PREMIER MÉMOIRE

\ A'viant Descartes on abandonnait les quantités négatif ves, enles regardantcomme des symbolesd'absurdité, delà même manière qu'on regarde maintenantles quantités dites imaginaires. Nous pouvons dire qu'on avait raison : en effet, un marchand qui en résolvant un problème posé pour calculer son gain trouve du négatif, est dans Tabsurde , il veut trouver ce qui tfexiste pas , car il n'y a pas dans ce cas de gain pour lui. Pour être dans le réel , en résolvant une question, il faut nécessairement que le résultat soit une grandeur naturelle, c'est-à-dire, située dans l'échelle des grandeurs existantes ou concevables , qui sont depuis zéro jusqu'à l'infini (positif). Si ce résultat est compliqué par quelque signe qui en altère la nature ,

i QUANtlTÉS IMAGINAIRES.

par le signe — par exemple , il n'appartient plus à l^échelle naturelle des grandeurs. La question traitée ne peut donc alors avoir de résultat, en d'autres termes, elle est absurde ou impossible , en entendant par question absurde une question qui consiste à chercher un résultat qui n'existe pas.

2. Malgré ce que nous venons de dire , on sait le parti •qu'ont tiré des quantités négatives Descartes et ses successeurs , surtout en géométrie. Il serait a propos de voir si les imaginaires qui doivent acussi leur existence à des questions impossibles , pe pourraient pas s'interpréter et être utiles comme les quantités négatives ?

3. Or, en examinant la chose de près, on trouve que les quantités imaginaires peiivent être représentées en géométrie tout aussi légitimement que les quantités négatives , et qu'elles complètent par leur représentation un grand tout géométrique donjt le positif et le négatif ne sont que des cas particuliers t car on trouve que si le positif doit se prendre à droite (par exemple) et le négatif à gauche, l'imaginaire doit se prendre tout autour de l'origine , c'est-à-dire que l'imaginaire répond à une direction quelconque dont le positif et le négatif ne sont , comme nous avons dit, que deux cas particuliers. L'on comprend quelle étendue doit donner aux résultats une pareille interprétation, et pour le moment, et à mesure qu'on en étudiera davantage les conséquences I et combien doivent être gênées les théories mathématiques sans cette extension. Elles sont comme une machine où la moitié des rouages ne fonctionnerait pas. De là, peut-être, une partie de la répugnance qu'éprouvent les commandants pour ces sortes de questions. Nous allons essayer

de dire là-dessus , ou d'ajouter à ce qui a été dit, ce que nous pourrons , pour le développement de ce point de la science qui paraît si important.

4. Même la représentation dont nous venons de parler et qui a lieu sur un plan , n'est pas encore tout ce dont a besoin la géométrie. Car nous aurons de plus à parler des lignes qui tournent en rayonnant autour d'un point dans l'espace y comme celles qui tournent dans un même plan.

5. Pour démontrer ce qui regarde la construction des quantités imaginaires , nous devons employer des raisonnements semblables à ceux gui servent pour les quantités négatives , et dont il faut bien reconnaître Y esprit.

6. La règle donnée parles algébristes, quand on arrive k un résultat négatif x = — R , par exemple , est de changer le signe de x dans Féquation du problème et de voir ensuite si quelque nouvel énoncé pourrait donner lanouvelle équation, et, dans ce cas, Yon pourrait prendre pour la valeur négative la grandeur R , dans le sens qu on a eu en vue pour l'inconnue dans la seconde mise en équation. Ce second énoncé se trouve presque toujours.. Mais nous pouvons généraliser ce principe :

7. Je suppose qu'en résolvant une question j'arrive à un résultat qui n'est pas naturel parce qu'il est affecté

d'un signe qui en change la nature , comme imaginarité, ou signe négatif, ou autre modification inconnue. Il est clair que si avant d'entreprendre le calcul, on s'était attendu à cette modification du résultat , on aurait pu obtenir un résultat naturel. Il n'y aurait eu qu'à affecter l'inconnue 0? de ce signe ou modification en commençant

le calcul. Au lieu d'avoir à la fin du calcul x = grandeur (modifiée) y on aurait eu x {modifié) =: grandeur (modifiée). La modification peut se supprimer de part et d'autre , puisqu'elle est la même , et il vient x =: grandeur.

8. Cette grandeur, que j'appellerai encore R, se présentant alors naturellement, est la réponse à la seconde équation , c'est-à-dire à l'équation modifiée par le changement de a? en a: modifié.

Il faut ensuite voir s'il existe quelque nouvel énoncé dont l'équation modifiée soit la traduction ; et R serait la réponse à ce nouvel énoncé. Si alors le calculateur veut changer l'intention qu'il avait en posant le premier énoncé,, pour celle du second, ou bien l'étendre de manière à comprendre le second; on pourra dire que le résultat extraordinaire obtenu d'abord , c'est-à-dire R modifié , est une réponse à la question. R, pris sans signe, exprime la grandeur cherchée , et le signe qui l'afiecte avertit de la manière dont elle doit être prise, qui est le sens de l'intention du second énoncé.,

9. Si par exemple f(x) =0 a conduit à a? = — R, o» mettra — x dans l'équation qui deviendra f(( — x)) = et l'on arrivera, en la résolvant , à — a? = — R, d'où x =: R. Si l'on avait obtenu ar = RV~i » on mettra xy~i dans l'équation et l'on aura f{(xy^ )) = qui résolue donnera xV^ = R^^, d'où a: = R.

10. Si maintenant on trouvait un nouvel énoncé qui convint à l'équation modifiée dans le cas de x négatif, ou bien dans le cas de x imaginaire , le résultat négatif, ou le résultat imaginaire serait une réponse à la question..

H. Or, pour le cas de x négatif, il suffit de prendre pour Tinconnue une grandeur en sens opposé de celle qu'on avait eu en vue dans la première mise en équation , pour arriver à Téquation modifiée , parce que la grandeur opposée fait soustraction là où Fautre faisait addition et vice versa : car deux grandeurs sont dites opposées lorsqu'elles peuvent faire effet sur la même grandeur. Tune en l'augmentant, l'autre, en la diminuant. Le gain et la perte d'un marchand sont deux grandeurs opposées parce qu'elles font effet sur C avoir du marchand, l'une en l'augmentant , l'autre en le diminuant. Aussi, la réponse — R dans le calcul du marchand , peut être prise pour de la perte, et être considérée comme une réponse à la question, en imaginant que le marchand a changé son intention et qu'il dit : je veux chercher de la perte, ou bien qu'il l'a étendue en disant je veux chercher tout ce qui intéresse ma position , gain ou perte.

12. Il n'est pourtant pas dit qu'on puisse toujours utiliser les résultats négatifs. Quelquefois la question est de nature à ce que l'inconnue n'ait pas ou n'admette pas d'opposée. Si, par exemple, pour déterminer la date d'un événement , on avait entre les chiflres qui doivent exprimer cette date, une relation qui traduite en équation et résolue , mène à des valeurs négatives pour les chiffres, on ne pourrait tirer aucun parti de ce résultat, parce que les chiffres négatifs ne sont pas admis dans notre système de numération.

