Soit encore l'équation

i -|-x+x*+x*-|-x» + x'-f x'Vrï -}-x"= 0.

II y a huit termes. La basse équation à huit termes qui garnirait le cercle à huit divisions , manque du terme x', remplacé parx']/^- Celui-ci par son exposant arriverait au neuvième point de division , c'est-à-dire , au premier . mais par son coefficient 1 Y^ il fait encore un quart de tour, ou deux arcs et arrive au point 3. Le terme x* manque aussi , mais il est remplacé par x".

Le terme x" remplaçant le terme x* immédiatement n'empêchera aucune racine de la basse équation d'être bonne pour la proposée. Le terme x' y^ n'est pas de même, il remplace x', est en coïncidence avec lui pour la première racine, avec l^aide de son coefficient , qui lui fait faire deux arcs de plus qu'il ne ferait par son exposant. Mais, pour la seconde racine il n'y aura pas

coïncidence entre x^ et x'y^, il manquera deux arcs k «* V~i à cause des deux arcs de son coefficient qui ne sont pas doublés quand l'inclinaison de la racine double^Pour la troisième racine, il lui manquera deux fois ce qui est dû à son coefficient ou quatre arcs , etc. IJ faut alors faire tourner la racine jusqu'à ce qu'il manque à ce terme une circonférence juste , ce qui le remettra en coïncidence. Or, c'est à la cinquième racine , (ou 4 + 4 ) , que cela arrivera. La cinquième racine sera donc bonne. Il n'y en aura plus car il faudrait encore faire quatre pas, ce qui nous mènerait à la racine neuvième , qui retombe dans la première.

Le polynôme proposé sera donc divisible par le polynôme du second degré qui aurait les deux racines que nous disons être bonnes, ce polynôme est — |/Z!î-j-x*. Le quotient est I/Hî + ^V^ + x*(i + yllî) + x^ + a;* — x« yZÏ 4- x' l/ZT — X» + x'^^yz^î + x".

Pour trouver le polynôme diviseur on peut multiplier ensemble les deux binômes donnés par les bonnes racines et qui sont

X — [cos - + sin-V--i) de circonférence,

et X— [cos-^ -["^m-V— i),

et faire les réductions convenables.

78. Nous pouvons généraliser et dire : si deux termes se remplacent sans intermédiaire de coefficient, toutes les racines de la basse équation sont bonnes pour la grande. Si le remplacement est aidé par un coefficient j il faudra faire sur les racines de la basse équation pour en retrouver une qui serve à la haute , autant de pas

QUANTITÉS IMAGINÀIIIES. 47

que le coefficient aurairà'eft-'''filfre polir parcourir la circonférence..

Si les deux termes avaient chacun un coefficient, c'est de leur différence (circulaire) que nous dirions ce que nous disons d'un seuL

S'il y a plus d'une paire de termes remplacés , il est clair qu'il faut que les deux paires s'accordent sur la bonté de la racine.

Un signe — réduit le nombre des racines à la moitié', parce qu'en deux fois il fait le tour de la circonférence. Le signe V^le réduit au quart , parce que c'est en quatre fois qu'il fait le tour. C'est ce qui est arrivé dans les deux exemples précédents.

79. L'équation à deux termes ^- 1 -f- x» où le terme constant est négatif, est un cas particulier des équations à termes croisés. Mais il y a une remarque à faire. Le terme x» remplace le terme + i sans intermédiaire de coefficient. Ce remplacement n'empêche donc pas les racines d'être bonnes. Le terme — 1 qui semble aller remplacer , puisqu'il se déplace , ne remplace rien , ou

bien remplace le terme ox*. Comme ce terme est nul , peu importe sa coïncidence avec — 1 . Donc, les n racines doivent être bonnes.

Revenons à la composition des équations qui doivent diviser et dont on a les racines.

CompotilUm des équations d&nl les racines sont des unités

également espacées.

80. Dans l'exemple de l'article (77) le polynôme diviseur est — V^ + a?* . disons-nous. I! ne ne faut pas être

étonné de ce que le terme constant de ce polynôme du second degré est imaginaire. Ses deux racines ne sont pas symétriques à Taxe ou conjuguées, et nous avons vu (51) que la réalité des coefScients est liée avec cette symétrie.

