CHAPITRE DEUXIÈME
xHéniolre de Iiagrange couronna en 19SO par l'Aeadéniie des
Seienees de Paris.
La méthode de la variation des éléments elliptiques , dont Lagrange a lire un si grand parti par la suite pour la solution des problèmes de dynamique, en la généralisant sous le nom de méthode de la variation des constantes arbitraires , est particulièrement applicable aux perturbations des Comètes. C'est dans la pièce remarquable que nous allons analyser qu'il a développé cette application, et cela avec une précision telle, que l'illustre auteur de la Mécanique céleste s'est entièrement basé sur son contenu pour composer le livre IX de son ouvrage. — Le mémoire de Lagrange est divisé en quatre sections , que nous passerons successivement en revue -
SECTION l'^.
Equations différentielles du mouvement d'une Comète autour du Soleil, en ayant égard aux perturbations quelle peut éprouver de la part des planites.
Si nous appelons m la masse d'une Comète (celle du Soleil étant 1), x, y, z ses coordonnées rapportées à trois axes rectangulaires se coupant au centre du Soleil , et r sa distance à cet astre, les équations de son mouvement résultant de la seule attraction du Soleil seront les suivantes :
d'œ (]-{-7n)a; ^ df r'
^ ' dt- r '
cPœ dt-
d -- = (^+^) dl
d-y dt'
dt- ' /•= ~ dt- ^ ' ' dz
Si mainlenanl nous passons au mouvement de la Comète troublé par l'action des planètes perturbatrices, et qu'en raison de la petitesse des allérations qui en résultent dans son mouvement , nous négligions les termes proportionnels aux carrés des masses , nous pourrons considérer séparément l'influence de chacune d'elles. Soient donc f* la masse d'une des planètes troublantes, Ç, n, Ç ses coordonnées rapportées au même système d'axes, p sa distance au Soleil, R sa distance à la Comète , les équations du mouvement troublé seront :
d?x f,^ , "^ r , "^-K p Ry — = (1+m) -T-r + p ^
dt- ^ ' ' dx ' "^ d^
dt' dy dn
Vu R
de "^ ' ' dz "^ dÇ
Si Sx , ^y , Sz sont les altérations des coordonnées résultant de l'action des forces troublantes, ces termes seront de l'ordre des masses. En substituant dans ces dernières équations x + Sx , y + Sy, z + Sz au lieu de X, y, z, enlevant les termes qui se détruisent en raison des relations (1) et négligeant les carrés de ces accroissements, on obtiendra pour les é(|uations des perturbations de la Comète :
d^Sx dâ
[dzdx dzdy dz
Ce sont ces équations qu'il faudra intégrer, mais avant de l'entreprendre faisons deux observations importantes.
1° Les termes des équations (2) qui ont fi pour facteur, deviennent d'autant plus petits que x, y ,z diminuent. En effet, si x, y, z sont très-petits relativement à Ç, n, Ç, on aura à très-peu près par un théorème connu ,
R ~ P d^^ ^ dr, y~ d^ ''
donc f -zr ; et ses coefûcients différentiels seront de l'ordre de x,,
7/ et z; et si ces quantités sont de celui de p, les seconds termes des équations (2) seront de l'ordre du carré des masses , et par conséquent négliiieables.
Or, lorsque x, y, z seront assez petits pour que ces seconds termes se négligent, on satisfera aux équations (2) en posant Sx, Sy et Sz égaux à zéro. Ces valeurs sont les limites des perturbations pour la portion de l'orbite la plus voisine du Soleil. On conçoit en effet que dans ces régions , l'attraction solaire prédomine entièrement sur celle des planètes perturbatrices; on pourra donc considérer celte dernière comme nulle, et s'en tenir au mouvement elliptique autour du fojer principal.
La seconde observation que fait Lagrange a rapport aux limites des perturbations du côté opposé de la trajectoire. Dans les régions supérieures de l'orbite, x, y, z deviennent très-grands rebtivement à $ , r/ et Ç. On peut
alors mettre -^ sous la forme
, , rfi di dl
11 ?• J. r r ^ R ~ r dx " dy '' dz ^
d'^ dxdz ^^ '
■^2 dx"- ''^dxdy'"'^2 dy' ' ^ dydz^^ ^2 dz'
d'où l'on tire
dt, dx ^^ dx^ dxdy dxdz '
el l'équation en ^x, parmi les relations (2), devient
d^ dx ]
Si dans cette équation , je fais
et que j'observe qu'on a à très-peu près , en vertu du mouvement à peu près elliptique de la Comète et de la planète
df d.v dl
celle équation devient, en négligeant les termes multipliés par
ou
\ ,. — r- , coefficient infiniment petit,
d^^ .^ Jd^- d^- d^^ (^ ''V
( c/o:- dxdy dxdz )
Un satisfait à cette équation, et aux deux semblables qui résulteraient des
deux dernières relations (2) et donneraient la valeur de — — r Pt — r^- , en
^ ' dt- dt-
jjosanl
ar:rKa7, |3 — K J/ et 7 = KO.
Elle devient alors :
Or — est une quantité homogène de degré — 1 ; , --z —
sont aussi homogènes, mais de degré — 2, on aura donc :
dx' dxdy dxdz dx
d-x Remplaçant dans notre équation celte valeur et celle de -~r\- tirée des
équations (1), on obtient :
,(1 / a\ rf'
V dx /
(1+7«)K— ^ = (H-m)Kl -2 L l4. ,
(/.r \ dx J dx
ou
d. - rZ. —
(,+,«)3K.^=..-^, (i'où nous tirons
Ce qui nous donne pour les valeurs cherchées de Sx, Sy, oz qui satisferont aux équations (2), quand x, y, z seront très-grands par rapport à S, r„ Z:
1+,- '^ 3(1 +m) "■ Ces trois expressions sont les limites des valeurs des perturbations que su-
biront les coordonnées de la Comète quand elle s'éloignera du Soleil beaucoup plus que la planète troublante.