43. Eh géométrie, l'opposé d'une ligne allant à droite est une ligne allant à gauche (41), car la ligne allant à gauche diminue ce que la ligne allant à droite augmenterait.

6 QUANTITÉS IfflAGINÀIRES.

1 4. Par aller à droite et à gauche , nous entendons que la ligne croît à partir d'une de ses extrémités , que nous appellerons origine de cette ligne , et va jusqu'à sa seconde extrémité, où elle s'arrête. Quand nous dirons l'extrémité d'une ligne , c'est de la seconde qu'il s'agira ou de son bout, par opposition à l'origine.

15. Donc, si en résolvant une question où l'inconnue est une ligne qu'on croit à droite d'une origine, et qu'on trouve un résultat négatif — R, si l'on avait eu l'intention de la chercher à gauche , on aurait trouvé -|-R. Donc on peut , si Von veut , prendre — ^R pour une réponse à la question , en regardant R comme la longueur absolue de la ligne cherchée , et le signe — comme avertissant que c*est à gauche qu'elle doit être prise.

16. Une quantité négative vient toujours de ce qu'il y a eu une soustraction où la quantité à soustraire s'est trouvée plus grande que l'autre. Nous pouvons donc considérer un résultat négatif — ^R comme ayant été (a — b) avant la réduction. Ce point de vue nous sera utile pour les résultats imaginaires.

17. Nous pouvons ne pas opérer cette réduction sur les nombres abstraits, mais faire une opération graphique qui nous mène au même résultat. Nous partirons de l'origine, nous parcourrons a à droite. De l'extrémité de a , comme origine de 6, nous parcourrons b à gauche. Il est facile de voir que son extrémité tombera là où serait tombée r extrémité du résultat si l'on avait fait la réduction avant la construction. Cette construction sert pour le résultat positif comme pour le résultat négatif.

18 Nous dirons en passant qu'il ne faut pas s'étonner

X^UANTItÈS IMAGINAIRES. 7

de ce qu'un résultat négatif, ou bien une soustraction où le nombre à soustraire est le plus grand, paraisse une chose absurde sur les nombres abstraits et que cela soit quelque chose de possible dans Tapplication. Cela vient de ce que dans les grandeurs concrètes , dans les distan* ces géométriques, par exemple , l'origine de la grandeur est fixée arbitrairement et non nécessairement. Là où nous faisons commencer une ligne , n'est pas l'origine naturelle de l'existence, parce que ce point est dans l'espace : avant l'origine fixée il y a encore de la place. Il faudrait commencer à l'infini pour qu'il n'y en eût plus : tandis que dans les grandeurs abstraites, il n'y en a pas avant zéro , que l'on considère comme l'origine de l'existence.

19. Il est bon de remarquer toutes les manières dont cette construction peut se faire , par ce que cela pourrait nous être utile pour les imaginaires. Or , nous pouvons commencer par b comme nous avons (17) commencé par a : c'est-à-dire, parcourir b à gauche, et de son extrémité, a à droite : l'extrémité de a donnera le point, comme l'extrémité de b l'avait donné. Nous pouvons dire qu'après avoir posé deux règles, l'une à droite de l'origine, longue comme a , l'autre à gauche , longue comme b , nous traînons une des règles jusqu'à ce que son origine soit sur l'extrémité de l'autre , et l'extrémité de la règle qui s'est mue, donne le point cherché.

20. Nous dirons encore que si au lieu de lignes , il s'agissait de forces , disposées à droite et à gauche de l'origine, comme les lignes, la réduction se ferait toute seule. Une bille, frappée à la fois par deux coups opposés a et i, irait, au bout d'un temps donné, au même point où

elle serait allée en la frappant successivement. Remarque importante.

2\. Venons aux quantités imaginaires. Tout résultat imaginaire Rj/ITi ou V^r« peut être censé, à la manière des quantités négatives (1 6) , avoir été sous la forme 1/pi— qf». Gardons cette forme pour la construction. Tant que p est plus grand que q , nous savons cons* truire , et cette construction a une analogie avec la cons-^ truction de a — b que nons devons remarquer. Pour construire a — 6 , suivant" un des procédés observés ( 19 ) , après avoir posé à droite de Forigine la longueur a, €[u*on peut imaginer représentée par une règle matérielle , et avoir mis b à gauche, je fais mouvoir Torigine de a ou de la règle sur Taxe gauche , jusqu'à Fextrémité de b. L'extrémité de a donnnera le point cherché.

Pour construire j/pi— ^« (p étant plus grand que q) on sait par la propriété du triangle rec-

\ tangle qu'on y arrive de la ma-

nière suivante : on prend p à

A C P droite de l'origine, il ira par

exemple au point P, et q sur un axe vertical , ou des y, qui viendra par exemple au point Q. Maintenant on fait mouvoir l'origine de p (ou de la règle) sur q jusqu'à l'extrémité de q qui est au point Q. L'extrémité de la règle donnera le point cherché C sur l'axe horisontal.

Si q se trouve aussi grand que p, l'extrémité de la règle vient à l'origine , et l'on ne trouve pas de reste.

Si 9 est plus grand que /? , on ne trouve aucun reste

sur Taxe horizontal ou des x. De plus ce manque de résultat de la nature cherchée ne se manifeste pas par zéro , mais par Rl/^ analytiquement , et par une impossibilité de construction géométriquement.

Maintenant si quelque construction géométrique peut donner un résultat analytique réel , nous serons autorisés à prendre le résultat géométrique comme la signification de l'expression imaginaire , de même que la grandeur à gauche est prise pour la signification de Texpression négative. Or, si au heu de chercher le résultat sur Taxe des X, on le cherche sur la perpendiculaire ou l'axe des y , en opérant avec p sur q comme on voulait opérer avec q sur/?, c'est-à-dire, en faisant glisser Torigine A de ç jusques à l'extrémité de /?, on trouve un résultat sur Taxe vertical, c'est-à-dire, un résultat dont la direction est perpendiculaire au résultat qu'on croyait trouver. Rien n'empêche de prendre ce résulat comme une réponse à la question, non pas telle qu elle était suivant la première intention , mais modifiée: au lieu de dire^e cherche un résultat horizontal, on doit dire^c cherche un résultat vertical, ou bien encore l'intention doit être étendue (8) en disant je cherche un résultat horizontal ou vertical, c'est-à-dire, sur le système ou la croix des axes.

221 Quelquefois on emploie ce qu'on appelle le problème des courriers pour démontrer ou confirmer la théorie des quantités négatives. C'est un problème où, à cause de sa simpHcité , le calculateur peut voir sans calcul la nature du résultat. Or il y a un cas, celui où le courrier parti de plus loin irait moins vite , dans lequel on voit que le résultat doit être pris en sens contraire de l'intention pre-

mière. Alors on interroge le calcul qui répond par un résultat négutif, et Ton conclut que les résultats négatifs doivent être pris en sens contraire; ou bien si la démonstration de cette théorie a été donnée autrement, on regarde le problème des courriers comme une vérification de la théorie^

De même, soit tme ellipse a'î/'--f-ftVt=:a*6*. On sait qu'elle a ses foyers ou son excentricité sur l'axe des x si a est plus grand que b , et sur Taxe de y si b est plus grand que a. Demandons au calcul cette excentricité en agissant comme pour la trouver sur Taxe des x, quand nous savons qu elle est sur l'axe des y, ou perpendi*culaire à la position que nous faignons devoir trouver. Le calcul répond par une excentricité imaginaire. En prenant Timaginarité pour de la perpendicularité on n'a pas besoin de recommencer le calcul pour trouver les foyers , et l'intention du calculateur doit être : je cherche le foyer, qui peut se trouver ou sur Vaxe horizontal on sur l'axe vertical.

