IT

constante H — — . sin. (iv -\- i'v' + a).

Pour en avoir une valeur encore plus approchée, il faut retrancher de sa première valeur l'intégrale (r) , en y remplaçant au lieu de -—r- sa valeur

a''i(^\e''f{i-\- ecos. {v—r;y)]- .

a-^(l — e-;Ml +c'cos.(u'— tr')}-' '

observant que c' est très-petit, on développera cette intégrale en une suite de termes de la forme

n'jdv'sm.isv + s'v' + A'),

et on intégrera chacun de ces termes par la méthode que l'on vient d'exposer. On aura ainsi d'une manière très-convergente la valeur de l'intégrale {r) , et par conséquent , par des formules analytiques , les variations des éléments dans la partie supérieure de l'orbite.

SECTI03f II.

Des perturbations du mouvement des Comètes , lorsqu'elles approchent très-près les planètes.

Si dans sa course autour du Soleil , une Comète vient à passer très-près d'une planète perturbatrice , il peut arriver qu'elle en reçoive une action beaucoup plus considérable que de la part du Soleil , et que les éléments de son orbite autour de ce dernier soient entièrement changés. Cela pourra arriver surtout si la planète troublante est Jupiter , qui a la masse la plus considérable. Nous allons démontrer qu'alors il conviendra de le prendre lui-même comme principal centre d'attraction pendant un certain espace de temps, et de considérer le Soleil comme corps troublant.

Si l'on suppose

les six équations du mouvement de la Comète et de la planète autour du Soleil, soustraites deux à deux, donneront les trois suivantes:

d-x, { 7n + 7n' , 1 ) ,/ 1 In

où a-, , y,, z^ sont les coordonnées de la Comète rapportées au centre de la planète, et p la distance mutuelle de ces deux corps. Si cette distance

devient assez petite pour que '-. — l'emporte considérablement sur les

autres termes dépendants de l'action du Soleil, on pourra, dans une première approximation du moins, négliger ces derniers, et les équations (A) donneront le mouvement elliptique de m autour de m.'. Si nous faisons abstraction de rinlluence des autres planètes, la force perturbatrice dans ce mouvement sera la différence des actions du Soleil sur la Comète et la

vi' planète, difTérencc qui esl rclalivcraent à l'action — çr de la planète sur la

Comète , de l'ordre ', . ('). Tant que cette quantité sera i)eu considé- 771 r'

rable, on pourra, sans erreur sensible, supposer elliptique le mouvement

relatif de la Comète autour de la planète. Lorsqu'au contraire elle sera

vi' 1

fort grande, on pourra négliger — r— relativement à —^ et considérer le

mouvement de la Comète autour du Soleil comme elliptique. Pour fixer avec quelque précision la limite vers laquelle on peut changer de centre principal d'aitraclion , concevons la Comète située entre la planète et le

Soleil, et supposons — s- ou — ^^ ^ moyeu proportionnel entre -^^ et

r'' de la planète.

On obtient alors pour le ra}on r' — r de la sphère d'activité

Il sera déterminé avec d'autant plus d'exactitude que la masse de la planète troublante sera plus petite ; on peut même Taugmenter notablement sans qu'il en résulte d'erreur sensible.

La limite de la sphère d'attraction de la planète étant ainsi déterminée, on connaîtra les valeurs des coordonnées de la Comète et les composantes

(') En effet, l'action du Soleil sur la Comète est à peu près —z- ; son action sur la planète —j^

différence : — ; t- =:^ —r, — , ou encore „ ,

Or r' esl peu diffe'rent de r, on pourra donc écrire ; ou : :=z — r— , exprcs-

sion approchée de la force perturbatrice.

L'action de la planète sur la Comète , en négligeant la masse de celle-ci , est - ~ ; divisant ces

deui forces l'une par l'autre, on trouve — ï-zr , pour le rapport de la première à la seconde.

