Ces lignes terminent le treizième mémoire contenu dans les Opuscules mathématiques , sous le litre de Réflexioîis sur la Comète de JGS'J et i759 , (pages 96 à 217). Le douzième mémoire est entièrement consacre à la Théorie des Comètes , et c'est de lui que nous allons nous occuper.
(') l'armi ces causes inconnues nous pouvons ronfjcr l'inlluencc Uranus, donl personne ne souii- <;onnail alors l'cxislcnce , et qui , si l'on en avait tenu compte , aurait fort diminué 1 erreur île I admirable travail de Clairaut.
D'Alemberl dans cet écrit, commence par montrer que la théorie des j)erturl)ations des Comètes est contenue dans la solution qu'il avait donnée dos 1 747 du problème des trois corps ; tout ceci était à l'adresse de Clairaut. Ce dernier avait prétendu, que sept ans avant que personne en eût donné (le pareille, il avait publié une formule par laquelle, lorsqu'on connaît à peu près les positions respectives de la Comète et de la planète perturbatrice, pendant une suite de points pris à de petites dislances les uns des autres, on est en état , par la quadrature de quelques courbes mécaniques , de reclifler la position de ces mêmes points et de mesurer toute la perturbation. D'AIembert prouve que ses formules, contenues dans les mémoires de l'Académie pour 1 745, s'adaptent également bien à un semblable calcul ; et il déduit en effet de ces formules des expressions du rayon et du moyen mouvement dans l'ellipse troublée , qui sont fonctions des mêmes forces troublantes y et tt que celles de Clairaut, qui renferment pour argument général l'anomalie moyenne , et qui par les quadratures pourront également fournir le moyen de calculer les perturbations des Comètes. Mais il convient lui-même que ces opérations seraient si multipliées et si compliquées, qu'il est nécessaire de chercher des méthodes pour abréger le calcul. Voici celle qu'indique d'Alcmbert comme la plus propre à rendre le calcul possible dans certaines occasions, plus exact et plus court dans tous les cas.
Si l'on considère le Soleil S et une planète perturbatrice J, décrivant autour de S une ellipse dans un plan différent si l'on veut, de celui de l'orbite de la Comète : il s'ensuit que le centre commun de gravité G des corps S et J, décrira pareillement une ellipse autour de S, regardé comme immobile, et cela dans le même temps que la planète J emploie à parcourir sa trajectoire autour du même point. Or le point G est attiré vers S par une force
le corps J , c'est-à-dire — =-— , multipliée par on peut mettre cette force sous la
égale
celle
qui attire
(jS JS '
et
à cause de
GS
JS
forme
S-hJ
GS-^ (S+jy^ ^S-i-J) GS-^ (S-fJ-^) Donc la force attractive du point G est en raison inverse du carré de lu
distance GS , et par conséquent il se meut dans son ellipse autour de S comme s'il la décrivait, non d'un mouvement forcé, mais d'un mouvement libre.
Tandis que la Comète C (figure 5) se meut autour du Soleil dans son orbite telle qu'elle est, on peut supposer ou imaginer un point y, qui étant poussé vers la Comète par une force réciproquement proportionnelle au carré de la distance, décrive autour de cette Comète, comme une espèce de satellite, une ellipse égale et semblable à l'ellipse décrite par le point G autour de S. La position du satellite imaginaire 7 étant une fois déterminée pour un instant quelconque , il sera toujours facile d'en déduire celle de la Comète, qui est le centre de son mouvement. Il faut seulement bien remarquer que dans cette supposition, la force qui fera tendre continuellement
le point V vers C, et qui sera égale à -=r-^ — rî -1- SV-" ' ^^ viendra point de
l'attraction de la masse C; ce sera une force absolument étrangère à la gravitation, mais dont il est permis de supposer l'existence dans une hypothèse purement mathématique, comme l'est celle que nous faisons ici. Il faut remarquer en outre que le point 7 , en décrivant autour du point C l'ellipse dont il s'agit, participe nécessairement à tous les mouvements du point C dans l'espace absolu : ainsi ce point 7 est animé par des forces égales et parallèles à celles qui agissent sur la Comète C.