Grandeurs à partie réelle et à partie imaginaire.

23 Si l'on a une grandeur à partie réelle et à partie imaginaire , comme o-|-iV-^, a et b représentant des grandeurs positives, par exemple, la partie réelle se prendra à droite et la partie imaginaire en haut , à partir de l'extrémité de la partie réelle (17) , et le point où arrivera l'extrémité de b pourra être regardé comme le point cherché. Mais il faut ici étendre l'intention encore plus que ci-dessus ; il faut se dire , je cherche un point qui peut être situé non seulement sur la croix des axes (21), mais encore sur tout le plan. De sorte que ces

QUANTITÉS IMAGINAIRES. If

deux grandeurs , de nature diiférente , et dont Tassimiktion parsdt impossible , donnent par leur réunion un résultat en géométrie. Cela vient de ce que la géométrie a des positions qui n*ont aussi rien de semblable entre elles: car que dire surVidentité dénature d'une ligne et de sa perpendiculaire ? Il y a comme Ton dit quelquefois un abîme entre ces deux natures. La réunion de ces deux sortes de lignes si hétérogènes , offre pourtant un résultat qui est quelque chose , savoir : l'arrivée à wn point cherché.

24 La mécanique va nous donner quelque chose de plus intime, sur la combinaison des grandeurs réelles et des imaginaires. Deux grandeurs réelles rapprochées par addition (algébrique] ne restent jamais séparées, elles se réduisent en un seul résultat de même nature, ou positif ou négatif. Cela se fait par une opération analytique que nous savons faire et qui est Taddition ou la soustraction. Quant aux grandeurs réelles et imaginaires, comme a-\'bKZi, y aurait-il aussi moyen de ne pas les garder séparées , mais d'en faire un tout homogène ? Laisons-nous diriger par la mécanique, qui déjà peut faire, comme nous savons (20), la réduction desgi'andeurs réelles. Que Fonapplique deux forces sur Taxe horizontal à Torigine , ou toutes les deux positives , ou bien toutes les deux négatives , et imaginons que ces forces sont représentées par des droites, ou mieux encore considérons Tefifet de ces forces : le chemin d'une bille fait dans un temps donné, par l'impulsion de ces forces. Le chemin de la bille nous donne le résultat de ces deux causes , que nous appelons résultante , et c'est la somme algébrique des grandeurs ou des lignes qui représentent les forces. De sorte que , lors même

que les forces ou les grandeurs ne seraient pas réunies, ou ne seraient pas de même nature , elles ne sont pas de même nature si Tune est positive et Tautre négative, elles ne sont pas réunies, si au lieu de donner un coup qui soit la somme (algébrique) des deux coups on donne les deux coups; hé bien dans ce cas, dis-je, la mécanique se charge pour ainsi dire de l'addition et nous donne, comme nous avons remarqué (W)^ le résultat, qui est la résultante des deux forces. Ce sont deux causes qui se fondent pour ainsi dire ensemble , pour ne donner qu'un résultat, parce qu'il ne peut pas y en avoir deux. Nous sommes donc autorisés à dire somme mécanique ou somme statique au lieu de somme algébrique.

La mécanique fait doue fadditiori de deux forcés qui sont sur la même ligne, c'est-à-dire, trouve une troisième force qui produit le même effet que les deux composant

tes. Mais elle fait aussi une espèce d'addition de deux forces qui ne sont pas sur lamême ligne, elle trouve une troisième force qui fait le même effet que les deux premières prises avec leur grandeur et leur position : c'est, comme l'on sait, la diagonale du parallélogramme ou du rectangle des composantes, c'est-à-dire, qu'elle remplace par un tout homogène l'ensemble de deux grandeurs qui ne l'étaient pas.

25 Rien n'empêche en géométrie de remplacer a-f"^ V-^ par la diagonale du rectangle ou l'hypoténuse du triangle rectangle dont aeib sont les côtés,car en suivant cette diagonale nous arrivons au même point. L'addition statique ou composition des forces, répond donc à f addition des imaginaires. On peut par là, substituer un tout

homogène à deux parties de natures différentes entre

elles. Le tout qui est homogène en lui-même ne l'est ni avec une partie ni avec l'autre. Il y a pour ainsi dire fusion des deux, natures , comme des deux grandeurs absolues et rien ne demeure ce qu'il était.

26 D'après cela , l'extension à donner à l'intention du calculateur peut être rendue Wisi: je cherche un point situe' à l'extrémité d'une droite partant de l'origine, et faisant un angle quelconque avec l'axe des x positifs.

Si le résultat est tout réel et positif, l'angle à l'axe est zéro. Si le résultat est négatif, l'angle à l'axe est de deux droits. Si le résultat est tout imaginaire , l'angle à l'axe est tft droit. Si le résultat est en partie réel et en partie imaginaire, l'angle à l'axe ou l'inclinaison a pour tangente trigonométrique la partie imaginaire divisée par la partie réelle, c'est-à-dire -, s'il s'agit du résultat a+6l/^.

C'est donc un résultat homogène, une ligne , qu'il faut avoir en vue , en y faisant entrer l'idée d'inclinaison.

27 Considérons encore les foyers de l'ellipse , ou comme preuve ou comme vérification de la manière de prendre les grandeurs à partie réelle et à partie imaginaire. La distance du sommet de l'ellipse au foyer est a+Vo*— 6». Si b devient plus grand que a, le radical devient imaginaire^ et en le prenant verticalement à la suite de a qui est horizontal, on arrive au foyer. Si le point de départ n'était pas au sommet, mais par exemple à un point de l'ellipse, il y aurait des considérations dans lesquelles nous entrerons plus tard.

14 QUANTITÉS rMAGINAIRES.

Calcul des grandeurs imaginaires,

28 Une formule en nombres réels étant donnée , le calcul réduit cette formule en un seul tout ou résultat, eit effectuant les opérations indiquées; et si l'on est convenu que ces nombres sont des lignes , le calul trouve une ligne qui est le résultat final. Si la formule est composée de grandeurs imaginaires , qui toutes sont réprésentées par des lignes avec leur inclinaison (26) , le calcul aura pour objet de suivre les modifications qu éprouvent ces lignes par le calcul et d'arriver à la ligne finale qui représente le résultat de l'opération (tant en longueur qu'en directionj. ^^

29 Addition, Nous avons vu (25) que l'addition de deux grandeurs , Tune imaginaire et Tautre réelle, comme a et by~i, se fait parla statique, c'est-à-dire, par la diagonale^ du rectangle. Si l'on a un nombre quelconque de grandeurs imaginaires comme :

c+dV—\ P

à additionner, ou plutôt à construire; on fera encore de même par la statique , c'est-à-dire , qu'on composera ensemble toutes les parties réelles : ce qui donnera une résultante sur l'axe des x dont la longueur sera a+c-|-p+e ; ensuite les parties imaginaires ensemble : ce qui donnera une résultante 6-|-rf-f-/4-7 , sur Taxe des. y^ et l'on tirera la diagonale.