— Tt —

(le sa viU's-f cuncspondaiil a répoiiiio où clic eiiUc daii» celle splicrc d'altraclioii. Au aïojcn de ces valeurs cl des analogues rclalives à la planèlc, o!i calculera les éléuienls de roibilc relative de la Cotuèle autour de la planète, considérée niainlenanl comme centre priiicipol du mouvement. Ce calcul se fera par les formules des n"* 18 et 19 du 11' " livre de la Mécaniquc Céleslc Les coordonnées du point de la sortie hors de la sphère d'attraction de la planète, devront èlre symétriques avec celles du point de rentrée, si on les rapporte au grand axe de l'orbite relative dont la position est connue relativement au système d'axes primitif et qui change conlinuellement en raison de mouvement de Iranslalion de la planète. On jiourra donc obtenir les valeurs de ces coordonnées et des composantes de la vitesse correspondantes, et en déduire ensuite, par les formules citées du mouvement elliptique, les éléments de la nouvelle orbite autour du Soleil, éléments qui pourront dilTérer complètement de ceux de l'orbite ])récédente. Ainsi il pourra arriver, qu'après une semblable perturbation, une (Comète qui avait été visible pour nous pendant une ou plusieurs porlions de révolutions successives, se trouve décrire désormais une trajectoire (jui la maintienne à de trop grandes distances de noire globe pour pouvoir être aperçue. Inversement il pouria arriver aussi, qu'en remontant dans les |)hascs antérieures du mouvement d'une Comète, on trouve également uiu^ période de grande proximité d'une planète perturbatrice, dont l'action ail tellement attiré les éléments de la Comète, qu'elle l'ait rendue visible pour nous d'invisible qu'elle avait été précédemment.

Ces deux circonstances se sont rencontrées dans la première Comète de 1770. Cette Comète avait été découverte par Messier dans la nuit du 14 au 113 juin 1770; elle devint ensuite visible à l'œil nu, el s'approcha de la Terre vers le 1" juillet , plus qu'aucune autre Comète ne l'a encore fait. Après de nombreuses tentatives infructueuses failes par les astronomes pour l'assujettir aux lois du mouvement parabolique, Lexcll lui assigna pour trajectoire une orbite elliptique,, dont la période était d'environ cinq ans et deux tiers. Les lieux calculés au moven de ses éléments s'accordaient avec les observations faites par Messier el Maskelyne, el néanmoins la Comète dont la première apparition avait été si frappante ne reparut plus dès lors. On soupçonna que l'action de Jupiter avait été cause de celte anomalie, el l'Institut national de France proposa pour sujet d'un prix la théorie de celle

Comète. Biirckhardt le remporta (') le 15 Jiivose an IX. Ses principaux résultats se trouvent rapportés dans le IX™ livre de la Méccmiqiie Céleste. Il avait en eiïet entrepris ses recherches à l'instigation de La Place, et emplojé ses formules pour le calcul. Sans s'attacher beaucoup à la détermination des poriurhations de la Comète dans toute sa trajectoire, son principal but était d'analyser les irrégularités de sa marche aux environs de Jupiter, afin d'expliquer ses phases de visibilité et d'invisibilité avant et après 1770. Il concluait que l'attraction de Jupiter avait pu rendre cet astre visible en 1770 d'invisible qu'il était auparavant, et le rendre ensuite invisible depuis 1779, et cela parce qu'il avait passé en 17G7 et 1779 à une grande proximité de celle planèle.

Depuis Burckhardt, |)lusieurs astronomes se sont encore occupés delà théorie de celle Comète, nous citerons en particulier les travaux de M. Clausen, astronome à Dorpat, insérés en 1841 dans les Jstronomischc Nachrichtcn n"* 439 à 44 I , cl ceux de M. Le Verrier, dont un extrait se trouve dans le tome XIX des Comptes Rendus de l'Académie des sciences de Paris. Le premier de ces deux auteurs s'est attaché à délerminer avec toute Texactitude possible Toibite décrite par la Comèlc autour du Soleil pendant son apparition. Pour être parfaitement sur de ses points de départ , il a reconstruit pour tout l'intervalle de temps pendant lequel des observations de la Comète ont été faites, l'éphéméride du Soleil d'apiès les données les plus récentes; i! a calculé les lieux apparents des étoiles auxquelles les positions observées ont été rapportées; puis dans une première approximation les perturbalions produites par la Terre et les autres planètes, en prenant {)0ur base les éléments donnés par Burckhardt. Pour une seconde approximation, il calcule lui-même une orbite elliptique plus exacte, en tenant compte de ces perturbations. Il juge nécessaire de reprendre avec ces nouveaux éléments le calcul de l'inlluence de la Terre, qui dans la portion observée de la trajectoire est la plus considérable, et conservant les mêmes valeurs que précédemment pour les perturbations produites par les autres planètes, il déduit les corrections totales à apporter aux éléments pour tous les jours d'observation ; comparant ensuite les lieux observes avec les positions qui