La Place remarque {3Iéc. Cél-, liv. IX, p. 196) que le résultat qui précède est une conséquence très-simple du théorème dont nous avons vu d'Alembert tirer parti (p. 18), et suivant lequel, lorsque la Comète est à une grande distance du Soleil , elle peut être considérée comme étant attirée vers le centre commun de gravité du Soleil et de la planète, par une masse égale à la somme des trois corps. Elle décrit alors à peu près une ellipse autour de ce point, et la force attractive (jui la lui fait décrire
est s — - ■
Suivant que r sera plus petit ou plus grand que p, Lagrange donne
deux transformations des équations (2) dont nous nous servirons plus tard.
Si on suppose
et
En n'ayant égard qu'aux termes affectés de ,a, les équations (2) deviennent :
( ax dxdy dxdz )
il 1 11 ^ ^ ^ \
dxdy dy- dydz ) ^
d?èz- ^, , jrf-^- d'- d'- \ 'K^~b:J
dt^-^'+-^)\--^Sx' + ^-'; èy- + -^^^^^^^ dz
[dxdz dydz ' dz- ]
où on a mis au lieu de
-yr- , —j— , — TiT- , leurs équivalents — , -— , -— .
«; dr, d, aa; a?/ a;;
-^- renferme les deux premiers termes de t^- , développé en série ascendante, procédant suivant les puissances de Ç, r/, :^, en négligeant la différence infiniment petite entre -j ■ et l'unité ; on se servira donc de ces équa-
tiens quand r sera plus grand que p.
Si au contraire on pose
— renfermant les deux premiers termes de — ,développe en série ascen-
dante , procédant suivant les puissances de œ, y, z, et qu'on le substitue dans les équations (2) , on obtient :
'Z'oa- ,. J d'- dr~ d'- { ^i. a R
dx- dxdy dxdz
!1 1 11 ri'' ^ ^ ^ d'- d'- d' - ^-^ r; ^a.4- --4: syi- -ri-sz\-^- ât, dxdy dy^ dydz ] ^
d'èz ,, , S d'- d'- d'- I Kt~~RJ
[ dxdz dydz dz- )
Relations qu'on emploiera quand r sera plus petit que 0,, c'est-à-dire quand la Comète sera plus près du Soleil que la planète troublante.
SECTIOIV II.
Intégration des équations différentielks de l'orhite non altérée.
Les trois équations différentielles du deuxième ordre du mouvement elliptique, doivent avoir trois intégrales complètes, renfermant six constantes arbitraires. Suivons Lagrange dans la méthode qu'il indique pour les obtenir, afin d'employer les mêmes constantes.
Il observe d'abord, qu'en vertu des deux premières équations, on satisfait à la troisième en posant :
(5) z = ba; + cy.
L'intégrale des forces vives lui fournit ensuite
^f(l+m)-^ = 0, oùp = 2h-r.
Cette équation est de la même forme que les primitives , elle est donc sa* tisfaite en posant
p^fx + gy,
ou r
(6) 2h — r = fji^ + gy.
La même intégrale première des forces vives donne encore l'équation
rdr
r Il
= V/2(l-f-7w). dt.
où a est une constante arbitraire ; cette équation s'intégre et devient (') (7) arc(sin = ^ ^ Ull ^ ^^j./ 2(1 +ni)
(') Voir NOli: II.
Les trois équations (5), (6) et (7) sont les intégrales complètes des équations proposées ; elles renferment une constante de trop, car il y en a sept : a, h, c, f, [/, h, i. Mais ces sept constantes satisfont à une équation de condition qui réduit leur nombre à six, et qui est (') :
(d) 1 MizMl+JL±JL ^ il
Voici maintenant les relations qui lient les constantes introduites dans ces équations, avec les éléments emjdoyés ordinairement pour déterminer les orbites des Comètes.
L'équation (5) est celle du plan de l'orbite de la Comète. Si w est l'angle que son intersection sur celui des xy fait avec l'axe des x, et 1 l'inclinaison de ces deux plans , on devra avoir :
c = tang.\j/cos. w, b^= — tang. i}*- sin. oj.
L'équation (6) indique que l'orbite doit être une section conique, dont r
« , dr
fst le rayon vecteur. Les deux apsides seront aux pomts ou -j- = 0 , c est-
,. -, - a + \/n- — Aah ^ , .
a-dire aux points ou ?• = — =—^ — . La somme de ces deux valeurs sera égale au grand axe a. Leur différence divisée par a, vaudra
Th.
1 , et A h sera le paramètre de l'orbite.
A 90" d'anomalie, le rayon r = 2h et l'équation (6) donne tx-\- gy = 0, d'où ^ = — -^ ;
•■'est la valeur de la tangente de l'angle que fait avec l'axe des .r, dans le plan des xy, la projection du rayon vecteur répondant à 90" dans l'orbite.
Soit cet angle 90° + e , on aura ^ = tang £ ; faisant l — i//'- -+- y- , on
aura g = 1 sin. r , f= l cos 7' Ces valeurs étant substituées dans ré(iuation (8), elle deviendra :
C) Voir NOJF. iri.
ou
d'où
« 1 -f-tang.'^cos.-(co — ;) ®~* l + tang.-J.
e- — l- A— sin.-4-sin.-(co — £)\
et
\/\ — sin.'-^f'. sin.-(a} — £)
ecos.s esin.s
[/i — sin."->j;.sia."-(a} — e) \/i — siu.-i]^. sin."-(aj — s)
Si on fait coïncider le plan de l'orbite avec celui des xy, on aura ^^=0, et £ sera l'angle que fait le grand axe avec l'axe des œ. Si on suppose en outre qu'ils coïncident, on aura aussi e := 0 et par là
et
ou
2/i — ;• 2i//t if r-
oc q\. y devenant les coordonnées de l'orbite dans le plan même de celle orbite, indépendamment de la position de ce plan. Si on appelle 'j l'angle du rayon vecteur avec le grand axe , on aura :
2h X = r COS. cp , w = /• sm. cp , r = -. — .
' ^ 1 -f-ecos. 'f>
Cette expression de r montre que v est l'anomalie vraie dans Porbih^, comptée du périhélie.