QUANTITÉS IMAGINAIRES. i6

On pourrait encore composer a et i V^—ï ensemble : ce ^ui donnerait déjà mie résultante inclinée ; ensuite c+rfV-^ donnerait aussi une résultante inclinée. On composerait ensuite ces deux résultantes ensemble par le parallélogramme des îoTces. Avec la résultante qu'on trouverait, on composerait une de celles qui restent, ainsi 4e suite. Le lecteur se démontrera facilement que ces deux manières de construire mènent au même résultat. D'ailleurs la statique le fait voir bien simplement, car on doit arriver à la même résultante de quelque manière que Ton compose.

Nous pouvons encore dire qu'on peut composer par le j)olygone connu on statique, que l'on forme en mettant avec leurs inclinaisons, les forces ou lignes les unes à la suite des a/utres, de manière toujours qu'à l'extrémité de la première soit l'origine de la seconde , à l'extrémité de la seconde soit l'origine de la troisième, ainsi de suite, et la résultante , ou le résultat , ou la somme statique de ces forces , ou de ces lignes , est la ligne qui irait de l* origine de la première composante à ï extrémité de la dernière, c'est-à-dire , qui fermerait le polygone en partant de l'origine. Ceci est la généralisation de l'article (25).

Quand on' compose les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble , il est facile de voir qu'on suit l'esprit de ce dernier procédé , car on met bien les lignes les unes à la suite des autres avec leurs inclinaisons , qui sont nulles pour les unes , et un angle droit pour les autres.

30 La Soustraction revient à l'addition en changeani les signes.

31 On sent que les variations qu'éprouvent dans leur inclinaison les grandeurs imaginaires, par l'addition et les autres règles de rarithmétique et en général par des combinaisons quelconques , peuvent faire tomber les résultats dans l'axe (des ar), c'est-à-dire, donner du réel. Voilà pourquoi Ton dit que les quantités imaginaires quoique imaginaires ne doivent pas toujours être abandonnées: que souvent par des combinaisons on en tire des résultats réels. C'est prendre les imaginaires au passage à l'axe pendant leur mouvement; mais on peut les considérer pendant tout le cours de leurs variations.

32 Multiplication. Quand une grandeur imaginaire ou inclinée est multipliée par une autre, elle éprouve problameraent une variation et dans sa longeur et dans sa direction. Nous pouvons donc dire qu'il y a deux règles , celle des longueurs et celle des inclinaisons. Or la règle des longueurs est quelles se multiplient et la règle des inclinaisons c'est que les inclinaisons s'ajoutent. Nous allons le voir tout en profitant des théorèmes analytiques connus sur ce point.

Pour cela considérons une droite inclinée , d'une seule unité de longueur. Son expression analytique sera une partie réelle et une partie imaginaire a-^-ôV^, choisies de manière que leur hypoténuse , qui est la droite en question soit égale à l'unité. Mais dHors la partie réelle peut être considérée comme le cosinus et la partie imaginaire comme le sinus de l'inclinaison de cette ligne quiestl'unité, c'est-à-dire, que l'unité, soit dans sa position, soit dans sa longueur , sera exprimée par

cosv. -|- sinoi V—i ,

en entendant par « rinclinaison de cette unité linéaire , ou Fangle qu'elle fait avec Taxe des a? (positifs). Prenons une seconde unité inclinée co56-|-5m6l/Iî»poureninultiplier la première. On sait par la trigonométrie que le résultat sera :

c'est-à-dire, que le produit n'a pas changé de longueur , ii est toujours l'unité ; mais cette unité a la somme des inclinaisons des facteurs.

Maintenant nous remarquons que tout nombre concret peut être considéré comme composé d'une unité concrète multipliée par un nombre abstrait. 1 5 francs peut être considéré comme 45 fois un franc. C'est alors la nature de l'unité qui donne la nature du nombre. Si au lieu d'un franc on met un sou, un mètre, etc., la nature du nombre change et le nombre abstrait demeure. De même une ligne inclinée, d'une longueur quelconque, d-j-ôj/Zî, peut aussi être considérée comme une unité linéaire inclinée multipliée par un nombre abstrait. Cette droite inclinée est l'hypoténuse d'un triangle dont a et b sont les côtés. Il faut imaginer que le triangle se rapetisse en demeurant semblable à luimême, de manière à ce que l^ hypoténuse devienne t unité. Pour cela il n'y a qu'à diviser et Fhypoténuse et les côtés par le même nombre , et ce nombre doit être le nombre abstrait qui marque la longeur de l'hypoténuse , savoir Vô^+T» , puisque cette hypoténuse doit se réduire à l'unité linéaire. Dans le même temps les côtés du triangle se réduisent l'un au cosinus et l'autre au sinus de l'inclinaison. Si elle est «on aura co^a+^iViaj/IIî, c'est-àdire, une seule unité ayant l'inclinaison de la ligne totale.

Et en multipliant cette unité par le nombre abstrait V«H^» qui a fait la division , la ligne devient ce qu'elle était. Donc a+ôl/Hî peut être mis sous la forme /^(co^a^-^ma V^)» en désignant parp, le nombre abstrait

Le nombre abstrait j» est souvent appelé module , par les géomètres, et ils appellent réduite la partie qui, suivant nous , représente Tunité inclinée.

Maintenant , qu on nous propose deux droites inclinées a+ftl/Hï et c+dVHî , d'une longueur quelconque. Nous les réduirons respectivement aux formes p^cosoi-^-sino^ylIi) et qÇ^cos^-^-sin^y^), Alors les nombres abstraits p et q, qui sont les longueurs des droites inclinées, se multiplient ensemble. Nous savons que l'unité du produit aura les deux inclinaisons; et la longueur aura le produit des longueurs.

33 La règle des signes de la multiplication algébrique est un cas particulier de ceci + par + donne + » + par — donne — etc. dit-on ; ou bien + 1 par + ^ donne + ^ » + 1 par — 1 donne — 1 etc. Nous pouvons regarder

(cosa -j- 5ma y^] , qui affecte le nombre abstrait/? , comme une espèce de signe avec l'unité, puisque c'est l'unité dans une certaine position,. et -{-1 est aussi l'unité dans la position à droite , — i l'unité dans la position à gauche. +1 c'est l'unité avec une inclinaison zéro. En multipliant -f-^ par-|-1 on doit trouver la somme des inclinaisons, c'est-à-dire, l'inclinaison zéro ou+^ • — ^ a une inclinaison de deux angles droits : multiplié par+1 , qui n'a point d'inclinaison, il doit donner deux droits ou — 1 . Ensuite — 1 par — 1 doit donner les deux inclinaisons ou quatre droits, c'est-à-dire, revenir à Taxe à droite, ouà-j-1.