(') Mémoires de l'Jcatl.rtcs Se, l. III (1802), Hlsloiio, p. 50. Son travail se Iroine en enlior dans les Mcinoiics de la même Académie jnuir 1806.

en résulloiil, il oblienl 279 ilifléreiices en ascension droite el en déclinaison, qui lui servent à déterminer, par la méthode des moindres carrés, les éléments les plus probables de l'orbite décrite par la Comète entre les limites de sa visibilité.

Le travail de M. Le Verrier est encore plus étendu, son but étant de se procurer non pas un système , mais tous les systèmes d'éléments susceptibles de satisfaire à l'apparition de 1T70, pour en déduire ensuite les circonstances du mouvement de la Comète avant et après cette apparition. Dans les trois premières sections de son mémoire, M. Le Verrier discute soigneusement les observations laites en l'année 1770 et calcule les perturbations produites par la Terre peiulant la période de la plus grande proximité des deux astres. Après la comparaison de la théorie avec les observalions, il se voit obligé de ne conserver que celles de Messicr ot de Maskelyne, et en conclut 84 équations de condition entre les erreurs que présentent les positions calculées avec les éléments provisoires et les corrections que doivent recevoir ces éléments pour satisfaire aux observations. La résolution de ces équations par la voie ordinaire d'élimination, indique que le cas dont elles dérivent approche du cas extrême de l'indétermination , d'où l'on doit inférer que les quatre mois d'observations sont insuffisants pour déterminer d'une manière précise tous les éléments de l'orbite. Au lieu de chercher dès lors à obtenir leurs valeurs absolues, M. Le Verrier eut l'idée de les considérer tous comme fonctions d'une même arbitraire, à laquelle on n'aurait qu'à attribuer toutes les valeurs comprises entre certaines limites, pour avoir ainsi tous les systèmes d'éléments susceptibles de satisfaire aux observations dans les limites de leur exactitude. L'introduction de l'indéterminée p, la recherche de ses limites et des fonctions de celle indéterminée qui devaient représenter les dilTérents éléments , recherche excessivement délicate, font l'objet de la ciuatrième section du travail que nous mentionnons. La solution de M. Clausen dont nous avons parlé plus haut, est une des solutions particulières comprises dans l'expression générale que l'auteur donne des éléments de l'orbite. Dans la section suivante, il calcule l'expression des perturbations héliocentriques de la Comète jusqu'au 28 mai 1779, produites par toutes les planètes. Il insiste sur cette précaution, omise dans la illéccmiqiie Céleste, el dont on concevra facilement l'importance, en observant que, lorsqu'on cherche à découvrir si la