Les forces qui animent le point 7, considéré comme se mouvant dans l'espace absolu, sont :
J J' ^^ JS.J
r La force vers C = -t^ • ., ■ ono , ou , comme GS = -, , ^ , une
GS- (J+S)- J + î*
force suivant 7 C = ^rr— • JS-
2° Une force suivant 7L, égale et dans la même direction que la force J
— , qui affit sur la Comète C suivant CL parallèle à JS, et en sens cou- JS- "
traire de l'action de la planète sur le Soleil.
V Une force suivant -/Y, parallèle à CS et égale à -■ — ^^ ou -r=-;- •
se- 7r"
i" Une force suivant yi, parallèle à CJ et égale à -^r^^ ou ^=^ •
JG"- y V
Les deux premières de ces forces se détruisent. La troisième se change en deux autres : l'une suivant 78= =^ — - , et l'autre suivant
yV^
(S + G)Sr (S4-G).Cv , ... . , . , .
7 L = ^ — =r =:^ -^^ — :=r • La quatrième agissant suivant yi , se
yT" y.r=^- •
transforme aussi eu deux autres : l'une suivant y G = ■^=- ■ — r = -^ — j
yr y^ yi^
J.Sv et l'autre suivant yS=z -=— . — G'est sous l'influence de ces quatre nou-
y^ velles composantes que le point y est supposé se mouvoir dans l'espace absolu autour de S qui est supposé fixe. Lorsque la Gomète se trouve dans les régions supérieures de son orbite, la dislance Sy devient fort grande par rapport îxSi, et à plus forte raison par rapport à SG ou Cy ; les forces (|ui précèdent peuvent se mettre sous des formes différentes, et en les combinant on trouve qu'un grand nombre d'entre elles se détruisent. Le jjomt
S + C+J y reste attire vers S jJar une force unique — =-; — , sans aucune ac-
Sy-
tio?i perturbatrice sensible. Dans toute la partie supérieure de l'orbite,
on n'aura donc qu'à chercher l'ellipse décrite autour de S par le satellite y,
S-f- C I J en vertu de la force attractive— — =ir; . Par chacun des points de cette
J JS
ellipse, on mènera une ligne yC parallèle à JS et égale à " , et on
aura ainsi le lieu C de la Gomète.
Ce procédé simplifie considérablement le calcul des perturbations d'une Comète , étant applicable à la portion de son orbite où ses positions sont connues le moins exactement, et où il est par conséquent le plus difficile de les comparer à celles de la planète troublante. Sa vitesse étant aussi la moins considérable dans ces régions, le calcul entrepris par ce moyen embrasse un espace de temps beaucoup plus grand que celui où l'astre se rapprochant du Soleil, acquiert un mouvement beaucoup plus rapide. Dans la partie in-
férieure de l'orbite seule, on devra recourir aux quadratures. Mais d'Alembert simplifie encore leur application, pour les Comètes qui ont une distance périhélie moindre que le rayon vecteur moyen de la planète perturbatrice, projeté sur le plan de l'orbite de la Comète. — Nous ne nous arrêterons pas à ces simplifications, qui ne sont plus employées à l'heure qu'il est.
D'Alembert envoya son mémoire à l'Académie de St.-Pétersbourg, qui avait proposé la théorie du mouvement troublé des Comètes et son application à celle de 1759, pour sujet du prix qu'elle devait distribuer en 1761. Son travail ne renfermait point la dernière partie du programme exigé; Clairaut composa pour ce concours un abrégé de sa Théorie etc., auquel il joignit ses principaux résultats numériques, et il fut couronné en 1762. Depuis cette date jusqu'en l'année 1778, où l'Académie des Sciences de Paris proposa de nouveau pour sujet de prix le calcul du dérangement d'une Comète passant près d'une planète , nous n'avons à signaler aucun mémoire sur ce sujet. A cette époque seulement, Fuss de l'Académie de St.-Pétersbourg, élève du grand Euler, envoya une pièce qui fut couronnée, mais qui ne satisfit pas entièrement ses juges, puisque la même question fut proposée encore pour l'année 1780.