Mais elles sont symétriques au cm^re, circonstance qui donne lieu à une relation remarquable , et que voici : Toute équation dont les racines sont égales de longueur à l'unité (et même à un autre nombre) , et distribuées à égale distance sur la circonférence, est nécessairement à deux termes. Son terme constant e^iréel, si les racines sont symétriques à ïaxe, en même temps qu'elles le sont au centre ou également espacées; et il est imaginaire s'il n'y a que cette dernière condition. Tout cela s'accorde avec les équations à deux termes dont nous avons déjà parlé, Nous n'avons trouvé en effet que des racines égales et également espacées dans ces sortes d'équations^

Si cela est, la composition des basses équations qui doi^ vent diviser les autres, est facile à faire, parce que l'on n'a à s'occuper que du terme constant; si les autres , à l'exception du plus haut , ne doivent pas exister. Le terme constant est, comme l'on sait, le produit des racines pris tel que la multiplication le donne , si le degré de l'équation est pair , et avec un signe contraire si le degré est impair. Ci-dessus (77) nous pouvons donc , au lieu de multiplier les deux binômes pour composer le polynôme du second degré qui doit diviser , ne faire que multiplier les racines pour composer le terme constant de l'équation. Cette multiplication est facile , car une racine

cos-^ +sin^\/^i est l'unité inclinée d'un huitième de circonférence , l'au-

QVAKTITÈS IMAGINAIKES. 49

Ire de cinq huitièmes. Pour multiplier il faut ajouter les arcs , ce qui donne l'unité inclinée de six huitièmes ou de trois quarts de cii'conférence et peut s'écrire — V-^; ce <iui est le terme constant de notre équation

Dans l'exemple de l'article (76) nous avions à composer l'équation dont les racines étaient l'unité inclinée d'un sixième , de trois sixièmes , de cinq sixièmes. Nous avons posé cette équation sans la composer, parce que nous pouvions la connaître d'après ce qui précédait. Si nous voulons la composer par la règle actuelle, le produit des racines

sera l'unité avec la somme des inclinaisons ou— , ce qui

devient à — f. L'équation étant de degré impair, changeons le signe ; et il vient 4 -|- x' = 0, comme nous avions.

Démontrons donc le théorème dont il s'agit : savoir , qu'une équation dont les racines sont des unités également espacées sur le cercle, manque de tous ses termes moyens.

Les coejRicients d'une équation sont la somme des produits des racines combinées , ou deux à deux , ou trois à trois , etc., suivant le terme dont il s'agit, (avec un signe €onvenable). Considérons, par exemple, le coefficient qui est la sonmxe des produits des racines prises trois à trois, dans une équation qui a , si l'on veut , quinze racines. Prenons sur ces quinze racines une combinaison quelconque de trois racines, par exemple, la cinquième, la septième et la douzième. Ces trois racines en se multipliant donnent un résultat i^m^aire, je veux dire ayant l'unité en longueur, avec la somme des inclinaisons des facteurs. Si cette combinaison avance d'un pas, ce&i-

ÎO QUANTITÉS IMAGINAIRES.

à-dire, si la combinaison qui se compose maintenant des racines cinquième , septième , douzième , en avançant sans se déformer, je veux dire en conservant la même distance entre ses éléments , vient à se composer des racines sixième , huitième , treizième , le produit fait trois pas sur la circonférence; parce qu'il a (32) la somme des inclinaisons des facteurs qui en ont fait chacun un. Si la combinaison était de quatre racines, le produit irait quatre fois plus vite que la combinaison. En résumé, si une combinaison se meut sur la circonférence , le résultat se meut autant de fois plus vite qu'il y a de racines dans cette combinaison.

La régularité de cette marche n'est pas interrompue quand une des racines de la combinaison mobile atteint l'extrémité de Téchelle des racines. En effet, la combinaison avançant sur le cercle , sa racine la plus avancée qui est la douzième ou qui atteint au point 12, atteindra successivement aux points 13, 14,15, 1,2, 3, etc. Ce facteur perd une circonférence en passant du point considéré comme 15 à ce même point, considéré comme point zéro. Le produit perd par conséquent aussi une circonférence, ce qui évidemment ne dérange pas (pour la position) la continuité de son mouvement circulaire, car le même point sert de commencement et de fin à la partie perdue; Si la combinaison ou le système des trois racines allait en arrière , c'est une circonférence que gagnerait le produit , quand une racine atteindrait la division zéro ou 15, et le ressaut ne serait pas non plus senti. Quand une combinaison se meut sur la circonférence , les résultats ou produits marchent donc trois fois plus vite et d'une manière réguUère. Ils feront donc trois tours