("omètc est passée en avant ou en arrière de Jupiter, on ne peut négliger une variation de 0,045 dans le demi-grand axe obtenu par ce calcul , lorsque la distance du quatrième satellite à Jupiter n'est pas le tiers de cette (pianlité. La position de la Comète est ainsi bien connue relativement à cette planète, jusqu'au 28 mai 1779, époque vers laquelle son action vient à l'emporter sur celle du Soleil. La sixième et dernière section traite du mouvement autour de Jupiter, pris alors pour centre principal d'altraclion, et de l'orbite qui en résulte finalement autour du Soleil. Les éléments de l'orbite décrite autour de Jupiter sont des fonctions de l'indéterminée ij.. On peut les discuter dans les limites de celle arbitraire et distinguer les conséquences certaines de celles qui restent dans le vague. De la valeur du demigrand axe de celle orbite, M. Le Verrier conclut que la Comète a déciil un arc d'hyperbole autour de Jupiter, qu'ainsi il est impossible qu'elle soit devenue un satellite de cette planète, comme on l'avait quelquefois siippos('' pour expliquer sa non-réapparition. Il est possible qu'elle ait traversé le système des satellites, mais peut-être aussi est-elle passée fort loin en dehors de l'orbite du quatrième. 11 existe un système d'éléments pour lequel , à tout prendre, elle a pu aller heurter la planète elle-même, mais cette circonstance est très-peu probable, et il importe d'examitier quel cours elle a dû reprendre relativement au Soleil en échappant à l'action de Jupiter, hypothèse beaucoup plus vraisemblable. Les éléments du mouvement héliocenlrique délinilif seront encore des fondions de u. « Supposons ces fonctions formées, dit M. Le Verrier, il sera indispensable de les réduire en une table, où l'on puisse apercevoir les valeurs numériques des dilTérenls éléments qui correspondront simultanément à une même valeur de y.. Et si l'on ne peut choisir actuellement parmi les dilTérentes orbites qui en résulteront, si l'on ne peut par conséquent prédire l'époque du retour de la Comète, celte table donnera du moins tout ce qu'on peut demander aujourd'hui, les moyens de reconnaître la Comète de 1770 dans une de ses nouvelles apparitions. »

Pour achever ce qui a trait au cas parliculier que nous venons de considérer, c'est-à-dire celui de Comètes s'approchant très-près des planètes, nous ajouterons que (luoiques astronomes ont conçu l'idée (|ue toutes les orbites périodiijues des Comètes pourraient avoir une origine phinélaire .

ol ne feraient plus ainsi exceplion à une origine commune étrangère à notre système solaire qu'on leur a attribuée. M. Valz, directeur de l'observatoire de Marseille, dans une lettre insérée dans les Astron. Nachi'., n" 504, développe celte idée et assigne à chacune des Comètes périodiques (lue nous connaissons, la planète qui aurait été la cause proba!)le de la lixalion de son mouvement autour du Soleil. « Ce sont sans doule, dil-il eu teruiinaiit . des idées un peu hardies, mais c'est en ne craignant pas d'en émettre de telles et en les soumettant à un examen public, {ju'oii peut parvenir parlois à reconnaître des vérités scientifiques si bien cachées , qu'il est assez ditftcile de les découvrir. »

SK€'S'î®.'V lai.

Des Quadratures iriècaniques.

Dans tout ce qui précède , nous avons vu que , ne pouvant exprimer les coordonnées des Comètes et les éléments elliptiques de leurs orbites en fonctions du temps, considéré comme variable indépendante, les astronomes doivent se servir de formules qui donnent les changements qu'éprouvent ces éléments elliptiques par l'action des planètes pendant un temps très-court, pour déterminer les positions de ces corps célestes. Lorsque par la substitution des valeurs numériques dans ces expressions , on a calculé les changements des éléments pendant un nombre suffisant de petits intervalles de temps qui se suivent , on obtient par l'espèce de sommation connue sous le nom de quadrature lyiécaniqiie, les changements quelconques des éléments qui peuvent avoir eu lieu pendant tout l'intervalle , jusqu'au temps pour lequel on a établi ces calculs, et l'on peut ainsi calculer les coordonnées de la Comète pour ce même temps. C'est de ce procédé particulier d'intégration que nous allons dire quelques mots.

Il se fonde sur le calcul de l'expression générale d'une fonction quelconque, au moyen de valeurs numériques données de cette fonction parles interpolations 5 les valeurs données de la fonction correspondant toujours

à tk's valeurs délcrminées des variables qui y sont conlenues. Daus le problème des perlurbatioiis qui nous occupe, les fondions que nous avons à considérer ne renferment qu'une variable , qui dans les formules qui précèdent est l'anomalie excentrique de la Comète , et nous supposerons cet argument croissant en progression arithmétique. Cette forme de la suite des argumenis pourra seule être employée avec avantage dans le calcul en question.

l'employant donc l'algorithme sur lequel est fondé le calcul des différences finies, désignons par ?y une fonction quelconque de la variable indépendante X. Celte variable est regardée comme pouvant prendre successivement plusieurs valeurs déterminées £c^ , a;^ , x^, etc. , en vertu desquelles la fonction y prendra également les valeurs que nous représenterons par 7/„ , 7/, , y.. , etc. Puis nous écrirons :

y> — .Vo = ^Uo ' y'. — y. = ^y, . y. — y.^ ^y. , pt^ •

{D) AT/. — Aî/„ =z A^{/, , A?/., — Ajy, = A'-;J/, , etc.

