L'équation à deux termes \ -|- j?» = 0, résolue par

les géomètres , est wn, cas particulier de Féquation à* coefficients périodiques. Soit pour fixer les idées le cas particulier 1 + ^^ = 0. On peut considérer ceci comme une équation à deux périodes de sept termes chacune. La première a pour coefficients Funité, ensuite six zéros (67). La seconde a aussi Tunité affectant a?^, ensuite six autres termes affectés de zéros, que Ton s*est dispensé d'écrire. De sorte que cette équation est du treizième degré , la voici :

Pour avoir les racines de cette équation , il faut , d'après ce qui précède , diviser la circonférence en i 4 parties , parce qu'elle est du 1 3"* degré , ce qui fait un nombre de parties double du nombre de termes d'une période ou du degré primitif. Il faut ensuite cheminer sur la circonférence; et comme il y a 2 périodes, toutes les fois qu'on arrivera à un nombre d'arcs multiple du nombre 2, la racine ne sera pas bonne. Ce sont donc, les nombres impairs d'arcs qui donneront les bonnes racines. Il y en aura 7. Les 6 qui semblent manquer pour égaler 13 devront être données par la première période égalée à zéro (64). Mais ce n'est qu'en apparence que l'équation est du i S""* degré , car ses six derniers termes sont factices. Nous avons donc toutes les racines qu'il feut. Aussi l'équation de la période qui est 1 -|- Oar

+ Oa?' -[■ oa?* = et qui revient à i = , ne donne-

t-elle aucune valeur pour x.

Ce que nous venons de faire répond bien à la méthode connue , qui prescrit de partager la première moitié de la circonférence en 7 parties égales (en uh nombre de par-

quà:ntités imaginaires, 39

ties égal au degré ] , à ne tenir compte que des divisions impaires, que Ton continue sur Tautre moitié de la circonférence.

69. Quand l'équation binôme i -|-x"=0, ou 1.+.i'=0, que nous venons de traiter , a un coefficient , comme 4 + aa?"=0; on peut la considérer comme une équation à coefficients en progression (58). Le terme ax'^ est censé le septième de ceux qui ont éprouvé la multiplication

de la raison. La raison est donc Va. Les racines seront donc (58) ce qu'elles étaient , mais divisées par cette raison, c'est-à-dire, par la racine septième du coefficient,

Eqtiationg à termes croisés (ou entrelacés)*

70. Il y a des équations qui ne rentrent pas dans les classes que nous venons de traiter , et qui peuvent également être résolues. Ce sont des équations dont les termes ne semblent pas d'abord s'arranger symétriquement dans le cercle autour du centre , mais qui pourtant s'y arrangent par un certain croisement ou entrelacement des termes , ce qui peut exiger plus d'un tour.

Soit par exemple l'équation.

1 + a?-f- a?' + ar* + a?" = 0.

Cette équation a cinq termes , mais comme il y a des lacunes entre les puissances , ces puissances ne s'arrangent pas symétriquement sur la circonférence avec un seul tour. Cependant si l'on prend pour base ou racine des termes une unité inclinée d'un cinquième de circonférence , (parce qu'il y a cinq termes existants dans l'équation ) , cette unité élevée aux puissances marquées par

40 QUANTITÉS tlIAGINÀltIBS.

les termes de Tëqûation, garnit au premier tour les cinq points de division de la circonférence , moins ie point SI parce qu'il n'y a pas de terme a?*. En continuant de tourner, les termes ar*, a?', a?', etc., ne donnent rien puisqu'ils n'existent pas, mais le terme a?" va donner le rayon qui manque , car a?" tomberait au point , a?" au point i eix^"^ tombe au point 2. Le cercle est donc garni de rayons également espacés , (comme une roue de voiture) : l'équation est donc satisfaite parce qu'il y a équilibre. Donc, cette équation a pour racine l'unité inclinée

dun cinquième de circonférence.

L'équation \ -|- a? + a?' -|- ar" + a?** =: aurait la môme racine , car la roue se forme comme avec l'autre équation , car il reste au premier tour deux placés vides , la 2™" et la 4"***. Le terme a?" remplit la place 2 au quatrième tour, et le terme a?** remplit la place 4 au cinquième tour.

