Q= -NT

la valeur suivante : ■

oV— ^£ — 3«N« /'d'R 4- 3a Tn/. d'R w = N + 'L-^ ^ hSaN /d'R,

ou intégrant entre o et T et remarquant que pour « = T, on a posé n = N', on obtient , à cause de NT ;= 2 ir ,

N'T = 2Tr — âc + âTTT + 3rt. / Ni. d'R. Cette équation déterminera N' et par conséquent a,. On aura ensuite

N'(T' — T) = d\ — â£ — âT:T+âT:T — 3N'T'. /'a.rf'R.

— 3a /'N^d'R-f-3a, flS't.d'R;

équation qui fournira la différence T' — T des deux révolutions anomalistiques de la Comète. ■

On pourra, au moyen des formules qui précèdent, déterminer les altérations de tous les éléments elliptiques d'une Comète pendant une révolution auomalislique entière, c'est-à-dire pendant le temps qui s'écoule entre deux retours consécutifs au périhélie, et cela en employant les quadratures mécaniques. L'analyse fournil pour cet objet divers moyens dont nous dirons quelques mots plus loin. Mais les calculs que cette méthode exige sont immenses quand on veut obtenir un degré d'approximation suffisant ; il convient donc de borner l'emploi des quadratures à la partie des perturbations, qui ne peuvent être déterminées d'aucune autre matière dans l'état actuel de l'analyse, et de profiter de toutes les circonstances favorables que peut présenter le mouvement, ordinairement très-excentrique de la Co-

mêle, pour déterminer ses perturbations dans la partie supérieure de l'orbite , par une méthode d'intégration plus rapide.

Si la Comète est beaucoup plus loin du Soleil que la planète, en réduisant la fonction perturbatrice R en une série descendante par rapport à y, on aura

r tïl

où R' ne renferme que des termes de l'ordre — — ou d'ordres inférieurs,

et est par conséquent très-petit. Si on néglige R', et qu'on se borne aux premiers termes de la valeur de R, d'après la page 26 les perturbations de la Comète seront représentées en supposant

(A) ^x=m' œ' -\-{m' X, ^y^m'y' + {in'y, ^z-^m' z' -\-lm' z,

en sorte qu'on en obtient une expression analytique. Développons par ce moyen les variations correspondantes des éléments de l'orbite.

On a (note VI) dans le mouvement elliptique, en négligeant le carré de z, l'équation

1 dx- \ xdxdy

/ 1 dx- \

dt' En la faisant varier par rapport à la caractéristique è , on aura

{ 1 dx- I {or Idxdix i , xdxdoy xdoxdy dxdy

Si l'on substitue pour ^x, Sy, èz leurs valeurs précédentes, on aura

,( dx' xdxdy ) , r( ^ d-^' I , , xx' -\- vu'

Ini'ydxdx' m' xdxdy' m' xdydx' in' x' dxdy ■^ ~~~dt' d? dt' dt- '

expression qui, augmentée d'une constante arbitraire, représente l'altération de h due à la partie de R indépendante de R'. Si l'on substitue dans

Tj dx" xdxdu cette valeur de o7i , h + -^ au lieu de y —r-r -, j — , d'après l'équa-

tion ci-dessus, on obtient :

Sh=m i h-\-~ )—m'x^-^ — r^^ — ~4^ — ^ — '-

\ r y r^ dt-

, dx{xdy' — y' dx + x' dy — ydx')

dt-

Si Ion change dans celte équation h en l, x en y, x' en y' , et récipro- (jnement, on aura la variation de l due à la partie de R indépendante de R' :

,/ , X \ , xy' — x'y , , , xdy — ydx

U = m\l+—)-\-m'y ^. +7n'dy' — ^-^^ —

^"^ ,, xdy' — y'dx + x'dy — ydx' + m dy ^,

Les variations de h et de l donnent celles de e et de ct, en observant que l'on a

eSe = mil + m , e'Sm = Uh — Ml Un a, toujours par le mouvement elliptique, en négligeant le carré de z,