^-y. — A-2/„ = A"j/„ , etc.

etc.

Le signe A indiquant la dilTérence entre la valeur actuelle de la quantité qui en est affectée et la valeur que reçoit cette quantité par l'effet d'un changement fini attribué à la valeur de la variable dont elle dépend, At/„ est dit la di/férence de la fonction y^. On représente par A-y^ la di/fcrencc de Ay^ ou la di/férence seconde de la fonction y^ , par ùJ'y^ la différence de A'-?/„ ou la dilfcrence troisième de la fonction y^ , et ainsi de suite.

En vertu de ces notations et en considérant la série des équations analogues aux précédentes, qu'on obtiendrait en passant aux différences d'ordres plus élevés, on voit aisément qu'on en tirera l'expression suivante de la fonction y,, :

,^ nn — 1) , n(7i — 1)(w — 2)

(E) y. = 2/„ + nA//„ H- — jTy-- ^V» + — , ^ 3 — - A"?/, +■■..+■ A"//„

et réciproquement :

Le signe 4- du dernier terme devant être pris quand n est pair, et le signe — quand n est impair.

.Si la variable x varie par la dijfévcncc constcmic Xv et que nous écri- \i(ins .?/, pour représenter la valeur de la lonction y quand on donne à la variable une valeur désignée par .r, nous devrons, en remplaçant dans la

je

première des équations qui précèdent y , par y^ , remplacer ii par — — ('),

et celte formule deviendra :

' ^ AJ.- -^ ^ yx \Ax J \-~ ' \x \\x y VAX y 1.2.3 '

>"ous regardons cette formule comme pouvant représenter les valeurs de y, non-seulement quand ou y donne à .r les valeurs o, \x , 1 \x , :i A.r , etc., mais pour une valeur quelconque de cette variable. On pourra donc, en la multipliant par d.v et intégrant entre deux limites données

Il et b, obtenir la valeur d'une intégrale définie de la forme I ydx, forme

sous laquelle on pourra toujours mettre les expressions des coefficients dilîérentiels des variations obtenues pour les éléments de l'orbite de la (Comète (section 1'% équations (d) à (i)); ces expressions étant intégrées entre des limites assez resserrées pour que le décroissement des différences \y, S.-y, etc., dont la formule ci-dessus tire sa convergence, s'opère suffisamment vite.

Pour obtenir la valeur de cette intégrale, remarquons que l'équation précédente revient à

(') Le fadeur n qui enlro dans l'cqualion (^f-J) indique en elfet le nombre des accroissements qu'a subis la \3riaLile, chacun de ces accroisseraenls étant égal à l'unilc. Maintenant que ces ac-

cioissenienls \alent A-i , leur nombre coriespondant â 1 indice x sera ésal à — .

' " Ax

"^LvAar/ Aa^J 1.2

^■" ^(^^^{^ii

Ad"

\xA 1.2.3.4

Lr( Jr) iof — ) +35, ^\\ù.xJ VAX/ ^ VA.r

^•°',à;+«aTlfe

[(^■:-KD+«(£)-'<£)+-<i^)-"«a5:^

+ elc.