71 . Il s'agit de voir ce que sont les autres racines de ces équations , de la première , par exemple , il doit y en avoir 17, puisqu'elle est du dix-septième degré : or, elle en a quatre en unités inclinées et données par les arcs 1 cinquième de circonférence , 2 cinquièmes , 3 cinquièmes , 4 cinquièmes , c'est-à-dire les mêmes que celles de l'équation 1 + a? + a?*4" ar' + aî*= 0. En effet, avec la racine inclinée d'un cinquième , les termes de l'équation proposée qui est du 17"" degré garnissent la circonférence à cinq divisions (70) , comme ceux de l'équation

sans lacune 1 -f- a? + a?* -|- a?' 4" ^* =^ ^' Nous savons (54) que dans cette dernière , quand on prend les arcs 2 cinquièmes , 3 cinquièmes , 4 cinquièmes , les résultats des termes se placent sur la circonférence , con-

QtJANTftÊS IllIAGINÂÏRÉS. 41

Vfeïiablèmeîit pour Féquilibre. Hé bien, 2 cinquièiïïes , 3 tîinquièmes , etc. , font le même effet sur l'équation du 17"' degré que sur celle du quatrième, c*est-à-dire , qu'ils font tomber les termes aux mêmes points. En effet, les termes qui, pour se placer, faisaient plus d*un tour, comme a;" , qui en faisait trois et ne se plaçait que durant le quatrième , et faisait Teffet pour la place , d'une puissance du premier tour, ces termes, dis-je , peuvent être considérés même pour les racines à 2 , 3 , etc. cinquièmes d'inclinaison , comme des puissances du premier tour , car avec les racines à 2 , 3 , etc, , cinquièmes , ils feront un nombre tle tours entiers double, triple, etc., de ce qu'ils faisaient avec la racine à i cinquième, et ces tours entiers n'influent pas sur les places. Donc, les choses se passent de même que si les termes n'étaient qu'à \in seul tour , comme dans l'équation

c'est-à-dire, que les racines venant de 2 cinquièmes, 3 cinquièmes , 4 cinquièmes de circonférence , qui sont les racines de l'équation (sans lacune) du quatrième degré, sont bonnes aussi dans la proposée du dix-septième.

72. Il suit de là que le polynôme 1 -f- a? + x' + »* + »" est divisible par 1 + a; + a?* + oc' -(- x*. Le quotient sera du 13"' degré. Egalé à zéro, il devra donner les 13 racines qui manquent à 4 pour faire 17. Si l'on fait la division on trouvera que 'ce quotient est 1 — aî« + a;» — x' + a;» — x*> + x'\

73. Nous pouvons résumer et généraliser en disant : si une équation dont les coefficients sont l'unité , est telle que ses termes , eu égard à leur degré , puissent, par un ou plusieurs tours , se placer à égale distance

SSi QUANnXÉS IMAGINAmES.

su/r %me circonférence, cette équation aura les mêmes racines que celle qui ne ferait qu'un tour (et qui sont (54) des rayons (unités) menés à tous les points de division de la circonférence, excepté au point zéro). Par conséquent cette équation est susceptible d'abaissement, car elle est décomposable en deux facteurs, attendu que son premier membre est divisible par le premier membre de celle qui ne fait qu'un tour.

74, Si les coefficients au lieu d'être Funité sont des grandeurs quelconcpies , même imaginaires, mais tels que par un ou plusieurs tours, les termes produisent sur un cercle , non l'effet d'une basse équation à termes sans coefficients, msàs à coeflicients périodiques [^9], les conséquences seront encore les mêmes, c'est-à-dire, que la proposée aura toutes les racines de la ba^se équation à coefficients périodiques , qu'elle sera par conséquent susceptible d'abaissement comme ci-dessus ; en d'autres termes , son premier membre sera divisible par le premier membre de l'équation à coefficients périodiques , qui lui répond. Il est entendu que l'opération de cette division doit être faite d'après le procédé étendu au cas ow il y a des termes imaginaires.