34 Division, Dans la division les longueurs doivent se diviser, et\e^ inclinaisons se soustraire, par des raisons tirées de la multiplication.

35 Pour t élévation aux puissances , il est facile de voir (en considérant des facteurs égaux), que la longueur doit s'élever à la puissance et l'inclinaison se multiplier par l'exposant de la puissance. Ainsi

( cosa -|- sin(x\/^i)p)"' =' (C0S(x- + ma"l/IIî^"jt?"* = (cos moi-^sin mo^y^Jp"^.

Eh ne considérant que l'élévation de Funité inclinée , on a (co5a+mayZ7j°»= (cos mo^-^sin ma*|/^), comme Ton saitfpar le théorème de Moivrej.

36 Pour l'extraction des racines il est facile devoir par. rélévation, qu'on doit extraire la racine de la longueur et diviser l'inclinaison par t indice de la racine.

37 D'après ces règles une formule en imaginaires ou lignes inclinées étant donnée, on pourra trouver le résultat : c'est-à-dire, trouver en grandeur et en position, la droite qui représente le résultat de la formule. On pourrait pour cette opération employer le mot composer ou construire une formule.

Variation des fonctions algéMques,

38. La variable x peut varier et dans sa longueur et dans son iric/mai^on, c'est-à-dire, que son extrémité peut parcourir le plan des x y. Nous allons voir les variations qu'éprouve une fonction (algébrique^ de cette variable , ou bien ce que parcourt son extrémité.

Considérons d'abord un seul terme d'un polynôme , ou une seule puissance delà variable, x'' par exemple. Occu-

pons-nous d'abord de Vmclinaison, Pour cela ne mettons qu'une unité à la place de x , une unité inclinée. D'après ce qui précède (35), la fonction ou la septième puissance, sera l'unité avec une inclinaison sept fois plus grande que celle de la variable. Maintenant imaginons que cette variable ou unité inclinée de cinq ou six degrés, si l'on veut, à

Taxe des x (positifs), tourne de manière que son angle d'inclinaison croisse. L* angle d'inclinaison de la puissance septième croît sept fois plus vite. Les inclinaisons que l'unité ou la variable a à parcourir , c'est depuis une inclinaison zéro (je veux dire un angle d'inclinaison), c'està-dire, depuis sa coïncidence avec l'axe des a? (positifs), jusqu'à un tour , deux tours, jusqu'à une infinité de tours positifs , et jusqu'à une infinité de tours négatifs. Il n'y a que deux manières de tourner. Durant ce temps la fonction parcourt la même échelle, mais sept fois plus vite.

Nous voyons donc ici , ainsi que le disait Monge , comme un spectacle mouvant dans une figure de géométrie, où nous pouvons suivre de l'œil les variations simultanées de la variable et de la fonction. Arrêtons-nous un peu pour bien considérer les relations qu'il y a entre les puissances et les racines de l'unité.

39 Vunité inclinée élevée à une puissance ne donne que l'unité, mais inclinée autrement , sept fois plus inclinée , s'il s'agit d'une puissance septième. (Par sept fois plus inclinée j'entends ayant un angle d'inclinaison sept fois plus grand , ce qui est presque contraire au sens du langage ordinaire , mais c'est plus court). Ces unités , Tune racine et l'autre puissance , sont dans ce cas en partie réelle et en partie imaginaire l'une et l'autre , ce

qui est le cas général. Si Ton fait tourner Tunité racine, l'unité puissance tournant plus vite, elles peuvent se trouver ou Tune ou l'autre dans des positions remarquables. L'unité puissance, par exemple, tombera dans Taxe horizontal, c'est-à-dire, deviendraréelle, ou+1 ou — 1 , etl'unité racine n'y étant pas , cette unité réelle aura pour racine l'unité inclinée, ou en partie réelle et en partie imaginaire, ce qui est assez singulier. L'inverse ne peut pas arriver^ s'il s'agit d'une puissance entière: parce que l'unité racine, pour tomber dans l'axe, a besoin d'avoir fait ou un demitour, ou deux, ou trois, etc. , ce qui multiplié par un nombre entier, savoir le degré de la puissance , fait un nombre entier de demi-tours pour l'unité puissance , ce qui la fait ^omèer dans Vaxe. L'unité puissance peut encore coïncider avec l'unité racine , c'est lorsqu'elle l'atteint après avoir fait le tour.

40 Si nous voulons aller de l'unité racine a l'unité puissance , il faut multiplier l'angle ou l'arc de la racine par l'exposant de la puissance, disons-nous. Pour revenir de la puissance à la racine il faut donc diviser l'arc par le degré de la racine. Comme la variation en tournant a ceci de particulier que les nouveaux états reviennent passer sur les premiers , il y a des circonstances remarquables dues à ce fait. C'est que l'unité inclinée ou non inclinée a autant de racines qu'il y a d'unités dans l'indice de la racine. Pour fixer les idées, qu'il s'agisse de la racine quinzième de l'unité , inclinée par exemple de 1 5 degrés. Il est clair d'après ce qui précède que l'unité inclinée de 1 degré sera sa racine. Mais comme la propriété fondamentale de l'unité racine est de venir, après avoir tourné de 15 fois son inclinaison (propre), coïncider avec

l'unité puissance, on peut augmenter Tinclinaison un degré de la racine, on peut Taugmenter, dis-je, d'un angle qui lui permette de se trouver en coïncidence avec la puissance après avoir tourné de 15 fois son inclinaison. Or cela arrivera si c'est d'un quinzième ou de deux quinzièmes y ou de trois quinzièmes y etc., de circonférence qu'on augmente ce degré ; parce que l'unité racine, après avoir feit quinze degrés, aura fait une circonférence ou deux ou trois déplus que ce qu'elle devait faire pour arriver à l'unité puissance, ce qui évidemment ne F empêche pas de s'y trouver. Donc l'unité inclinée de 1 5 degrés a pour racine quinzième, ou 1 degré, ou 1 degré -f-rr de circonférence ,

OU 1 degré + p de circonférence etc. Et toutes ces racines sont bien différentes jusqu'à la quinzième; mais la seizième retomberait dans la première à cause du retour de la circonférence.

41 Dans le cas particulier où l'unité puissance est réelle, ou dans l'axe , les 1 5 unités racines , qu'on appelle alors racines de l'unité {réelle), sont placées ou inclinées symétriquement au-dessus et au-dessous du diamètre. Cela fait que leurs parties réelles sont les mêmes deux à deux et les parties imaginaires ne diffèrent que par le signe. On dit alors de ces racines qu'elles sont conjuguées: ce qui n'arrive pas si la puissance elle-même est imaginaire (ou inclinée) Mais il y a beaucoup de choses pour lesqu'elles nous devons renvoyer aux traités connus sur cette matière, en y ajoutant seulement la représentation géométrique.

42 La multiplicité des racines dont nous venons de parler, n'est pourtant pas vraie d'une manière aussi absolue qu'on pourrait le croire: elle ne l'est que sous un

QUANTITÉS IHAGINAIKES. 23

certain point de vue. Sous un autre la racine est unique même pour un indice incommensurable y comme nous ferons voir plus tard.