3Iulliplianl par dx cl inlégraiii de x ~- o jiis(jirà .r = A.r, il viendra

j'y.dx =r Aa-[//„ + i A.?y„ — 1 A7/„ + ^ A^</„ — 4^ A'y„

H- rfô A'y„ - ^,h ^'y. + etc.] ;

expression qui donnera la valeur de la première parlie, comprise enire les

j'i' limites 0 et Ao^, de l'inlégrale proposée 1 y.dx. La même formule fournira les expressions des parlics suivantes de celle intégrale , en écrivant //. ' y. ^ 2/5 > etc. , à la place de y^ ; d'où l'on conclut en les additionnant :

ni.f

/ y.dx = \x

î/u 4- ?/, -t- ?/. -h .... +2/,,^, + 5 {^y. + A2/. + Az/, 4- .... + Aî/„,) — t'2 (^'2/., + ^IL + A-^z/, + ....+ A-.y„..,) + yï (^'Z/u + A^'2/, + A'-^y, + ..•• + A^J/,^,) — etc.

ol ri'iiiarquanl (juc

■^Vo -h ^y, + A.v, + .... 4- Aï/.. ., = y, — .v„ , A-f/„ + A7/, 4- A-j/, + .... + A-j/„, = ^y—^y., , A"î/„ + A'y, -i- \y^ + ....+ AX , = A-f/„ — A-î/„ ,

elc, on changera l'expression précédenle en celle-ci :

1 y da

in

— t's (^2/. — AZ/J 4- ^. (A^?/„ — A^2/J

— .',^, (A-"'i/„ — A^>7/„) + T^vi (-^'Z/. — A^Z/J

— ïïri^Tï (AX - A^Z/J + etc.

Olle fornuile donne un moyen sûr de calculer la valeur de rinlégrale

I Ij dx enlre des limites données, en connaissant un certain nombre de

valeurs particulières de la fonction y, correspondant à des valeurs de la Aariable en progression arithmétique. Le premier ternie seul

Aj:(iz/o + z/. + y. + y-.. + ••■• + z/n-. + \y.)>

(loiuie déjà une valeur approchée de l'intégrale; les aulres sont la correc- 1ion de celle valeur. Le résultat final sera d'autant plus exact que, le riOinbrc » étant plus grand, les ditîércnces qui composent les ternies de correction sont plus petites.

Mais observons que les valeurs de A?/,,, A-?/„ , A"?/,,, etc., dépendent de ?/„^, , y ,^i , Z/n+j » ct«^> cl ion est censé n'avoir calculé que les fonctions y„, y, , ■■■■ Z/u Pour résoudre cette difficulté, nous aurons recours a une autre expression de la dilTérence A'//,,, qui est (noie VII) :

A^ Z/.,-.-3 + t^lc-

Taisant dans cette formule r = 1, r-2, r=3, etc , on obtient les valeurs

(le Aj/„ , A"»/ , A''?/,, , elc, qui mises dans la relation (F) donnent

2^0 + !/. 4- Z/. + î/3 + •••• -t- !/,.-> + .Ô!/n — ë^h (A'2/„. — A^î/J — etc.

Celle lormule ne prcsenle plus l'inconvénient de la précédenle, toutes les diflérences qu'elle renferme pouvant être calculées au moyen de ?/„ , y, . //, .... 7/,. Pour rappliquer aux variations des éléments de Torbile de la Comète, on prendra comme variable indépendante, c'esl-à-dire comme abscisse delà courbp dont l'intégrale représente l'aire d'un segment, fanomalie excentrique de la Comète, <}ue nous avons précédemment désignée jiar «, et si l'on représente par Qdii la variation diflérentieile dun des éléments de l'orbile, on fera varier u de degré en degré, ou de deux degrés en deux degrés, et on déterminera les valeurs correspondantes de (^). lin les désignant par Q„ , Q, , Q, .... Q„, la formule (G) donnera la valeur

/ ()dii ou la variation de l'élément de Forbile , correspondante a la variation supposée dans l'arc de l'anomalie excentrique. Le plus souxent , il suftira de ne considérer dans celle lormule que la première diiïérence Unie ; mais vers les points où la Comète est près du minimum de sa dislance à la planète perturbatrice, ce qui rend fort considérables les valeurs de

- - et par conséquent celles de () , il faut avoir égard aux dilférences suivantes, il sera même utile alors de dimimier l'inlervalle qui sépare les coordonnées équidistanles , en faisant varier l'anomalie excentrique de demi-dcirré en demi-degré.