1 2^dx- + dy-

a r dt-

(Kou

èa ^ 20^- Mxd^x + Myd^y a- ~ r- ^ dt-

lieinplaçanl Sx et Sy par les valeurs (k) , on aura

oa 2m' 2 , dx--\-dy- , xx'+yy' dxdx' -\-dydy' .

a- ?)?• 3 dt- r" ' dl-

dx- + dxf 2 \ -

ou à cause de

dC- r a '

, , èa 1m' a 2 , , .^ , xx'-^yy' ^ , dxdx'-\-dydy' .

hi 3 Sa

et comme — = — -tt — ,

im'aii , , , , xx'A-yij' ^ , dxdx' -\- dydy' . r ' r^ dt-

deux équations qui donnent les variations du grand axe et du moyen mouvement dues à la première partie de R-

Les variations de l'inclinaison et du nœud sont liées (p. 60) à celles des constantes c' et c". En différentiant les équations des aires où elles entrent par rapport à la caractéristique S, et faisant les mêmes substitulions que dans les précédentes pour Sx et Sy , on trouve

xdz' + x'dz — zdx' — z'dx

Se' = 2m'c' + m' Se" = 2m'c" -h m

, ydz' + y'dz — zdy' — z'dy dt

El observant que z, ~ , c' et c" sont ou nuls, ou de l'ordre des forces perturbatrices, on aura, en négligeant le carré de ces forces

- , , xdz' — z'dx

^' -"^ dt '

ip)

Les formules qui précèdent donneront les variations de rexccnlricilé, du périhélie, du grand axe, du moyen mouvement, de l'inclinaison et du nœud, dues à la partie de R indépendante de R', depuis un point de l'orbite jusqu'à un autre point donné, en retranchant les valeurs de Se, S^ , Sa, S?i, Se' et Se" dans le premier de ces points, de leurs valeurs dans le second. On déterminera donc très-aisément par ces formules la partie la plus sensible des variations des éléments elliptiques , dans l'intervalle compris entre le point de l'orbite où l'on a commencé à séparer la fonction perturbatrice en deux parties, jusqu'au point où l'on voudra reprendre la jnélhode des ([uadratures.

Il reste encore à délcnnincr l'altéralion de l'anomalie moyenne dans le

même intervalle. Cette altération est égale à / Sn.dt + S: — (Îct. Nommons S71 la valeur entière de Su au point de l'orbite où l'on commence à considérer la prrunèrc partie seule de R, c'est-à-dire la vaieur de Su qui

rcsulle des perturbations anlérieures; on aura, en faisant commencer ici le temps ï à ce point,

fSîi.dt 4- St — oixT = èî%.t+ Ù'îi.dt + 3c — OTT ,

ô'ti étant la variation de 7i depuis le point dont il s'agit, due à la première partie de R. Cette équation devient, en remplaçant «5e — Sr^ par sa valeur {h),

ùn.dl + o^ - oV= f) o'n.dt - '^t.(ï-ec°^-"); ^/e.sin.».(2e-e-— ecos.u) .

ndt étant égal à du (1 — ecos. m) (page 61), le second membre est égal à

0=7(1 — c cos.ii)- rîe. sin.u (2 — e- — ecos. u) constante ^^ — ^^- 5 —

, /', i'n , , N , « , du. s'm. II. (\ — ecos.u) , oe.du(2 — e' — ''ecos. u) 1

Or ( page 58 ) , /t = o , 0/4 = cîw , l — e, U = èe. Appelons vi'nq la valeur de l'expression précédente de hi, à la nouvelle origine que nous avons assignée au temps t, on aura

â'w = àn — m'nq ;

et substituant pour 8h et U leurs expressions précédentes, on trouvera

, , . . fn'{xy'—x'y) oh(\— ecos,. iif .dt + Sz — S^=z — m'nq.t-\ —^ — — — ^ — -^

ay\ — c- ey\ — e-

^ U.i\ï\.u{2 — e- — ecos.?/)

■ z + constante.

Si on retranche la valeur du second membre de cette équation , à la nouvelle origine de ti de sa valeur à un autre point de l'orbite, on aura la variation de l'anomalie moyenne dans cet intervalle, due à la partie de W indépendante de R'.

