Cette égalité ou équilibre d'une période seule

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pourrait avoir lieu par des conditions entre ses coefficients , sans que x quittât la valeur que nous disons devoir faire exception ; cependant cela ne pourrait être qu'autant qu'il y aurait plus de trois termes à la période, car si Ton y fait attention , on verra que trois forces autour d'un point, et divisant la circonférence en trois parties égales, ne peuvent être en équilibre qu'autant qu'elles sont égales en longueur ; ce qui rendrait les trois coefficients de la période égaux entre eux , et par conséquent tous ceux de l'équation totale , qui par là cesserait d'être à coefficients périodiques ; ou bien la période se réduirait à un terme , et rentrerait dans l'article (53).

63. En général l'équation provenant d'une période, qui , dans le cas présent , est a + i:r -|- ca?" = , ne sera donc pas satisfaite par l'effet des coefficients. Ce sera donc X qui sera obligé de satisfaire à cette équation , et les deux valeurs qu'il prendra pour cela , car l'équation est du second degré , feront les deux racines qui nous manquaient dans notre équation totale, pour égaler le degré de la racine (qui est 11).

64. Les racines provenant de Véquation d'une période , forment toujours le nombre juste des racines qui manquent à V équation totale. En effet, la racine manque (de pouvoir servir) toutes les fois qu'elle arrive à un nombre d'arcs égal au nombre de périodes une fois , deux fois, etc., en d'autres termes lorsqu'elle a autant d'arcs qu'il y a de premiers termes dans les périodes, quand elle en a autant qu'il y a de premiers et de seconds termes , quand elle en a autant qu'il y a de premiers, de seconds et de troisièmes termes dans les

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périodes , ainsi de suite. Il semblerait donc que l'équation de la période devrait donner une racine par terme et elle en donne une de moins , comme Ton sait ; mais cela ntffit, car la racine qui répondrait au dernier terme de la période et qui lui manque , parce que son degré est. plus bas d'une unité que le nombre de ses termes, n'est pas nécessaire dans Téquation totale , attendu que le degré de celle-ci est aussi plus bas d'une unité que le nombre de ses termes , et tous les termes des périodes donneraient tous les termes de Téquation.

Il résulte donc de tout ce qui précède qu'une équation a coefficients périodiques a pour racines des unités disposées régulièrement autour de l'origine , avec des exceptions (régulier es) y qui sont supplées par les racines àe l'équation (ordinaire) que Aorme une période égalée à zéro.

65. Une équation orrfmaire peut être considérée comme une équation à coefficients périodiques , mais à une seule

période. Les racines à unité inclinée manquent toutes , puisqu'il en manque un nombre égal au degré de la période (64). Pour les remplacer il faut prendre celles de l'équation de la période , c'est-à-dire , de t équation totale.

66. Il est facile de voir que les raisonnements ci-dessus sont wais pour des coefficients quelconques, c'est-à-dire, réels ou imaginaires.

67. Une équation à coefficients périodiques peut n'avoir pas tous ses termes , car il peut y avoir des zéros qui fassent partie de la période.