Les valeurs générales de œ, y, z s'expriment (note III) au moyen (le> (constantes h, c, /", g et du rayon vecteur r, on pourra donc les obtenir eu fonctions des éléments de l'orbite elliptique et de la seule anomalie o. Appelant a l'anomalie correspondant au nœud, w — a sera l'argument de h* latitude , et on aura :
,r = ?• { COS. w COS. (9 — a) — sin. w sin. (cp — a) cos. ^ }
y z=r {siu. cocos, (tp — a)4-C0S. wsin. (9 — ajCOS.^'} 3 = 7' (sin. Isin. (y — a)}.
Si on fait
et
on a *^">
sin. u, (équation (7)) = 0, d'après Kepler,
Ô='csin.M, Il étant l'anomalie excentrique (note II) comptée du périhélie, et 6 l'anomalie moyenne.
Pour « = o, on a 9 = î ; la constante n'est donc pas autre chose que l'époque de l'anomalie moyenne.
»Ët'Tioai 111.
Intégration des équations différentielles des perturbations.
Reprenons maintenant les équations (4) des perturbations de la Comète ; leur intégration dépend, vu la forme linéaire sous laquelle paraissent les variables inconnues Sx, Sy, Sz, de celle d'équations analogues sans derniers termes, c'est-à-dire de la forme:
d'èx ,. J d- ~ d- — d-
"' I dx- dxdy ^ dxdx, ]
d'èïi ] d- — d- — d- —
\ dydx dy- dyd
( dzdx dzdy dz- ]
Ces équations résultent de celles de l'orbite non altérée, en y faisant varier jc, y, z des différences êx, §y, Sz, regardées comme inOniment petites. Leurs intégrales doivent donc aussi résulter de celles du mouvement elliptique, en y faisant varier, non-seulement ces mêmes quantités, mais encore les constantes arbitraires que les intégrales cherchées doivent renfermer pour être complètes.
Pour obtenir ces variations des constantes arbitraires, nous pourrions différentier à l'ordinaire les intégrales de l'orbite non altérée, trouvées dans la deuxième section , en y regardant les indéterminées oc, y, z et les six arbitraires a, b, c, f, g, i comme variables à la fois , et marquant leurs différences par la caractéristique <5. Pour donner à ce calcul toute la simplicité dont il est susceptible, nous remarquerons de plus que la position du plan des xy, auquel nous avons jusqu'ici rapporté l'orbite de la Comète, étant arbitraire, on peut sans nuire à la généralité du problème, supposer que ce plan coïncide avec celui de l'orbite non altérée de la Comète; et on peut , par la même raison , supposer aussi que l'axe des x coïncide avec le grand axe de la même orbite, en sorte que les abscisses x soient prises depuis le foyer et soient positives en allant vers l'apside inférieure.
Il résulte de ces deux suppositions :
ce qui donne aux coordonnées les valeurs suivantes, où l'on conserve ces constantes pour les faire varier ensuite :
(10) y = -|- l/l — /'sin.M+ ^{cos.u — f).
(cos. M — /■) -f- -— 1/1— f-sin.M.
DilTérentiant suivant la caractéristique è, en faisant tout varier, on trouvera les valeurs de ^x, Sy, èz en fonctions de Sa, êb,e{c. et de coefficients fonctions du temps, de la forme *
Sjc — A^a + B Sf-\-CSg -i-BSi (11) Sy = ESa-hFSf'-\-G^g +^^i
DifTérenlianl de nouveau relativement au temps, Sa, Sb, etc. étant considérés comme constants, on obtient trois nouvelles équations qui donnent
d.Sjc d.Sy d.Sz — jj— > — j— , — T— . Combinées avec les précédentes, on pourra en tirer
par la méthode ordinaire d'élimination , les valeurs des six inconnues 'kl, Sb, Se, Sf, Sy, Si. Elles seront de la forme «
aa = A'b\f -h B'âT/ + G' -^ + D' -^ , "^ dt dt
dt
dt
Mais Lagrange indique une méthode qui abrège beaucoup ce calcul. Elle consiste à chercher d'abord les valeurs des six constantes en fonctions
, dx dy dz ■ r c -, . i
de X, y, z, t et — i— , —j- ' .. , ce qui se tera lacilement par les équations (5) a (8) , puis à dilîérentier ces valeurs relativement à la caractéristique S. On obtiendra ainsi, en posant pour simplifier
xdy — ydx
+ b- + c- (/<\/2(H-w) les équations suivantes :
^r , dxdèx + dycBy + dzdh
àa ■= a- { --r H 71 — ; r:T3 i '
(1 + ni) dt- )
dySx — dxSy + ocdSy — ydSx ôK =
dt\/2{]+m)
dy(2Sh—Sr) -f- drSy -j- (2h—r) dSy + ydh' fh\\ K de /2(1-{-m) *^
, rfa? (2 ^/t — 3r) -f <Zraa; + (2 h—r) dhx + xdh- gà\\
'^^~~ Kdt\/2{\ +m) I^
dy^z — dzèy + ;srf^y — t/drb UK
~ Kdt\/2{\ + m) K
da?<53 — d;siîa? + zdèx — xd^^z c^K
Kdt\/2[\ +m) K
8h =: 2 (1 + Ir + C-) Kô^K + 2K'- (M6 + c^c) ;
où l'on devra substituer pour (5r sa valeur '— — — ^^^-^ . Nous avons
donné ici la variation de h, qui doit être traitée comme variable, parce que c'est une fonction de a, h, c,fel g donnée par l'équation (8). Reste encore à déterminer Si , pour laquelle nous poserons
On obtient alors
qui Se transforme (note IV) en
2Sn
Ces formules ont toute la généralité possible; mais pour les appliquer a
notre cas, il faut y supposer b —o, c = o, </ = o, et par suite z — o et
^ " = o. On aura de plus K = r5/< et SK = =- . Faisant ces sul)stitu-
(it ^ 2 1/ h
lions, après quelques simplifications sur lesquelles nous ne nous arrêteron jtas, les formules deviendront :
dy^x — dx'Sy 4- ncd^y — yd^œ
ôh = 2 /t
dt\/2h{l+m)
, /' xSx + y h/ dxd^x + dydSy n
ha — a- ( — '- h — 77—, r-,7s — ) '
dj^x—ydix r dyiy—ydoy 2dyih
l+«j) '' dt\/2h(l-\-m) dl\/2lil-\-m)
X / X \ dxix — xdix , y dxôy — xdiy Idxoh ,= r (xSy-jox)-{- ( /+ — ) +
ùb^
dl\/Vi[\-!^m~) '• dl\/Vi[\-\.m') dl^2h{\-{-m^
dy^z — yd^z
dl\/1h{\ -\-m) — dx^z 4- xd^z
ce =
dt\/2h{\ + m)
2 (xSy - y^x - -^) y^^^^j^
y «^ \/œ-li 2\/a1v'
Telles sont donc les valeurs des quantités ^h, ^a, ^b, ^c, Sf et §i en Sx,
Sy, r^z, — ^ > —7^ » — p- : en remplaçant ces variables et leurs coefficients
('.ilVérenliels par leurs valeurs en fonctions de u et de /• déduites des équations (10), on obtiendra les variations des constantes arbitraires du mouvement elliptique en fonctions du rayon vecteur et de l'anomalie excentrique, et leurs expressions devront coïncider avec celles qu'on aurait déduites des é(iualions (10) par l'élimination. — Voyons à déterminer par leur moyen les arbitraires des intégrales complètes des équations (4), qui sont celles des perturbations de la Comète.