43 Voilà pour les inclinaisons, revenons aux longueurs Il suffit de multiplier l'unitée inclinée, avons-nous dit(32), par le nombre abstrait ou module, pour avoir la ligne inclinée ou imaginaire. Nous pouvons faire varier ce nombre depuis zéro jusqu'à Tinfini positif, et la ligne imaginaire croîtra de zéro jusqu'à l'infini, sans changer -d'inclinaison. Imaginons maintenant qu'une ligne imaginaire ou inclinée est mise à la place de x dans x\ par exemple. Si nous faisons tourner la ligne racine ou varier l'inclinaison à partir de l'inclinaison zéro ou de l'axe, nous savons que la ligne puissance part aussi de l'axe et tourne 7 fois plus vite que la racine. Pour la longueur imaginons que nous faisons tourner la racine par stations infiniment voisines j et que nous l'arrêtons un instant à chaque station, pour faire varier la longueur depuis zéro jusqu'à l'infini positif d'une manière continue. Nous savons que la ligne puissance fera aussi des stations infiniment voisines , et qu'à chaque station elle variera d'une manière continue, depuis zéro jusqu'à l'infini : parce que le coefficient abstrait de son unité est une puissance du coefficient de la variable. Donc, pendant que t extrémité de la variable parcourt le plan des xy^ l'extrémité de la fonction ou de la puissance, le parcourt aussi. Nous pouvons ramarquer que l'extrémité de la puissance le parcourt plusieurs fois pendant que l'extrémité de la variable ne le parcourt qu'une fois : car la puissance tournant sept fois plus vite , le parcourt donc sept fois pour une de la variable. Mais l'essentiel est qu'elles le parcourent tout l'une et l'antre.

Sl4 QUANTITÉS IMAGINAIRES.

44 Si le terme x' avait un coefficient réel ou imaginaire» comme il serait multiplié par ce coefficient, il faudrait à l'inclinaison de la puissance ajouter celle du coefficient: le point de départ de la puissance pour tourner ne serait plus Taxe, mais à t angle du coefficient à partir de Taxe. Si ce coefficient est positif, il n'a pas d'inclinaison; s'il est négatif, il a deux droits; s'il est imaginaire, il a un angle, comme l'on sait. Pour la longueur, il faudrait multiplier la longueur de la puissance par la longueur ou le module de ce coefficient. On voit que le coefficient n'apporte aucun dérangement essentiel,

45 Nous voyons par là que nouspouvons faire aller Textrémité de la puissance accompagnée ou non accompagnée d'un coefficient (quelconque) partout où nous voudrons, ce qui signifie qu'une équation (en général imaginaire) à deux termes

a toujours une racine. Elle en a même plusieurs et on les trouverait par les principes qui précédent. Elles sont en général imaginaires.

46 Considérons un polynôme. Pour plus de simplicité, ne prenons d'abord que deux ou trois termes :

par exemple , et sans coefficients . Que la variable x soit une ligne imaginaire ou inclinée; la puissance x'' sera aussi en général , d'après ce qui précède (43), une droite inclinée ; le terme a?' en sera une autre, le terme a?' une autre. C'est la somme statique ou la résultante de ces trois lignes qu'il nous faut* Hé bien ! après avoir obtenu les résultantes pour chaque terme, nous les composerons par le parallélogramme des forces (29) (ou bien par un rec-

langle, en composant les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble sur les axes).

Observons maintenant la variation de cette résultante pendant que Textrémité de la variable parcourt le plan. Nous savons que quand x a pour inclinaison zéro ou est sur l'axe; a?', a?*, a?% y sont aussi. Donc dans ce cas les parallélogrammes de construction et la résultante tombent dans Vaxe. Dans cette position faisons varier x en longueur, et d'une manière continue, sans changer de direction: en d'autres termes, faisons parcourir l'axe à l'extrémité de Xy l'extrémité de la fonction ou de la résultante le parcourra, mais plus vite.

Faisons tourner x inliniment peu , et l'ayant arrêté, faisons parcourir à son extrémité , non Taxe , car x n'est plus dessus, mais \erayoninfini de sadirection.Vend^nt que X varie sur son rayon (fixe) de direction , les trois puissances ci-dessus varient sur le leur; mais la résultante ne varie pas sur un rayon fixe, sur une droite. Elle varierait sur une droite si les trois composantes variaient proportionnellement , car les parallélogrammes de construction demeureraient semblables à eux-mêmes. Mais, comme ces termes sont à différentes puissances, ks hautes puissances croissent plus vite que les basses, a?® par exemple croît plus vite (dans le haut), que x''; alors la diagonale ou résultante de x'' et x^y va en se rapprochant de la direction de x^; car on saitque la résultante est plus rapprochée de la plus grande composante. Cette résultante composée avec j?^, donne une résultante finale qui va aussi en se rapprochant de la direction de a?' quand x croît, par la raison que x^ croît plus vite dans le haut que la première résultante trouvée; car on sait en algèbre que x^ finirait par surpasser l'en-

26 QUANTITES IIHAGINÀIRBS.

semble ou la somme des termes inférieurs x''-\-x^. Mai^ la résultante ou la somme statique de ces termes est plus j)etite que leur somme absolue donc x* croît plus vite que cette résultante ; donc la résultante finale tourne en se rapprochant de x*.

47 On peut remarquer que le terme du plus haut degré finit par donner sa direction au polynôme, pour les grandes valeurs de x. Pour les petites c'est le moins élevé; comme Ton sait dans Talgèbre ordinaire, que ce sont aussi ces deux termes qui donnent le signe au polynôme : ce qui doit être car les signes sont des cas particuliers des directions.

48 Si Ton fait varier x en longueur d'une manière continue , sur une direction , il est visible que les parallélogrammes de construction varieront d'une manière continue ; l'extrémité de la résultante finale se mouvra sur le plan d'une manière continue, et engendrera une cowbe, qui demeurera comprise entre la direction de x^ et de x^.

On peut déplacer la direction de x infiniment peu , et Ton aura pour cette seconde station une nouvelle courbe infiniment voisine delà première , ainsi de suite. De sorte que si, par ces déplacements de direction de x et ces variations de longueur , on fait parcourir à l'extrémité de x tout le plan, Y extrémité de la résultante du polynôme l'aura parcouru (même plus vite).

Ce que nous avons dit de trois termes , nous le dirons de tous les termes d'un polynôme.

Si les termes ont des coefiicients , il n'y a de différence que dans le départ de l'inclinaison de chaque terme

QUANTITÉS IMAaiNAIRES. 27

comme il a été dit (44). Et cela n'empêche pas la construction des parallélogrammes.

Nous voyons donc que x parcourant de son extrémitér tout le plan, qui forme le champ de ses variations, la résultante du polynôme (à coefficients réels ou imaginaires) , dont il est la variable, le parcourt aussi.

