Si le système fait- , - , - etc» d'arc , le terme

constant fera r » r , r etc. de circonférence. En ajoutant

toujours cela à une demi-circonférence , qu'il a à la coïncidence , on aiuca VincliihaÂson de ce terme constant,

»4. Qu'il s'agisse, par exemple, de l'équation à 15 racines. Si le système est en coïncidence avec les divisicHis du cercle , le terme constant est — \ , ou l'unité

54 QUANTITÉS IMÀGINAIBES

inclinée d'une demi-çirconférence. Si le système avance

d'un demi-arc, le terme constant est Funité inclinée

de - + - ce qui revient à + ^ • Si le système avance d'un

quart d'arc , le terme constant est Funité inclinée de -, + iOU

Si le système avance d'un huitième , le terme constant est l'unité inclinée de-4-- ou

Composition de Véqualion dans le cas où il manque une racine a:u

système^ etc.

85. Toute équation dont les racines sont des unités également espacées sur le cercle et où la dernière manque y a tous ses coefficients égaux â -|- 1 .

II suffit de faire voir que la somme des produits des racines , prises, une à une , deux à deux» trois à trois, etc. est toujours l'unité positive ou négative. Et qu'ensuite les changements de signe qu'il faut faire sur ces produits pour les faire devenir les coefficients de Féquation les rendent tous positifs.

Nous pourrions tirer de ce qui précède (84), la démonstration du théorème actuel, en disant. Si la dernière racine ne manquait pas , Féquation s'élèverait d'une unité dans son degré , perdrait tous ses termes moyens et prendrait la forme a?°* — 4. On sait que cette expression peut être divisée parx — 4, ce qui revient à enlever la racine -|- 4 , et que les coefficients sont égaux à-f-4. Mais

nous ne verrions pas comment ces coefficients égaux à Tunité résultent des racines imaginaires. De plus nous nous appuierions sur la divisibilité de l'expression a?" — i parx — i que Ton ne connaît que par les éléments de Falgèbre ordinaire , et non par la théorie des imaginaires que nous voulons développer de plus en plus.

Pour fixer les idées , soit une équation à quinze racines , disposées sur le cercle de manière que la dernière manque, c'est-à-dire, celle qui ferait la seizième. Figurons-nous le polynôme où Ton aurait opéré la composition de Féquation par les racines, supposons-les représentées par les quinze lettres abcdefghiklmnop. Devant la puissance, par exemple, dixième, de x, il y aura pour coefficient une colonne des produits de cinq lettres qu'on peut faire en puisant sur quinze lettres. Ainsi des autres termes. Il s'agit de trouver la valeur ou la résultante de chacune de ces colonnes. Reprenons la colonne à cinq lettres Si la seizième racine, que nous pouvons appeler q , y était , nous savons (80) que cette colonne serait zéro. Nous pouvons regarder la colonne à cinq lettres faite en puisant sur seize , comme formée de toutes les combinaisons qu'on peut faire sans q , plus de toutes celles qu'on peut faire en employant q. Mais toutes celles qu'on peut faire en employant q, ne sont autre chose que la colonne à quatre lettres sans q dont on a multiplié tous les termes par q, par conséquent la colonne elle-même. Or la multipUcation par q ne la change pas, parce qu'elle ne fait que lui ajouter l'inclinaison de q qui n'en a point, car il est-f-1. Mais après cette multiplication, elle est égale et de signe opposé à la colonne à cinq lettres sans q, puisque réunie à cette colonne elle la réduit à zéro.

On pourrait faire le même raisonnement pour deux colonnes voisines quelconques. Donc avant l'arrivée de q, toutes les colonnes sont égales et de signe opposé. Mais la colonne à une lettre est— 1 , parce qu'elle est la somme ou la résultante de toutes les racines : car une résultante est égale et opposée k la force qui manque pour produire l'équilibre. La force ou racine qui manque au système des racines et qui en produirait l'équilibre , est -|- ^ • La résultante de la colonne est donc — 1 . La résultante de la colonne à deux lettres sera+^ » la résultante de la colonne à trois lettres — 1 , etc. Mais on sait (par Talgèbre) qu'il faut changer le signe de toutes les colonnes à un nombre impair de lettres , pour en faire les coefficients de l'équation. Donc tous les coefficients seront + ^ » comme nous avions annoncé.