Les équations (4) ne di lièrent des équations (9) que par la présence de
leurs derniers termes, que nous désignerons, pour abréger, par — j^X, — |i Y et — ,0L Z , en sorte que
dx dy dz
Si on suppose que les mêmes expressions de <Sar, ^y, Sz qui satisfont aux équations (9), satisfassent aux équations (4), mais en y regardant les six quantités Sa, Sb, Se, Sf, Sg , Si comme des variables indéterminées, et qu'on en fasse la substitution, il est visible que les termes qui renfermeront ces variables finies s'en iront aussi, et que les équations résultantes seront, à cause des expressions (1 1) :
Ad'Sa + B</-oy-f Cd-ig -\- Bd'ii dkdêa + dBdib -\- dCdig + dDdii
dr ' di^
Ed'ia-{-Fd'-if-\-Gd'-ig-\-Hd^^i dEdSa -\-dFdSb -\- dGdig -{• dtidSi
di- ' di-'
Kd-Sb -+- Ld-Sc + 2{dKdSb + dLdSc)
de
= — fiZ.
Comme il y a ici six variables indéterminées, et qu'il n'y a que trois équations pour la détermination de ces variables, il est clair qu'on peut supposer à volonté trois autres équations entre ces mêmes variables, et il sera à propos de prendre ces équations en sorte que les différences secondes des variables Sa, Sb, etc. disparaissent d'elles-mêmes : c'est de quoi l'on viendra à bout en posant
AddVi + BdSf + CdSy + TidSi
dt
EdSa + ¥dSf 4- GdSg -+- YldSi
KdSb^ + Ld^ __ dt ~
Car en retranchant respectivement des écjuations précédentes les dillért'iices de celles-ci , on aura :
dkdèa + dmSf ■+■ dCdSg + dDdèi
dt^ --fX,
dEdSa + dFdSf-^ dGdSg + dHdSi
de --pY.
dKdSb + dLd^c
dt-
........ . , . .... d^a dèf doy dèi
Ayant ainsi six équations entre les six quantités —rr ' ~Tr ' -^ > —r~ >
^ dt dt dt dt
dèb dèc
— f^ > — ^ , on déterminera par l'élimination la valeur de chacune d'elles; ensuite il n'y aura plus qu'à multiplier ces différentes valeurs par dt et à les intégrer ; on aura de cette manière les valeurs des variables èa, Sb, ce, Sf, Sg, Si, qu'il faudra substituer dans les expressions (11) de Sx, Sy, Sz; et les équations (4), qui expriment les perturbations de la Comète, seront résolues.
Il est important de remarquer, que si on différentie les expressions de S.r, Sy, Sz, on aura, en vertu des équations supposées ci-dessus ,
dSœ = dASa + dBSf 4- dCSg + dBSi , dSy = dESa + dFSf-^dGSg + dmi, dSz = dKSb -+- dhSc ,
précisément comme si les quantités Sa, Sh, etc., étaient constantes; parce que les termes dépendants des variations de ces quantités sont précisément ceux qui forment les équations supposées. On peut donc en conclure, que si les équations différentielles (4) contenaient aussi les différences premières de Sec ,Sy , Sz , elles s'intégreraient également par la méthode qu'on vient d'exposer et on parviendrait aux mêmes résultats.
Il y a plus , et c'est ici le point essentiel : dans l'orbite non altérée , on a pour coordonnées x, y, z, fonctions du temps t et des six constantes arbitraires a, f, g, i, h, c, lesquelles déterminent les six éléments de l'orbite. Dans l'orbite troublée, les coordonnées sont x-^Sx, y + Sy, z-{-Sz, les quantités Sx, Sy, Sz n'étant autre chose que les variations de x, y, z provenant des variations Sa, Sf, Sg, Si, Sb, Se des six constantes a, f, g, i, b et c
Ainsi dans l'orbite troublée , les coordonnées sont exprimées de la même manière que dans l'orbite non troublée, c'est-à-dire qu'elles sont les mômes fonctions de « et de a -|- Sa, f+ Sf, g+Sg, i + Si, b + èb et c + Se, qu'elles le sont de t, a, f,g, i, betc dans l'orbite non troublée. Par conséquent, on peut à chaque instant considérer l'orbite troublée comme étant de la même forme que l'orbite non troublée. Mais les éléments de l'orbite troublée dépendent des quantités a + Sa, / '+ Sf, etc., lesquelles sont variables ; il suit de là que les éléments de l'orbite troublée seront variables aussi, et que les quantités Sa, Sf, etc., serviront à déterminer leurs variations. Or comme nous venons de voir que les valeurs de ces quantités sont telles, que les différences premières de Sx, Sy, Sz sont les mêmes que si ces quantités étaient constantes , il est aisé d'en conclure que les éléments de l'orbite troublée, quoique essentiellement variables, peuvent néanmoins être regardés comme constants pendant un instant ; et qu'ainsi, non-seulement le lieu de la Comète dans l'orbite troublée, mais encore son mouvement instantané, c'est-à-dire sa vitesse et sa direction, seront dans chaque instant les mêmes que l'on trouverait en les déterminant à l'ordinaire dans une orbite flxe, dont les éléments seraient ceux qui répondent à ce même instant. (Voy. Méc CéL, liv. II, p. 322 )
La difficulté est donc réduite à déterminer les valeurs des quantités Sa, Sf, Sg, Si, Sb et Se au moyen des six équations (14). Or en comparant ces équations avec celles qui donnent Sœ , Sy , Sz et leurs différentielles
— — ^ , on voit qu'elles sont semblables et qu'elles peuvent se
dt dt dt ' ^
déduire de ces mêmes formules , en y changeant seulement les quantités
Sa, Sf, etc., en leurs différences —r— j -jr > etc., et en y supposant en
. (Z-îj? .- dSy
même temps Sx =^o, Sy =:^ o, ùz = o, et — — ^= — /x A , . - = — p i ,
dSz
dt Donc en faisant ces mêmes suppositions dans les expressions de Sa,
Sf , etc. en Sx, — —, Sy , etc., on aura les valeurs des diflérence.»