49. Nous tirons de là, ou pour mieux dire, nous y voyons comme dans un tableau, que toute équation ou polynôme a une racine. En effet , considérons le terme constant, il aura sur le plan de variation une certaine position. Pour que x soit racine, il suffit qu'il mette, par sa variation, la résultante des autres termes du polynôme en opposition ou en équilibre avec le terme constant ; ce qui est possible, puisque x peut, comme nous avons vu (48), faire parcourir à l'extrémité de cette résultante tout le plan de variation.

50. Nous voyons encore que si les coefficients sont réels ^ y compris le terme constant, qui est un coefficient; quand le polynôme a une racine, il a aussi sa conjuguée. Car , dans ce cas, les coefficients sont dans Taxe ( ou à droite ou à gauche ) ; les lignes tournantes qui représentent les termes du polynôme, doivent alors partir (pour tourner), de Taxe, puisqu'elles doivent, parce qui précède (44) , partir de la position de la ligne qui représente le coefficient. La résultante des termes variables , pour se mettre en opposition avec le terme constant, doit tomber dans l'axe, parce que le terme constant y est, à cause de sa réalité. Le départ des composantes et l'arrivée de la résultante sont donc symétriques à l'axe. On aurait donc le même avantage à faire tourner x en bas qu'en haut, car il peut tourner en deux sens: c'est-h-dire, que

si, en faisant tourner x de 15 degrés en haut, par exemple , et lui donnant 7 mètres de longueur , on a amené la résultante à réquilibre, qui a lieu dans Taxe; en faisant tourner de 15 degrés en bas et donnant 7 de longueur, on amènera aussi la résultante dans Taxe et elle sera la même que quand on agissait par-dessus, et cela, comme nous avons dit , à cause de la symétrie. On pourrait également arriver à ce même point en ne tournant que dans un sens. Or , 7 mètres de longueur, avec 1 5 degrés d'inclinaison en haut ou dans le sens positif, et la même longueur, avec 1 5 degrés d'inclinaison en bas ou dans le sens négatif, sont deux expressions imaginaires conjuguées. Si Tune est a+è V^, l'autre est a — bV~.

51 . Nous voyons donc par là que les racines imaginaires marchent par couples. Par conséquent elles donnent lieu à des facteurs du second degré, réels. Ainsi , Ton peut dire que tout polynôme à coefficients réels, est décomposable en facteurs réels du second degré.

Cela n'est plus vrai, si les coefficients sont imaginaires: parce que les départs et arrivées n'étant plus symétriques à Taxe , en tournant x en dessous comme en dessus , on ne produira pas le même effet. Mais , il faut dire que j'entends des coefficients imaginaires non ambigus; c'està-dire qu'en écrivant a + by^, c'est un seul signe du radical que je considère.

52. Si l'on entend que les deux signes du radical agissent, et que le coefficient est a ± A V^ , ce n'est plus une simple équation , il y en a alors deux ; hé bien , dans ce cas, les racines conjuguées reparaissent encore. On \e voit facilement par les départs des inclinaisons des

QUANTITÉS ISUGINAIRES. 29

composantes , qui n*ont pas lieu à Taxe , mais à des distances symétriques , quand on considère les parties imaginaires des coefficients avec le signe + et ensuite avec le signe — . Mais alors une racine et sa conjuguée n'appartiennent pas, à proprement parler, à la même équation: la seconde appartient à la seconde équation , qui a les coefficients conjugués avec la première.

RésolutUm de l'équation 1-}-^+^*+ +a?°*=0,

et d'autres,

53. Pour rendre le discours plus sensible, nous raisonnerons sur des exemples, il sera facile ensuite de généraliser. Soit par exemple Téquation ,

c'est-à-dire , une équation du quinzième degré , dont les coefficients sont l'unité, et qui a tous ses termes, (la lacune n'étant que pour abréger) :1 il s'agit de trouver les racines. Or , je dis que l'unité inclinée d'un arc qui soit le i 6"" de la circonférence , ou d'une manière générale la (m-|- 1 )"* partie , est racine de l'équation. En effet, que Ton imagine un cercle ayant l'unité pour rayon , et sa circonférence divisée en 1 6 parties égales , et marquées si l'on veut , pour bien fixer les idées. Maintenant considé-

rons une unité inclinée de -^ de circonférence, qui peut

être exprimée par cos-— -|- sin— V—\ , en représentant

la circonférence par c. Comme l'unité ne s'allonge pas dans l'élévation aux puissances, et que son inclinaison se multiplie par l'exposant , cette unité inclinée mise

à la place de x dans l'équation proposée , donnera (35)

pour le terme x, l'unité inclinée de -- - de circonférence;

lO

pour le terme a?", Tunité inclinée de - ; ponr a?', Funilé

inclinée de — etc. , c'est-à-dire, que les 15 termes donneront 1 5 rayons disposés comme les rais d*une roue de voiture , éloignés Tun de Tautre d'un seizième de circonférence. Il faut 16 de ces rayons ou unités pour garnir tout le cercle. Mais il y a bien seize termes dans Féquation, en comptant Tunitéqui répond à la puissance zéro de X.

Ces 16 lignes ou forces (25) ont pour somme statique ou pour résultante zéro , car elles sont évidemment en équilibre, attendu qu'elles sont égales et disposées symétriquement autour du centre ou de l'origine. Donc , l'équation est satisfaite. Donc, l'unité inclinée d'un 16™* de circonférence est racine.

54. Cette équation n'a pas une seule racine, elle doit en avoir 15, comme l'on sait, puisqu'elle est du 15"* degré. Nous allons voir que les autres sont l'unité inc/mee de 2, de 3, de i, etc., ares,. comme celui de lapremièrcy. 01*16"'** de circonférence ; c'est-à-dire, que les 15 racines tombent aux points marqués sur la circonférence, à l'exception du point de départ. En effet, prenons une unité ayant pour inclinaison un certain nombre des petits arcs dans lesquels a été divisée la circonférence. Les 15 puissances de cette unité tomberont encore d'une manière^ symétrique autour du centre , c'est-à-dire, à des distance&i égales. En effet, les distances circulaires (ou angulaires )' qui existent entre les puissances , non seulement consécutives , comme entre la septième et la huitième , entre la huitième etla neuvième , mais encore entre les puissances' séparées parle même nombre d'unités, comme entre la

septième et la dixième , entre la dixième et la treizième, demeurent égales , puisqu'elles sont des multiples ; mais deviennent plus grandes que dans le premier cas , un nombre de fois marqué par le nombre d'arcs qu'a l'unité racine que nous employons à former les puissances; en entendant que ces distances se mesurent d'une manière absolue sur la circonférence , c'est-à-dire , qu'elles sont le chemin fait parla puissance que l'on considère, et qui peut être plus grande qu'une ou plusieurs circonférences.

