CHAPITRE TROISIÈME
Théorie des Comètes de lia PInee ; Examen du cas où elles s'nppracitent très-près des planètes troublantes : Quadratures mécaniques.
Comme nous l'avons déjà dit, le IX"" livre de la Mécanique Céleste est une vraie reproduction de la pièce de Lagrange que nous venons d'examiner en détail. Il convient cependant de nous y arrêter quelque temps, et de passer en revue ses formules des variations des éléments, auxquelles le génie pratique de La Place a donné la forme la plus commode pour le calcul de ce genre de perturbations, et qui renferment les notations que nous emploierons constamment dans notre travail.
SECTIOX I".
Théorie générale des perlurbadons des Comètes,
Soient œ, y, zles coordonnées rectangulaires, et r le rayon vecteur de la Comète m, rapportés au centre du Soleil ; soient în' la masse de la planète perturbatrice, ;'' son rayon vecteur el x' , y' , z' ses trois coordonnées rapportées aux mêmes axes et à la même origine que les premières. Si l'on nomme p la distance mutuelle de la planète et de la Comète , en sorte qu'on ait
que , pour abréger, on fasse
xx' -\- yy' + zz' 1 ]
R = ^'| pi 7J'
R étant ce que l'on est convenu d'appeler la fonction perturbatrice (voyez
3Iéc- Cél-, liv. II, p. 262), les trois équations du mouvement troublé delà Comète autour du Soleil seront :
d-jc , X , dR
dl- r'^ dx
d-y , y , dR
dt- r^ dy
d-z z dR
dt' "^ 7- "*■ ds ~ *^ '
où l'on suppose que la masse de la Comète est nulle relativement à celle du Soleil. Celte hypothèse a été justifiée par toutes les tentatives faites jusqu'ici pour déterminer cette masse.
Dans le cas où R est nul, ces équations appartiennent à une orbite elliptique ; mais la valeur de R étant très-petite , si l'on nomme ^x, Sy, ëz les altérations qu'elle produit dans les valeurs des coordonnées relatives à l'orbite elliptique, et si l'on néglige les carrés et les produits de ces altérations, les trois équations précédentes donneront les suivantes :
dûx o = — -- —
d-3x dt' ^
Sx
3xor
dR dx
d?èy ^
dt' '
Sy
3ySr j
dR dy
d'Sz dt' "*■
Sz
3zor
dR dz
Il suffit de satisfaire à ces équations, car en réunissant les valeurs de Sx, Sy, Sz, qui y satisfont, aux valeurs de x, y, z relatives au mouvement elliptique et qui renferment six constantes arbitraires , on aura les intégrales complètes des trois équations différentielles primitives du mouvement de la Comète.
Ici La Place indique les mêmes limites des perturbations des Comètes que celles données par Lagrange (voy. p. 24 et suivantes) : dans la portion inférieure de leur orbile, leur mouvement peut èlre considéré connue ellipljque, cl dans la portion supérieure, on {icul faire usage d'une sim-
plilicalion remarquable (p. 26), qui permet de représenter ce mouvement avec une grande approximation. Nous y reviendrons en peu de mots en parlant du calcul propre à ces régions de l'orbite , occupons-nous pour le moment des expressions générales les plus convenables à donner aux variations des éléments.
Prenons pour plan flxe des xy, celui de l'orbite primitive de la Comète, ce qui permet de négliger le carré de z comme étant de l'ordre du carré de la force perturbatrice. En faisant
/t =: e sin. -31 , l = e cos. ct , e étant l'excentricité de l'orbite et w la longitude du périhélie, comptée de l'axe des x , on aura (note VI) :
, j dR dR \ , , , rfR
ah = dx\x-^-y-^^\+{xdy-ydx~.
Ces deux équations donnent les valeurs de de et dcr, car on a de = fZ/tsin. -w-f- rfZcos. ct, edrs = dh COS. rs — dl sin. tr ;
et si pour plus de simplicité, on prend la ligne même des apsides pour axe des X , on aura
de = dl , edxxT = dh .