dSa dSf . . ,
--jT" > —77-, elc , et on obtiendra dt dt
équations qui intégrées, donneront les valeurs de èa, of, etc.
On sait en effet qu'en général, pour trouver les intégrales des équations (4) qui déterminent les perturbations de la Comète, il n'y a qu'à différentier chacune des formules (13 , que je représenterai par l'équation A = ^f , en
n'y faisant varier que la constante A et les différences premières —7— ?
— 3 - j — ;— , et V substituer ensuite a la place de — ; — > — 7^- , —, — les dt dt ' '^ dt dt dt
quantités — pX, — ^Y, — pZ; on aura par ce moyen la valeur de dA
dont l'intégrale sera celle de A. (Voy. Méc Cél., liv. II, p. 324.)
Ayant ainsi déterminé les valeurs des différentes quantités A, qui étaient
auparavant constantes et qui sont devenues maintenant des fonctions
de t, on aura des intégrales premières de la même forme qu'auparavant ;
par conséquent les intégrales secondes ou finies qui résulteront de celles-là
par l'élimination des différences premières — ^ — , —r- ? — 7— , seront en-
dt dt dt
core de la même forme ; d'où il s'ensuit que tant ces différences que les variables finies ^x, Sy, §z, seront aussi de la même forme, c'est-à-dire les mêmes fonctions de t et des dilférentes quantités A que dans le cas où ces quantités seraient constantes.
Appliquons cette méthode aux équations (13); on aura en différentiant de la manière indiquée :
dèh = — p ^^'^ {œY — yX)dt, (1d)
d'^a = — a- -—^ — (X dx + Y dy) ,
ntult 1 •"
V/2/t(14-m) \\''^ r J' '^ r ( "^ rf<i/2/i(H-"0
(If) rfo'?>
l/2/t(lH-w)
l/2/t(1+7n) „. , </2(l + m) ,, 2r'-d6g y (fg; - j Jt) dèf
L'intégration de ces formules déterminera les valeurs des quantités Sa, 0/; etc., et il est visible que cette intégration n'exigera que de simples quadratures, puisque x, y,X,Y eiZ sont censées données en t, d'après les mouvements supposés connus de la Comète dans l'orbite non altérée et de la planète perturbatrice dans son orbite. Connaissant ces différentes quantités, on aura les éléments de Torbite troublée, au moyen desquels on pourra calculer, par les méthodes ordinaires , tant le lieu que la vitesse et la direction de la Comète dans un instant quelconque.
D'après ce qui a été dit à la lin de la première section , sur le calcul des perturbations dans la portion supérieure de l'orbite, si nous faisons
( 3(1-1- m) 1 + ,!Jt ;
' ) 3 (1 -H m) 1 -1- ,^ .^ et de plus
dx dy dz
ou aura entre Sx' , oy' , Sz' el X', Y', Z' les mêmes équations qu'entre ox, Sy, 3z et X, Y, Z, c'est-à-dire de la même forme que les équations (4). On peut donc appliquer à ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous venons de faire sur celles-là, et en tirer des conclusions semblables. On obtiendra deux systèmes de relations, analogues les premières aux équations (13), qui fourniront âa ' , Sj" , Sg' , etc. en
dSx' Sx', — -z — , oy' , etc., les secondes aux équations (14), qui donneront
dèa' , dèf',e[c. enX', Y',Z'.
Supposons qu'on substitue, dans les formules (13), les valeurs précédentes de Sx, Sy, Sz, les valeurs de Sa, Sh, etc. deviendront
Sh = iJ^l[i + Sh',
Sa =^ p. A + Sa ' , Sf^l^Y-^Sf,
etc. ,
appelant ^H, f^A. j^F, etc. les valeurs de S]i, Sa, Sf, provenant de la substi-
l)our Sy, et u ( ——^ — r + ~ — ") pour Sz- Nous aurons de plus , par ' ^ ' V 3(1 +in) l + [j. y
les équations (15) ,
dSh •
.VT4^-(^Y'-yX')d^
dSa'= r-± — a-{X'dx + Y'dy),
dsf'^ j:yÊL=r](f+'^^r + ^Y'\ !^^£f^^,
etc.
.Si on remplace , dans les différentielles des équations qui précèdent , dSk' , dSa , etc. par ces valeurs, on obtient uu nouveau système de l'ormules :
(Wi = ,adH - p. |/ ^^^ (^Y ' - î/X ' J ,
( 1 6) dô^a = adA — —^ — a- (X 'dx + Y' dy) ,
l/2/t(1+m)^ ^' ' '■ 5 rf«\/2//(l+/«)
etc.,
qui sont au fond identiques avec les équations (15), mais dont on peut tirer une conclusion importante pour le cas qui nous occupe : c'est qu'il est permis de ctianger dans les dites équations (1 5) les quantités X, Y, Z en X', Y', Z', pourvu qu'on ajoute en même temps aux valeurs de d<^h, d§a, d^f, etc. les quantités pdH, pcZA, pcZF, etc. D*où il suit que dans l'intégration de l'une de ces formules, dèh par exemple, on peut changer à volonté les quantités X, Y, Z en leurs analogues X', Y', Z' et rétablir ensuite celles-là à la place de celles-ci , pourvu qu'on ajoute en même temps à la valeur linie de <5/i la quantité p;H" — pH', qui est la différence des deux valeurs de fiH, dont l'une pH' se rapporte au point où X, Y, Z se changent en X ' , Y ' , Z ' , et l'autre pH" se rapporte au point où X ' , Y ' , Z ' redeviennent X, Y, Z. Le même raisonnement s'applique aux autres équations qui fournissent d^a, dSf, etc.; et si on voulait substituer à plusieurs reprises les quantités X', Y', Z' à la place de X, Y, Z, on ferait la même opération pour chaque nouvelle substitution.