D'après cela, je dis que les vraies distances des lignes ou rayons qui se suivent dans la figure, sont égales, c'està-dire, que les rais ou rayons sont également espacés. En effet , les vraies distances peuvent bien n'être pas d'accord avec les distances absolues. Il est possible qu'en partant du rayon dû à la cinquième puissance , et cheminant sur la circonférence , je ne rencontre pas comme rayon voisin, le rayon dû à la sixième, mais peut-être le rayon dû à la neuvième, qui peut avoir fait le tour de la circonférence et enjambé le rayondûàla cinquième, et être resté son plus près voisin. Mais, quand j'aurai dépassé ce second rayon dû à la neuvième puissance , le plus près voisin que je trouverai sera le rayon dû à la treizième puissance , et il sera à la même distance du second que le second l'était du premier , car la première de ces distances était ce dont dépassait une circonférence l'arc absolu qui existait entre la cinquième et la neuvième puissance. La seconde distance est ce dont surpasse une circonférence, l'arc absolu qui existe entre la neuvième et la treizième. Ces arcs absolus sont égaux, comme il a été remarqué ci-dessus; donc, les parties qui dépassent la

circonférence seront égales. On raisonnerait de même pour tout autre intervalle. Donc, les intervalles sont tous égaux.

Le commencement ou la fin ne font point exception à ce raisonnement. En effet, je puis dire: après la treizième puissance je trouverai la première, car, si on le conteste, je dirai la dix- septième ; or, elle coïncide avec la première tout comme quand il n'y avait qu'un tour, car il y a un nombre entier de tours, attendu que Tare de la racine nouvelle est un multiple de la racine première qui faisait faire un tour juste.

55. On peut remarquer que les rayons obtenus de la seconde manière, c'est-à-dire, par plusieurs t«)urs, ne peuvent pas être plus serrés que ceux que donne la première manière , parce que les puissances faisant des pas d'un nombre entier de petits arcs, ne peuvent tomber que sur des points marqués par la première racine. Il peut pourtant en tomber plusieurs au même point, et alors les vrais espaces entre les rayons deviennent plus grands , puisqu'il y a plusieurs rayons qui se sont joints, mais ces espaces sont toujours égaux. Cela arrive quand le nombre d'arcs primitifs que l'on prend , est diviseur du nombre qu'en renferme la circonférence , et les vrais intervalles deviennent égaux à l'arc de la racine employée. Si , dans le cas de 16, je prends 4 arcs ou parties, pour ma racine, les rayons ne se jettent que sur les divisions quadruples Si j'en prends deux , les rayons se jettent sur les divisions doubles. Si je prends huit arcs, les rayons se jetteront tous sur la division 8 et 16 , c'est-à-dire, partageront la circonférence en deux parties égales.

56. L'arc 16, c'est-à-dire la circonférence entière, ne peut fournir une racine ^ car 1 6 étant diviseur de 16, les intervalles devraient être par ce qui précède (55) , de 1 6 arcs , c'est-à-dire , que les rayons se jetteront tous sur le rayon de départ ou de la puissance zéro , et il ne pourrait pas y avoir équilibre. Même raisonnement pour 82 , 48 , 64, etc. L'arc zéro ne peut pas non plus donner une racine , car l'unité inclinée de zéro , donnerait toutes ses puissances inclinées de zéro , ou couchées dans le rayon de départ , et l'équilibre ne pourrait avoir lieu. Cela doit être , car l'unité inclinée de zéro , a la même position que l'unité inclinée de 16.

57. Les inclinaisons 17 parties, 18, 19, ou bien 16 + 1, 16 + 2,16+3, etc. , donneraient aussi des racines , car les puissances de l'unité seraient ce qu'elles ont été pour les inclinaisons 1 , 2, 3, etc., parties, avec une ou plusieurs circonférences de plus; ce qui les place de la même manière sur la circonférence : ces arcs 16 + 1, 16 +2, 16+3, etc., fournissent donc des racines. Mais ces racines ont la même position que celles que donnent les arcs 1 , 2,3, 4, etc. parties. On peut donc les regarder comme étant les mêmes , Jet , dire que l'équation proposée a 15 racines seulement , c'est-à-dire , un nombre égal à t exposant de son degré; et qu'elles sont données par la circonférence divisée en parties égales par autant de points que peuvent en marquer les exposants de f équation, (y compris t exposant zéro), qui tous donnent une racine à l'exception du point marqué zéro.

58. Si les coeflScients étaient en progression (géométrique] , il est facile de voir que les racines ne seraient plus l'unité , mais l'unité divisée par la raison de la

progression. En effet, si la raison est r, -fera le même

effet dans Téquation que x , quand il n'y avait pas de coefficients.

Sir est réel et positif, par exemple 3, les anciennes racines, qui étaient des unités inclinées, seront | d'unité et inclinées de la même manière. Sir était imaginaire, les racines dans leur inclinaison reculeraient de tinclinaison (positive) de r.

Eqwitiomà coefficients périodiques,

59. L'équation que nous venons de résoudre n'est iju'un cas particulier des équations à coefficients périodiques , que nous pouvons également résoudre , comme « -}- èa? + ca?' + ax^ + bx" -|- cx^ + ew?* + bx'' + car* -f- ax* + bx^^ -|- co?" = 0, par exemple.

Il y a 12 termes , nous prenons pour racine une unité inclinée d'un 12"" de circonférence. Les 12 puissances de cette unité , (y compris la puissance zéro) considérées sans coefficient , se distribueront comme cidessus à égale distance sur la circonférence , et auront chacune l'unité en longueur. Que les coefficients agissent ensuite , ils les modifient , les allongent par exemple, de la même manière dans chaque période. De sorte que si l'on considère la résultante de chaque période , nous aurons autant de résultantes que de périodes : ces résultantes seront égales et symétriquement placées autour du centre. Donc, il y aura équilibre, ou l'équation sera satisfaite. Donc, l'unité inclinée d'un ^2"^^ est racine , comme précédemment.

Il serait facile de faire voir que ces résultantes

seraient encore également espacées en employant les ra* cines données par 1 , 2, 3 , etc. parties, c'est-à-dire que ces différents arcs fournissent les racines , comme cidessus (54).

60. L'équation d\i numéro (53) n'est qu'un cas particulier de ceci , comme nous disions : la période n'y a que la longueur d'un terme.

61. L'unité inclinée d'une partie, de 2, de 3, etc., forme les racines de l'équation à coefficients périodiques, avons-nous dit, mais il y a pourtant des exceptions. L'unité ayant pour inclinaison un nombre de parties ou arcs primitifs, marqué par le nombre des périodes, n'est pas racine. Dans l'équation périodique ci-dessus où il y a 4 périodes , c'est l'inclinaison de 4 parties qui ne donne pas de racine. En effet, quand l'unité ou rayon tour^ nant arrive à cette inclinaison, une période garnit la circonférence , c'est-à-dire , que les lignes que donnent ses termes , la partagent en parties égales. Dans le cas présent , c'est trois lignes qu'il y aura , symétriquement placées autour du centre , pour une période. Ces trois lignes auront une résultante parce que les coefficients a, 6 , c , qui les affectent et qui en règlent la longueur , sont quelconques. Les coefficients influeraient même sur la direction, s'ils étaient imaginaires. La seconde période garnira aussi la circonférence et donnera une résultante égale à celle de la première et coïncidant avec elle : ainsi des autres. Donc , il n'y aura pas équilibre : à moins qu'il n'arrive qu'une période considérée seule, soit en équilibre. Ce qui revient à dire qu'on ait a + ia? + ca?* = 0.