QUANTITÉS IMAGlNAIftlS. Sf

pour un, à pas égaux. Mais nous avons vu (54) qu'une pareille distribution produit Téquilibre ou une somme mecanique zéro. Une seconde combinaison donnerait de même une somme égale à zéro. Mais Fensemble des combinaisons peut être considéré comme composé des stations de toutes les combinaisons mobiles qu'on peut former. Puisque chaque combinaison mobile donne zéro pour la somme de ses stations ; toutes ensemble, les combinaisons mobiles , donneront zéro pour la somme totale des combinaisons à trois racines. On peut faire le même raisonnement pour chaque coefficient. Donctoiks les coefficients sont zéro.

Le coefficient du terme constant fait exception. Car la combinaison prenant toutes les racines , ne peut pas se mouvoir et donne donc un résultat unique qui ne saurait être en équilibre.

Donc réquation n'a que ses termes extrêmes , ainsi que nous Favons annoncée

8f . Le produit de toutes les racines ou le terme constant , est en général l'unité , puisque c'est le produit dé facteurs unitaires. Mais il peut être réel ou imaginaire ,

et cette circonstance est liée à la manière dont les racines de réquation sont posées sur le cercle. Nous savons bien qu'elles sont également espacées; mais elles peuvent varier de position relativement aux divisions du cercle.

Le terme constant est réel quand l'arc qui fait Vintervalle des racines ou sa moitié, part du point zéro des divisions du cercle. Il est — 1 quand c'est l'origine de l'arc qui est au point zéro , il est 4" ^ quand c'est le milieu. En effet, ce terme constant a d'abord pourincli-

52 QUAIfTITÉS tm AGRAIRES.

naison , la somme des inclinaisons des racines. Pour généraliser supposons leur nombre n , leurs inclinaisons forment une progression arithmétique^ Pour avoir leur

somme il suffit de sommer la progression. Il y a w termes,

le premier terme est - de circonférence , pour le cas où

Tare entier comm^ice à zéro , et le dernier et-. Lasom-

me des termes de cette progression est^— — -<=:--\-^

de circonférence» Si le nombre des racines , ou le degré

de réquation est pair, la partie - de Finclinaison devient

un nombre entier de circonférences , peut par conséquent

être omise, et il reste - de circonférence pour Fincliilai-

son du produit des racines, c'est-à-dire — 1. Gomme le degré de Téquation est pair , ce produit sert de terme constant tel qu'il est. Si le degré de Téquation , ou le nombre des racines est impair, la partie ~ devient un nombre entier de circonférences qu'on peut négliger ,

plus une demi-circonférence qui ajoutée à la secojide

partie- donne une circonférence entière qu'on peut négliger. Le produit sera donc l'unité avec une inclinaison zéro , ou -[- 1 . Mais comme le degré de l'équation est impair , ce produit doit changer de signe pour servir de terme constant. Donc le terme constant est toujoi^rs — 1 quand l'origine du premier arc est à la division zéro de la circonférence, ainsi que nous l'avons annoncé.

Si c'est la moitié de Tare qui part de zéro , le premier

terme de la progression sera— et le dernier— r—- On

2n zn

pourra en la sommant et raisonnant comme ci-dessus, prouver que le terme constant sera toujours+1. Mais

nous allons y arriver par une considération géométrique, qui rendra peut-être la chose plus sensible et qui d'ailleurs nous sera utile.

82. Nous savons donc que quand les racines coïncident avec les divisions du cercle, le terme constant est — i , en d'autres termes, Tunité inclinée d'une demi-circonférence. Si le système des racines tourne sur le cercle regardé comme immobile , que par conséquent l'inclinaison de la première racine croisse ou diminue, l'inclinaison du produit des racines tournera plas vite que le système , autant de fois qu'il y a de racines : car l'inclinaiscm de chaque racine , par le mouvement du système éprouve la même augmentation que l'inclinaison de la première , puisque les racines commencent toutes au même point qui est zéro du cercle. Cela revient à dire que le produit des mcines parcourt la circonférence , pendant que le système parcourt un œrc (ou distance des racines)^ Si le sys-

ème avance d'un demi-arc à partir de la coïncidence , le produit, par conséquent le terme constant, tourne d'une demi-circonférence ; et comme à la coïncidence du système, le terme constant était — 4 il devient +1, comme nous l'avions annoncé.