Lagrange s'occupe encore spécialement dans cette section de l'altération du temps périodique de la Comèle, comme étant la perturbation la plus importante à déterminer. Cela se fait facilement par l'équation
y{xf—ih)dèf
(voy. note IV) qui donne la variation de l'anomalie moyenne. On a pour l'instant du passage au périhélie dans l'orbite troublée Q-{-èb — o, ou ^ = — rîO , ou , ce qui revient au môme, 6 = 360° — 59. Si on appelle et le temps qui répond à l'anomalie ¥i dans l'orbite troublée, on aura (p. 32) :
y cf r 8(n-?n) '
("est le temps dont le passage au périhélie de l'orbite troublée précédera celui de l'orbite non altérée.
Soient SO' et SO" les valeurs de oO qui répondent à deux périhélies consécutifs, et Sf' , ot" les valeurs correspondantes de §t, en sorte que l'on ait
Appelons en outre t' et t" les temps des passages aux deux périhélies consécutifs dans l'orbite non altérée, on aura pour les temps de ces passages dans l'orbite troublée t' —W , t" — U" ; donc la différence de ces temps, c'est-à-dire l'intervalle entre deux passages consécutifs dans l'orbite troublée, sera t"—t' -\-ot' — <5f ",où t"-~t' est le même intervalle pour l'orbite non altérée. Donc la révolution anomalislique dans l'orbite troublée, surpassera celle dans l'orbite non altérée , du temps exprimé par
U ' — Si" = 1/ —-^ (^Yj ' m" ) ;
c'est l'altération résultant des perturbations, en tant qu'on néglige le carré des forces perturbatrices.
Pour avoir l'altération de la révolution périodique , on défalquera de la perturbation précédente le temps dû au changement du périhélie. Or le périhélie de l'orbite troublée se trouve plus avancé que l'autre d'un angle
r]f =: -^ ; si on appelle d-' et S-" les valeurs de à\- répondant à t' et t" , on
devra déduire de l'altération de la révolution anomalislique précédente,
le temps correspondant à l'angle ou à l'anomalie vraie à" — Si' , pour avoir
celle de la révolution périodique.
V'd'j A cause de ilt = — ' , faisant rfj — o;"— os' et ;• égal à la'
distance périhélie ^ (1 — e) ou -j—- , on aura pour le temps cherché :
y ff '\ '
/ 2h y s^ —ai
tn)
L'allération de la durée de la révolution périodique de la Comète sera donc
y 8(1 -hm)^ ^ V 14-e y \/2h{\-h7n)
ou
2a y 8(l + m)^* ^ \.\ + cJ \/2h{\ + m)
en dénotant par ^a' , Si' , Sa" et Si" les valeurs de Sa, Si qui répondent à
«=: t' et t".
Application des lliéories précédentes au calcul des perturbations des Comètes, et eu particulier
de celle des années 1 532 et 1661.
On est forcé, dans la théorie des Comètes, de renoncer à l'avantage de parvenir à des formules analytiques qui expriment les inégalités de leur mouvement pour un temps quelconque , telles que celles que Ton trouve pour les inégalités des planètes , et cela vu l'impossibilité d'exprimer en (onctions rationnelles et entières de sinus et cosinus de l'anomalie excentrique de la Comète, qu'on prend pour argument général, soit les coordonnées de la planète troublante, soit la distance mutuelle R des deuv astres, qui entre en dénominateur avec l'exposant 3 dans les expressions X, Y, Z. La seule ressource qui reste est de déterminer ces inégalités par parties successives, en partageant l'orbite de la Comète en ditlérentes portions et calculant séparément l'effet des perturbations pour chacune d'elles.
Dans toute la partie inférieure de l'orbite , on emploiera avec succès la méthode ordinaire des quadratures paraboliques, pour laquelle Lagrange
reuvoie aux traités de Cotes et de Slirling (') et dout nous nous occuperons par la suite. Celle méthode ne lui paraît cependant pas suffisante, pour les parties de l'anomalie excentrique relativement auxquelles la quantité R sera assez petite, ce qui arrivera vers les ininima de distance entre la Comète et la planète ; voici celle qu'il indique pour résoudre le problème des perturbations avec l'exaclitude désirable dans cette portion de la trajectoire.
Soit u' l'anomalie excentrique répondant au point à partir duquel ou veut changer de procédé d'intégration , on fera en général m = m' + j, et tant que j sera assez petit, on pourra mettre les quantités à intégrer sous la forme rationnelle (L -|- Mj -f- iNV -|- etc.)dj; on intégrera de u-^u' jusqu'à u^= u" , en supposant l'arc u" — u' assez petit, et ainsi de suite. Les différentes quantités qui entrent dans les équations (1 5) peuvent être exprimées par des fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus
des angles m et G j/ —5- , c'est-à-dire de l'anomalie excentrique de la Comète et du moyen mouvement correspondant de la planète Ç-), ce moyen
mouvement étant à celui de la Comète B en raison de \/ a' : y ^\ où 5; représente le grand axe de l'orbite de la planète. Si donc on suppose que ces deux angles varient en même temps des angles contemporains (3 et 7, chacune des quantités dont il s'agit pourra être représentée par une formule algébrique de la forme
L + M^ + Ny -h 0/3'^ + P|3v 4- Qr + etc..
(') Cotes, Harmonia Mensurarum , etc. edij. R. Smith, Can(abrigiae 1722 , et en particulier aux Opéra miscellanea, qui font suite à cet ouvrage : de Melhodo difjferentiali Newtoniana , p. 23 à 33.
Slirling, Methodus differentialis , iiVe Tractatus de summatione et interpolatione Serierum.
