Soit l'équation

i +2ar+3ar»+4iP»-f 5a?*4-6a?»+7a?«+8a?^

+7a?"+6a?»+5x"4.4a?"-f32?*«+2a?"-Hr*«=0.

Si on l'enroule sur une circonférence ayants points de division, c'est-à-dire, autant de points qu'il y a de coefficients croissants , il est facile de voir que la somme des coefficients de chaque point de division sera la même , à cause des compensations des accroissements et de?

QUANTITÉS IMAGINAIRES. i3

diminutions: cette somme sera 12 à chaque point. Il y aura donc symétrie , par conséquent équilibre pour Tunité

inclinée de- , *r , - - de circonférence. Nous au-

rons donc 7 racines de cette équation, qui doit en avoir \ 8.

Mais il est encore facile de voir que ce même polynôme peut s'enrouler sur une circonférence ayant 12 points de division et donner pour chaque point de division une somme de coefficients constante , qui sera 8. L'équation

aura pour racines Tunité inclinée de - , —, - - ,

ce qui fait 1 1 autres racines , qui avec les 7 déjà obtenues feront les 1 8 racines de Féquation.

Cette équation du 18"**^ degré a donc les racines des deux équations

Elle doit donc être leur produit. Elle Test en effet.

76. Dans les équations ci-dessus à termes croisés, nous avons supposé tacitement que le croisement des termes et leur remplacement venait uniquement des exposants, et non des coefficients , ce qui revient à dire qu'une puissance qui remplace une puissance manquante a le coefficient que devrait avoir la puissance manquante , si elle y était, ou pour produire l'égalité de division sur le cercle , ou une division périodique. Si cela n'est pas, la proposée aura des racines appartenant à la basse équation qui ferait le tour du cercle , mais pourra ne pas les avoir

toutes.

Soit l'équation

Cette équation peut s'enrouler sur le cercle à six divi-

sions , car le terme — x' ou — 1 X^*, tournera par reflet de son coefficient , d'une demi-circonférence et ira remplacer a?' qui manque, x^ viendra à la place de x* et la circonférence sera garnie, comme elle le serait par Féquation 1-|-x4-3P*+^'+2tr*+a:"=0. L*unité inclinée d'wn sixième de circonférence sera donc racine. Pourtant iln'^^t pas dit que deux sixièmes , trois sixièmes , etc. donnent des racines. — x* de Téquation proposée a remplacé x' de la basse équation : mais c'est en partie par TefiTet de son coefficient. Quand on prendra un arc double, triple, etc.,. ïes termes feront deux fois , trois fois plus de chemin sur la circonférence , ce qui ne les empêche pas , ainsi qu'il a été remarqué (71) , de tomber en coïncidence avec les termes de la basse équation. Cependant si leur premier chemin est dû en partie au coefficient , ils ne feront plus le même chemin parce que l'accroissement de l'arc ne fait croître que le chemin dû à l'exposant et non celui qui est dû au coefficient. Le terme — IXx* qui a déjà foit cinq sixièmes de circonférence , n'en aura pas fait dix pour l'arc double , parce que deux sixièmes seulement sont dus à son exposant, et les trois autres à son coefficient — 1. Il n'y aura que les deux sixièmes venant de l'exposant qui seront doublés , ce qui fera sept. Il ne pourra donc pas faire le même effet quex".

Cependant — x* pourrait encore se trouver en coïncidence avec X* pour certaine arcs, et alors ces arcs donneraient de bonnes racines. Pour qu'ils se retrouvent en coïncidence il faut que celui qui tourne plus vite , savoir x' , ait fait un tour de plus que — x*. On peut imaginer l'exposant de x' partagé en deux parties comme x'*^'. £n doublant , triplant le chemin de la

racine, la partie 2 de Fexposant ferait aller x**' comme — x". Il faut donc que ce soit la partie 3 qui fasse faire un tour de plus. Or , à chaque arc ou sixième de circonférence que parcourt la racine , la partie 3 fait parcourir 3 sixièmes. Il faudra donc deux pas à la racine

pour que la partie 3 fasse faire un tour de plus

à x' qu'à x*. La racine à été bonne à --- , elle le sera à

-- , à^ : ce qui fera trois bonnes racines. Si nous connaissions un polynôme qui eût ces trois racines , il diviserait le premier membre de la proposée. Or, d'après ce qui précède (68) , l'équation 1 + x' = les a. Donc , 1 -|- x' doit diviser le premier membre de la proposée

I + ^ — x' -|- x' -|- X* -)- X*. Il le divise en effet et le quotient est 1 + x — x* -|- x*.