Fuss remarquant qu'il est impossible de se servir dans le cas des Comètes, de la méthode qu'on suit ordinairement pour le calcul de l'action mutuelle des planètes , vu l'impossibilité de transformer la formule irrationnelle qui exprime la distance des deux astres en une série convergente dont il suffirait de prendre quelques termes, partage tout le temps où la Comète reste assujettie à l'action d'une planète perturbatrice en plusieurs intervalles, pour chacun desquels il calcule l'effet que soit l'action du Soleil soit celle de la planète y produisent. La combinaison de ces deux effets fera connaître l'état réel de la Comète à la fin de chaque intervalle, et donnera ainsi l'état initial pour l'intervalle de temps suivant. Tout reviendra donc à résoudre la question : l'état de la Comète étant donné pour le commencement d'un intervalle, déterminer son état pour la fin de ce même intervalle? et on n'aura qu'à assembler tous les changements qu'aura produits tant l'action du Soleil que celle de la planète. De celte manière on trouvera l'état delà Comète pour l'intervalle suivant, d'où l'on n'aura qu'à faire les mêmes opérations, jusqu'à ce qu'on soit parvenu au dernier, où l'action de la planète devient tout à fait insensible. Depuis ce temps, on déterminera
Torbile de la Comèie qui résulte de l'aclion seule du Soleil ; et en comparant tous les éléments de cette nouvelle orbite avec ceux de l'orbite primitive, on connaîtra leurs variations.
Pour déterminer pendant chaque intervalle les changements que subit la Comète sous l'influence du Soleil et de la planète troublante, il part de sa position et de sa vitesse, à l'origine du temps où l'action perturbatrice se lait sentir , projetées sur trois axes rectangulaires se coupant au centre (lu Soleil et tels que deux d'entre eux soient dans le plan de l'orbite de la planète, a, h,c représentant les coordonnées de la Comète à ce point de départ , <x,^,y les composantes de sa vitesse ; A et B les coordonnées de la planète , U et Z les composantes de sa vitesse : pour un temps quelconque de - jours après l'époque établie, on aurait pour coordonnées de la Comète,
x = a+oit, y = b+^t, 3 = c-4-v<, et pour la planète
X = A + U<, Y = B-\-Zt; les vitesses étant supposées demeurer les mêmes, c'est-à-dire que dans cette méthode nous regardons les mouvements des corps troublé et troublant rorame rectilignes et uniformes pendant chaque intervalle de temps t. Alors dans les équations différentio-différenlielles du mouvement de la planète attirée par le Soleil , de la Comète attirée par le Soleil , et de la Comète attirée par la planète, on remplacera ces coordonnées parleurs
valeurs en fonctions de r. Ainsi dans celle-ci : —r-r = — - , où M re-
at- V'
présente la fraction dO- = 0,000.2959 tZr- ou le carré du mouvement
diurne du Soleil, et v la distance de la Comète à cet astre : on aura, k, h, l
étant des coefficients constants, fonctions de a, ot, 6, j3, c, y et faciles à
calculer :
— Makt — MalT-.
On intégrera une première fois et on aura —y- , composante de la vitesse
de la Comète dans son mouvement autour du Soleil ; puis une seconde fois, et on aura la coordonnée x en fonction de t. En mettant dans cette expression pour r la valeur établie pour le premier intervalle, et sufûsamnient
petite pour que les quatrièmes puissances multipliées par les coeflicients obtenus soient négligeables, on aura la valeur de a; pour le commencement du second intervalle, en v ajoutant l'effet de la planète sur la Comète , qui se calculera de la même manière ; et ainsi de suite. — Arrivé au temps où l'action perturbatrice de la planète cesse d'être sensible , il faudra calculer la nouvelle orbite de la Comète.
On voit que les procédés de Fuss seront très-longs et compliqués dans la pratique. Bornons donc là notre examen , pour passer au mémorable travail de Lagrange sur le même sujet, travail qui exige un examen détaillé , et qui est encore la base de tous les calculs qu'on exécute actuellement.