(") Cela re'sulle des relations (10) qui deviennent, en raison du système d'ases adopté,
X = — (cos. u — /) , ^- — [/ah s'in.u , = — 0 ,
— (1 —/cos. u), dt= l/ du.
dans laquelle les quantités L, M, etc., seront toutes aussi des fonctions entières et rationnelles des mêmes sinus et cosinus. Or 6 = u — e sin. ti, donc
Cl''
faisant croître ti de (3, et Ô de 7 1/ -^ , on aura
7 = 1/ ^ j(l — ecos.M)^-] 2 — ^'+ ^^^T
Si l'on substitue cette valeur de 7 dans la formule précédente, elle prendra cette forme plus simple L + M,3 4- N,3'- + etc., dans laquelle les quantités L, M, N, etc. seront pareillement des fonctions, toutes rationnelles et entières, de sin. u, cos. u, sin. 9 j/ —g- et cos. Q 1/ --g- , en sorte que ces
quantités ne pourront jamais augmenter au delà d'un certain terme; et il est clair que la formule précédente n'étant poussée que jusqu'au second degré , sera exacte aux quantités près des ordres de |3^ et 7'.
Si donc on dénote par V une quelconque des quantités dont il s'agit, et que Vo , V, , V, soient les valeurs de V qui répondent à « = w„ , u, et ;/, ; où Ut = Uo -\-^ et t«2 = w, + (3; il résulte de ce qui précède que pour u = u^ 4- ji|3 {11 étant une fraction), on aura, aux quantités près des ordres de (3^ et 7": V = V, 4-V/w + V,"w'-, formule qui pourra servir aussi en faisant 7i négatif depuis 0 jusqu'à — 1 .
Or comme V = V„ quand 71 = — 1 et V = V, quand îi = ], on aura
V„ = V,-V,'4-V/', V, = V.-|-V.'+V,", d'où
Cela posé, séparons dans les équations dilîérentielles (15) les termes divisés par R' des autres, après qu'on y aura remplacé X, Y, Z par leurs valeurs, et représentons en général chacune d'elles par
''^ = T^(v + ^)ri«,
où R = R-. Qu'on calcule les valeurs de V, U, et R pour trois anomalies excentriques u = u„ , ii, et u, , dont la commune différence soit [3, qu'on en déduise ensuite V, , V," ainsi que U,', U,", R,' et R,", et qu'on substitue partout dans l'équation précédente u, -t-j3w à la place de u, on aura,
en regardant n comme variable
"^"* ' (R, -hR,'w + R,"w^)2 '
Cette équation, intégrée A&n^ — 1 jusqu'à 7i=i\, donnera, aux quantités prés de l'ordre p|i'' et [rf, la valeur de A, ou plutôt l'accroissement de A depuis II = u^, , jusqu'à u = u, = m„ + 2j3 ; en sorte que, désignant par A„ et A„ les valeurs de A qui répondent à ces deux anomalies, on aura A, — A„ égal à l'intégrale du second membre de cette équation prise de n= — 1 jusqu'à w=l, intégrale que le calcul nous fournit sous la forme (voir note V) :
Ayant ainsi trouvé la valeur de A„ — A„ , pour une portion d'anomalie excentrique u.^ — u^ , on trouvera de même la valeur de A^ — A, pour une portion suivante d'anomalie u^ — n., et ainsi de suite; ces différentes valeurs seront exactes aux quantités près de l'ordre ,a|5' et fi/, (3 étant égal à «, — M(, ou u. — u., et 7 étant la partie correspondante de l'anomalie moyenne de la planète. Ajoutant successivement ces valeurs ensemble, on aura la valeur totale de A„ — A„ correspondante à une certaine portion de la trajectoire, entre les valeurs de u^ et u, d'anomalie excentrique. Cette portion est, comme nous l'avons dit, celle où la quantité R est assez petite et du même ordre que les différences finies R', R", ce qui arrivera vers le minimum de distance entre les deux astres.
Pour toute la partie supérieure de l'orbite, dans laquelle la distance de la Comète au Soleil surpassera de beaucoup la dislance de la planète au Soleil, il sera bien plus avantageux d'employer la mélbode exposée à la fm de la section précédente (p. 42). Elle consiste à changer les quantités X, Y, Z des formules (15) en leurs analogues X', Y', Z' et à rétablir ensuite celles-là à la place de celles-ci, pourvu qu'on ajoute en même temps à la
valeur finie de Sh par exemple, la quantité ,uH" — pH ' , qui est la différence des deux valeurs de pH (p. 43), dont Tune ^U' se rapporte au point où X, Y, Z se changent enX', Y', Z', et dont l'autre pH" se rapporte au point où X', Y', Z' redeviennent X, Y, Z. Or ce procédé offre un très-grand avantage : en effet les expressions X', Y', Z' , qui entrent dans les formules
(16) et sont fonctions des coefficients dilTérentiels de -^ — , deviennent
on
très-petites quand la dislance r est beaucoup moindre que p. Donc lorsque
1 1 -^ sera devenu -^ ou —, on pourra, dans la première approximation, négliger ces quantités comme nulles, ou si l'on veut absolument y avoir égard, il suffira d'y tenir compte des premiers termes. Dans ce cas on pourra en toute sûreté employer la méthode ordinaire des quadratures mécaniques pour intégrer les quantités iBh, dSa, etc., mais on pourra aussi les intégrer analytiquement, du moins par approximation : voici un abrégé sommaire de la méthode que Lagrange propose à cet effet.
