t- 7/1 ' COS. j

Les termes correspondants de d^i seront de la forme

— 3 f^ l/ —rr^ ^cos.fcp. sin.V-^'"- \ Nu.d<p.

'^y a{\+m) ^ ^cos.) ^

A l'imitation de ce qui a été fait plus haut, on substituera dans ces différentielles -^ au lieu de d<fi, et faisant (à cause de dt = \ —— r d-j),

dt ^ y Q{\+m) '

= j ^sin.Nu.Nrfu = — «cos.Nu+ 1/ ^

yV — ( f cos.N'j.Nrf-j = <sin. Nu— j/ -r-r-^ J K 8(1 +

sin. Nj

cos.Nj

on aura ces transformées *dV et 4>dW, en conservant la valeur de <^ de la p. 50.

Intégrant par parties on aura ^V — / Vd* et 4>W — / Wd<f, et on démontrera par un raisonnement semblable à celui d'alors , que les valeurs de / Vd* et / yVd'l> sont comprises entre + (V) (*) et + (W) (<J>), en désignant par (V) et (W) les plus grandes valeurs de V et W, dans la partie supérieure de l'orbite. Or les maxima de V et W ayant lieu lorsque dV = 0 ou dW = 0, c'est-à-dire quand sin. N j := 0 ou cos. Nu = 0, il s'ensuit que les plus grandes valeurs des quantités V et W seront, abstraction faite du signe, égales à t. Si donc on désigne par (t) la valeur de t pour le point oii finit cette partie de l'orbite, on aura (V)et (W) = (^), et les valeurs des intégrales / Vd$ et j Wdi', pour toute la parlie supérieure de l'orbite, seront renfermées entre ces limites + {() (<^).

Si on ne les jugeait pas assez rapprochées, surtout parce que la valeur de (t) peut être assez considérable, on pourrait les resserrer davantage par une méthode analogue à celle de la p. 51.

Il résulte de tout ceci , que dans la partie supérieure de l'orbite, les perturbations peuvent être déterminées anal} tiquement, sinon par des formules rigoureuses, du moins par des formules très-approchées et dont on peut pousser l'approximation aussi loin qu'on veut.

Le programme de l'Académie des sciences en 1778, n'exigeant pas que les concurrents donnassent des résultats numériques du calcul des perturbations des Comètes, Lagrange se borne à indiquer la marche à suivre pour appliquer ses méthodes à la Comète des années 1 532 et 1661 , dont les astronomes attendaient le retour vers 1789 ou 1790. Cette Comète avait été observée par Hévélius lors de sa dernière apparition, et par Appicn lors de la précédente. Halley calcula les deux orbites paraboliques résultant de leurs observations. On peut supposer que les éléments qu'il a obtenus pour 1661 , sont ceux de l'orbite non altérée, et partir de là comme base pour déterminer le grand axe par la troisième loi de Kepler. La valeur ainsi obtenue serait tout au plus diminuée d'un centième, si on voulait la déterminer dans l'hypothèse elliptique, mais elle est entachée de l'erreur résultant des perturbations. Or pour déterminer ces perturbations nous avons besoin de la valeur du grand axe, nous prendrons néanmoins pour cet elTet la valeur approximative obtenue, l'erreur commise par cette supposition n'étant que de l'ordre des carrés des forces perturbatrices.

Si maintenant on considère le retour de la Comète au périhélie , on aura répoque du futur passage, en ajoutant à celle de 1661 l'intervalle écoulé entre les deux précédents passages et tenant compte convenablement du mouvement du périhélie. Cette détermination serait exacte, même en ayant égard aux perturbations, si les deux révolutions successives étaient parfaitement semblables. Mais si fallération de ces deux périodes n'est pas la même, il est clair qu'il faudra ajouter au temps déterminé ci-dessus, l'excès de l'altération de la seconde période sur l'altération de la première. Cet excès se détermine par la formule de la p. 45. En marquant de un, deux , trois traits les quantités répondant aux trois périhélies consécutifs de 1532, 1661 et 1789, ou aura cette correction du temps égale à

— oo

2(t"'Sa'"-2t"ia"+l'ia') / a^ ,„ ,.„,.. / 2/. N ^ ,V"-

h[\J^in)

OÙ l'on a seulement remplacé Ô£ par son équivalent — . Cette formule peut

se simplifier, si l'on prend pour origine du temps l'époque du passage de 1661, et elle fournit facilement l'altération du temps périodique de la Comète, qu'il est le plus important de déterminer.

Quant aux altérations des autres éléments, on les déterminera aisément par l'intégration des formules (15), en faisant commencer les intégrales au périhélie de 1661 elles étendant jusqu'à celui de 1789 ou 1532, suivant qu'on voudra déterminer ces altérations pour la dernière période de Ui Comète ou pour la période précédente.

Le calcul entier de ces perturbations ne fut pas exécuté sur les directions de Lagrange et c'eût été peine perdue , vu qu'aucune Comète ne fut aperçue en 1790 , qui pût cire assimilée à celle de lG6i .