Or on sait que les équations du mouvement elliptique donnent : ndt + £ — CT = ?4 — e sin. u , r = a{\ — ecos. w) ,
tang. ;, (t> — -ct) = 1/ -~-^ tang. [ u .
fndt -+- £ est la longitude moyenne de la Comète, / ndt + i —
cr son
anomalie moyenne , v — fs son anomalie vraie , et u son anomalie excentrique. Si on prend la ligne des apsides pour axe des abscisses, et qu'on compte les a; à partir du foyer vers le périhélie , on aura
a; = rcos. (u — -gt), y—7'SiD.{v — ■cr) ,
et par ce qui précède, : . ■
a? = a (ces. M — e) , y = a[/i — e'sin. m.
Si Ton nomme ensuite "k l'inclinaison de l'orbite de la planète ?«' sur celle de la Comète, et 6' la longitude de son nœud ascendant comptée de l'axe des apsides; si de plus on désigne par v' l'angle que le rayon ;•' fait avec la ligne des nœuds , on aura
x' =^ r' COS. 0' COS. v' — r' sin. 5' cos. >. sin. v' ,
(c) y' ^=r' sin. 6' cos. v' + r' cos.©' cos. >. sin. v' ,
z' = r' sin.). sin. v' .
Or la valeur de R donne
dR ,\ x' {œ'-x) } dR ,\ y' (y'-y) } dx~"^lr"^ P^ i' dy~"^\r'' p' Y
Remplaçant ces expressions dans celles de dh et dl, on en déduira de = — m' .adu[/ i — e\ COS. u{xy' — x' y)\ — j^ j >
— m'.a-du)/ ^—e\il—e COS. u)\-^— '^ ~^
edvj = — m'.adusin.u. {xy' — x'yy —73 j[
-h m' .a-dii[/\ — e'-. (1 — e cos. u) ] — — z — ? ;
équations qui fournissent les variations de l'excentricité et du périhélie.
L'équation des forces vives donne par le n° 64 du II"° livre de la Mécanique Céleste , en observant que p est à très-peu près égal à l'unité ,
la caractéristique dillôrentielie d' ne se rapportant qu'aux seules coordonnées de m. Or en négligeant le carré de z, on a
.,„ , x'dx + y'dy , {x' — x)dx + {y' — y)dy + {z' — z)dz
, et par conséquent ,
d'R = — 7n' adus'm-ul — rr " — ^ — ?
+ m'ada\/\ — e\ cos u j -^ — •' "T^ | ;
d'où l'un tire
x' oc' oc \
du = 2 7/i ' œ" du sin . a ( -^ -, — )
— 2 m'a^ dii\/\ — e\ cos. zt (^ ^ — ^ , ^ ).
Et par suite, comme la variation du moyen mouvement dn = 3and'R,
( / ) / ndt = Ni + 3 I {7idt Cad ' R) ,
.\ étant une constante. On a ainsi de plus l'expression de l'altération du demi-grand axe a et du moyen mouvement n de la Comète.
Les variations du nœud et de l'inclinaison s'obtiennent en différentiant les équations des aires, dont les constantes c, c' , c" , sont liées avec ces éléments parles équations {Méc. Cél-, livre II, n° 19) :
tang. y = ^ , tang.O = —^ ;
où l'on appelle y l'inclinaison de l'orbite sur le plan des xy, et 0 la longitude de son nœud ascendant. Ces constantes sont encore assujetties à la relation
Par le n" 64 du U""^^ livre de la Méc. Cél , on a
de
f/R rfR
\^ dx du J
, , , / cZR cZR \
de =^dt\ s-r- — ^—r- )' \ dx dz J
, / dR fZR \
Si l'on prend pour plan des xy celui de l'orbite primitive, c' et c" sont , ainsi quez, de l'ordre des forces perturbatrices; en négligeant donc le carré de ces forces et substituant pour R sa valeur, on aura
de' , . N '/' ^ ^ N = — m a(cos.w — e).z {—jr r )j
= — m a\/\ — e"^sin.M. z ( -^ j- \
dt
de" dt
c = i/a(l— e-) ; et comme ndt = du (1 — e cos. u) et 71- = — ^ , on a
ou
de' m'.adu ,. , , , , / 1 1 \ = (1 — ecos. w) cos.M — ez —r- ■
dc'^
/ 1 1 \ — m' ardu {\ — ecos. m} sin. m. z' f — yy ^ );
de' m'.xr.du ,/ 1 \ \
rfc"
— =. — m'.yr. du z (^ 7^ — 3 >
équations qui détermineront pour un instant quelconque l'inclinaison de l'orbite sur le plan fixe et la position de ses nœuds.