L'équation (g) est très-longue à vérifier ; en outre l'omission des constantes qui doivent être jointes aux valeurs de 5/t et U, résultant des for-

mules {m) et («), peut donner lieu à quelques difflcultés. Voici un autre moyen d'y arriver (').

Appelant comme précédemment l'anomalie moyenne Ç, et conservant les mêmes notations que ci-dessus, on aura après un temps t' quelconque, compté à partir du point où l'on commence à séparer la fonction R en deux parties ,

aç = — m'nq.V + Chi.dt + & — 3^;

les valeurs de 8n et 3ct étant données par les équations (o) et (w). En

comprenant, pour plus de simplicité, le terme / èndt dans la valeur de ^t,

on aura pour variation de l'anomalie moyenne, due à la partie de R indépendante de R', à partir de la nouvelle origine du temps t :

5Ç = — m'iiq.t' + Se — S-sT.

On a d'ailleurs en différentiant relativement à la caractéristique S, la première des équations (b), d'après l'hypothèse précédente sur la valeur de S-,

Se — (S-gt = (Îm(1 — ecos.M) — ^c-.sin.M.

En différentiant de la même manière la troisième équation (b) et désignant par V la longitude vraie, on trouve

5 ^î s. N ^ — ecosw , sin.M Su = (Sv — <Sct) . Ss. , .

Remplaçant dans la précédente ,

5, Ss.sm.u.(2 — e- — ccos.m) , (Sv — Stv)(1 — ccos»,)-

Or i; — rs étant l'anomalie vraie de la Comète, et les coordonnées x, y étant rapportées au plan et au grand axe de son orbite, on a

x = rQ,os.{v — tt), y=rrsin.(t; — ■ct); d'où

xSy — ySx = r-Sv.

Substituant cette valeur de Sv dans l'équation précédente, on obtient

(') Connaiss. des Tvmps pour 1838. Additions-, p. 84.

ôz — oisr

X'^y — yèx Ses\n.ii{2 — e- — ecos.u) ^-gt(1 — ecos.u)-

a-^/îH^ 1-e^ \/]—c'

et si on substitue pour -5^ et Sy leurs valeurs (/>), on verra que cette équation devient identique avec la formule (q).

Il arrivera souvent que (page 48), dans la première approximation du moins, on pourra négliger dans la partie supérieure de l'orbite, les perturbations de la comète résultant de la partie R' de R. Si l'on veut en tenir compte on pourra se servir des formules (d) à (h), y changer R en R', et les intégrer par quadratures. R' étant fort petit dans cette portion de la trajectoire, les valeurs de ces intégrales seront également petites; mais on peut aussi dans ce cas-là déterminer sans quadratures et par des séries convergentes, les variations des éléments correspondantes à R' . Formons pour cela l'expression de R' (page 65) :

Or .r, y, z et /• peuvent s'exprimer en fonctions de sinus et cosinus de V et de ses multiples, et des éléments de la Comète; x' , y' , z' et ?•' en fonctions de sinus et cosinus de v' et de ses multiples. On a en outre, par l'équation connue du mouvement elliptique ,

r-rfy = dl \/a[\ — e-) , r hlv' = dt \/ a\\—e'-) ;

donc en substituant dans les expressions différentielles des éléments R' au lieu de R, la partie de chacune d'elles correspondante à R', sera exprimée par une suite de termes de la forme

Hrfy'.cos. {iv 4- i'v' + A ;

7 et i' étant des nombres entiers et positifs, et H, A des constantes. L'intégrale de ce terme est

constante -\- -rj- sin. {iv -\- i'v' -f A) + H — / dv. cos. {iv + i'v' + A).

Ce dernier terme devient en raison de la valeur de dv

r'-dv' \/a(l— e-)

dv = s — • — / -

de la forme

i' ^an—e-) r r'-dv' ,. , ., » , o ^ ^ r i/a'(1-e'-^) -^ ^"

et est beaucoup plus petit que l'intégrale

H r<Zy'. COS. (iv-j- t'y' + A), ,..

lorsque — est une très-petite fraction. Il est encore diminué par la présence du facteur ^

\/a\\ — e'-) Cette dernière intégrale est donc à fort peu près égale à