Si dans les valeurs (16) des différentielles dSh, dSa, dèf, etc., on remplace X par 7'C0S.'f, y par 7*sin.ç> et z par zéro, elles se trouveront composées de différents termes de la forme
2cos."'«p.sin.''cp.(Z'f
où m, n, p sont des nombres entiers et positifs ou zéro , et 2 une fonction rationnelle et entière de ?, rj, Ç. (Exceptons seulement les termes de la valeur de dU qui sont multipliés par l'angle t, et que nous examinerons plus
loin). Et comme r = ~-. ;: , en substituant cette valeur dans la
^ 1 H- /cos.tp
formule précédente, on n'aura plus que des termes de la forme
icos.^y. sin-V-rf?- Qu'on substitue maintenant dans 1, à la place de ?, -n, Ç, leurs valeurs en
sinus et cosinus de 6» 1/ — r- que je représenterai par -j, on pourra négliger
l'effet de l'excentricité de l'orbite de la planète, ou y avoir égard, en ajoutant au demi-grand axe et à Tanomalie moyenne les premiers lerine^
— sodé la correction elliplique du rayon vecleur et de l'équalion du centre. La quantité X se trouvera sous la forme
A 4- B sin. u + G cos. j + D sin. 2 j + etc. ;
et les différentielles d^h, dSa, d^f, etc. se trouveront composées de deux espèces de termes, les uns indépendants de l'angle u, de la forme
Kcos.'^u. sin.^^w. d'f ,
et qui s'intég-reront immédiatement ; les autres affectés de sinus ou cosinus de l'angle j , de la forme
Lcos.''cp.siu.''<p. sin.Nu.rf'f, ou ]yicos.''<p.sin.V- cos. Nj. (Z<p, (où i\ est un nombre entier), et qui ne sont intégrables par aucune méthode ; mais dans la partie supérieure de l'orbite que nous considérons , (OS termes sont considérablement plus petits que les précédents, en sorte iju'on pourra le plus souvent les négliger sans scrupule.
Remarquons en effet que rfy = ^ ''Y ^ ^ . Si on substitue celte valeur
dans les termes dont il s'agit , et qu'on fasse pour abréger
. /-^- cos. u. sin.V-
ils deviendront — «i'fZcos.Nu et *</sin.jNj, dont les intégrales sont
— * COS. N -j -h / cos. i\ -j cZ * ,
'l'sin.Nj — / sin. Njd*.
i (OS. i\j(Z't> et / sin-Njci* représentent les aires des courbes qui auraient * pour abscisse et cos. Nj ou sin. Nj pour ordonnée. Abstraction faite du signe, l'aire totale sera toujours moindre que le produit de l'abscisse totale par la plus grande ordonnée qui est Tuuité ; de sorte que dénotant par (4>) cette abscisse totale , on aura + (*) pour les deux limites entre lesquelles seront nécessairement renfermées les aires en question. — Or dans
la partie supérieure de l'orbite, /• > -^ ; la distance périhélie t-^t— = A à
très-peu près, et pour la plupart des Comètes cette dislance est moindre
que l'unité, en sorte que la quantité ^ ^., sera nécessairement fort petite. Par conséquent les quantités * et (<î>) seront généralement beaucoup plus petites que la valeur de / cos.'^cp. sin. 'tp. d^.
On détermine aisément la valeur de (*) pour toute la partie supérieure de Torbile, en supposant qu'elle commence au point où y = 'i» ' et r = r ' , et finisse au point semblablement situé au delà del'apbélie, où cp^:=360° — cp' et 7* = r'; cette valeur différera suivant que l'exposant v de sin. tp sera de degré impair ou pair.
Si les limites + ($) n'étaient pas assez petites, en sorte qu'on ne crût pas
pouvoir négliger les quantités enfermées entre ces limites, on pourra les
resserrer davantage, en mettant les différentielles cos.Nud* et sin. Nu cZf^
sous la forme ^r— COS. N y du, et —r- sin. Nu d 9. Elles se changent alors rftp ■ d'f ^ °
par la substitution de — ^, — , et en posant *^^, , — — =<!'', en ce les-ci : — 'î''dcos.Nj et «t'dsin.Nj,
dont les intégrales sont
— *'cos. Nj + Icos. Nud*' et <î>'sin. Nu— / sin.Nud'i'',
et aux seconds termes desquelles on pourra appliquer les mêmes raisonnements qu'aux précédents, en sorte qu'on aura + ((î*') pour les limites entre lesquelles ces valeurs sont comprises. Or on voit facilement que *' est nécessairement beaucoup moindre que ^, quand r'- est assez grand vis à vis de
[/x'/i- On commettra donc, en négligeant les intégrales renfermées entre ces dernières limites, une erreur bien plus petite ; et on voit par là comment on pourrait pousser l'approximation plus loin et diminuer à volonté l'erreur résultant de l'omission desdites intégrales.
Il reste encore à voir comment s'effectuera l'intégration pour le terme de d^i qui renferme le temps comme facteur. Si dans les formules (15), on remplace X, Y, Z par X', Y', Z', comme en posant
rl--^^Pn onaX'-^ Y'-— Z' - ^ l S R J-^^^^'''''^^ - da^'^ - dy ' ^ -d^'
la difTérenlicIle dèa devient de la forme :~ — a-DP, en désignant par
la caractérislique D une différentielle partielle , prise en faisant varier seulement x, y, z, coordonnées de la Comète. Si l'on remplace dans DP, S, -r,, '^ et p par leurs valeurs en sin. j et cos. j, on obtiendra
DPr=dQ 4- sin.v.fZR + cos.u. rfS + sin.2j. dT -h cos. 2 j. dV -h etc.,
oii Q, R, S, T, V, etc. sont des fonctions rationnelles et entières de x, y, z, et dont chaque terme sera divisé par une puissance de r, dont l'exposant surpassera de trois unités ou plus, la somme des dimensions de x, y, z au jtumérateur. On aura ainsi
(/ox = — -—^ a"- 1 dO + sin.udR + cos.jcZS -f- sin. 2jdT -f- etc.) ,
Ibrme qui coïncide avec celle de la p. 49, pourvu qu'on y fasse a:=i7'cos. 'i>, // = y sin.u et ^^ 0 , et qui peut s'intégrer facilement.
Venons maintenant au terme 3 t \ — ^^ — -. — '- dha de la valeur de d^i.
En y substituant d'abord |)our dha la quantité — a-dO , indépen-
danle de j, on aura la difTérentielle — 3,a (/ — ■- tdO , dont l'inté-
'•^'^^^^-^•y^7(TT^^'^-/^^^'^
Or dt = — , donc , comme dans Q les exposants négatifs de
/• surpassent d'au moins trois unités la somme des exposants positifs de
.r, y, z, en remplaçant x, y, z par leurs valeurs en r et en u, et /• par
(') p=:^ 3(.r;+.r.4-.;v ^ 3(a;4-j^+.>:v __ h^^i+rr+zir
2/' tr^ ' "îr-^ il-