Reste à donner la variation du sixième élément, la longitude de l'époque e. La première équation (&) donne en différenliant , dans le cas de l'ellipse invariable,
ndt =: du(\ —e cos. m).
Dans celui de l'ellipse variable on doit avoir la même équation, ce qui
donne
dt — cZtrr = du (1 — e COS. u) — de sin. u ;
Il ne variant ici qu'à raison des variations de e et de -sr, au lieu que dans le premier cas, il ne varie qu'à raison du temps t. La troisième des équations (6) donne, en ne faisant varier que e et -cr.
d^ __ du ,/ 1+e , 2de. tang. ^M
COS.- ^ (ï> — Tj) cos.'^-^M y 1 — e (i e)v/ \ e-
En substituant pour cos.- ^ (w — -cr), sa valeur donnée par la même équation , on aura
dTT(1 — ecos.M) de. sin. M
du^= —
d'où l'on tire
, , dCT(l — ecos. m)^ de. sin. î* (2 — e" — ecos. m)
[h) di — dw =
équation qui détermine dt — drs et par conséquent la valeur de dî.
Nous avons déjà vu, p. 43 , que le point le plus important de la théorie des Comètes est la détermination de l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux de ses retours consécutifs au périhélie ; voici comment La Place le détermine. Il suppose une Comète ayant déjà passé deux fois à son périhélie et désigne par T l'intervalle compris entre ces deux passages. Appelant N son moyen mouvement elliptique pendant le même espace de temps, il peut se déterminer en posant NT = Sir. Or on a par ce qui précède, en intégrant l'équation dn = 3 awd'R,
w = N(l-f- 3 a Td'R).
Si l'on fait commencer l'intégrale f d'R à l'instant du premier passage
de la Comète au périhélie, où nous ûxons l'origine du temps t, on pourra supposer
w = N jl -h^g + ^afd'R], où §q est une arbitraire qui représente la portion de 7i résultant de l'effet
des perturbations à l'origine du temps, et qui se déterminera de la manière suivante. Appelons Ç l'anomalie moyenne de la Comète, on aura dans le mouvement elliptique (p. 58)
Ç = / tidt + £ — trr ,
et dans le mouvement troublé
Ç ^ N^(1 ^ §q) + 3a. fi^dt. j d'R) + e — ^ + §i — S^.
^i et âw sont les variations de la longitude de l'époque et de celle du périhélie , depuis le passage au périhélie. A cet instant e — w est nul puisque < = oet(;=o. Déplus on a supposé que pour « = T , Ç = 27r et NT = 27r; donc l'équation précédente devient
o = èe—S^ + Sq.^T + ^a.f{l^dt.jd'R),
les variations S, et Sr^r ainsi que la double intégrale étant étendues depuis t = o jusqu'à « = T. On en tirera la valeur de 3q et par conséquent pour un instant quelconque celle de n, qui fournit le demi-grand axe par la
relation w" = a~^-
Soit N' la valeur de w, à l'instant du second passage au périhélie, prenons cet instant pour l'origine du temps t. Nous aurons
Ç = N'< -1- ⣗ ^tiT -h 3 a, / (N'd<. / d'R) ,
St et â« commençant ici, ainsi que les intégrales, à l'instant du second passage au périhélie et a. étant le demi-grand axe de l'orbite à celle époque. Les valeurs de tr, e, e seront déterminées par les observations de la Comète faites à la même époque. Appelons T' l'intervalle inconnu du second passage au périhélie au troisième, qui est à venir. A ce dernier instant Ç =^ 2 -tt , et par conséquent
N'T' 4- èe—Sr^ + 3 a, j'i^'dt.j d'R) ^ 2^ ;
les valeurs de 5s et âw s'étendant comme les intégrales depuis t = o jusqu'à t=T' . Celle équation déterminera T'. Observons seulement qu'on peul en faire disparaître les doubles intégrales , car
3a,r(N'rf<. ArR^ = 3N'f.y'rt,rf'R-3ajN'^ d'ii.
En marquant donc d'un trait horizontal placé au dessus, les quantités étendues depuis le premier périhélie jusqu'au second , et d'un double trait celles qui s'étendent depuis le second jusqu'au troisième, l'expression précédente de 71 donnera , à cause de
â^ae 3aNf fd'R + Zafm. d'R