86 S'il manquait une racine autre que la dernière , la racine appelée c, par exemple, qui a trois arcs d'inclinaison, l'équation auraitencore des coefficients très réguliers, ils seraient tous l'unité comme précédemment; mais en inclinaison, ils différeraient enti*e eux de l'inclinaison de la racine manquante. (Ci-dessus ils différaient aussi de l'inclinaison de la racine manquante, qui était nulle). En effet nous pouvons dire, comme dans l'article (85) : la colonne à quatre lettres sans c , multipliée par c , ferait équilibre à la colonne à cinq lettres sans c. Donc elles sont égales et de signe opposé , après la multiplication, ces deux colonnes. Mais nous ne pouvons pas dire comme de q , que sa multiplication ne change pas la colonne à quatre lettres. Elle fait tourner de son inclinaison, qui est trois arcs ou 7-, la résultante de cette colonne. Avant la multi-

QUANTITÉS IMAGÏNAIRÏS. S7

plication elle a donc ces trois arcs de moins qu'il ne faut pour être en opposition avec la colonne suivante. Donc tout est comme ci-dessus , à ceci près, que toute colonne de produits, a de moins que la colonne qui a une lettre de plus^Tine demi-circonférence plus rinclinaison de la racine manquante. Le changement de signe qu'on doit faire pour changer les colonnes en coefficients , détruit les demicirconférences de différence , comme ci-dessus. Mais rinclinaison de c y ou de la racine manquante reste pour différence d'un terme à l'autre^ comme nous avions annoncé.

S'il s'agissait de la racine a, il n'y aurait que — de dif*

férence entre l'inclinaison des termes. S'il s'agissait de la

â racine ft, il y aurait--, etc.

Si c'est la racine a qui manque , ou celle qui a— d'inclinaison , l'équation sera

ar" +a;**( cos^^ + sin-\/~i^

+^ C ^^^le + ^^^ïi^-O

+ ( ^««îi + "MV-i)=o.

Si c'est la racine b qui manque, l'équation doit être j?" + a?" Q C05— -f sin-^\/IIÏ\

+ x*'(^ cosj-^ + sin;^}/::^!)

+^( ^os^ + sin^^y:=i^

+ ( ^^Ve + ''^^fe^^O = ^•

87. Supposons qu'il manque deux racines [consécutives) , la racine q et la racine a. Les coefficients de Véquation ne sont pas Tunité , mais ils sont encore très remarquables. Ils sont les cordes d*un cercle ou les diagonales d'un polygone régulier de 16 côtés égaux chacun à tunité. Le premier coefficient y en commençant par les hautes puissances de x , savoir le coefficient de ar", est le côté allant du sommet au sommet 1 , il est -f- 4 , parceque nous regardons ce côté comme étant sans inclinaison. Le coefficient de x" ou le second coefficient , est la diagonale allant du sommet au sommet â, le troisième coefficient est la diagonale allant au sommet 3, le quatrième coefficient, la diagonale allant au sommet 4, etc. et le quinzième coefficient ou le terme constant est la diagonale allant au sommet 1 5 , c'est-à-dire , qu'il est le dernier côté du polygone. ( Le coefficient suivant serait une diagonale 0]>

Il est inutile de faire commencer le raisonnement au premier coefficient,ou saitquilestTunité. Considérons le coefficient du second terme Nous savons qu'il est la somme des racines prise en signe contraire. Or, la somme ou la résultante du système des racines , quand il en manque deux, q eia, qui sont les racines marquées zéro et 1 dans le cercle , est égale et en sens opposé à celle des forces manquantes , puisque si elles y étaient il y aurait équilibre , cette somme est donc égale à la somme des racines 8 et 9. Voilà la résultante de la colonne à une lettre. La résultante ou la somme de la colonne à deux lettres quand une nouvelle lettre arrive s'obtient , comme nous avons déjà remarqué (85), en multipliant la colonne à une lettre sans la lettre (|ui arrive , par la lettre qui arrive , et ajou-

QtJA?(TITÉS IMAGINAIRES. 59

tant ce résultat à la colonne à deux lettres faite sans la lettre qui arrive. Ici la lettre que nous supposons arriver c*est a. Celles qui y sont, sont les 16 à Texception de q et de a. Pour avoir la colonne à deux lettres avec a , il faut donc multiplier par a , la colonne à une lettre sans er, et ajouter ce résultat à la colonne à deux lettres sans a. Or, la colonne à une lettre sans a se réduit comme nous venons de voir aux racines 8 et 9. Multipliées par a, qui a un arc d'inclinaison , elles deviennent 9 et 10. Il faudrait ajouter ce résultat à la colonne à deux lettres sans a pour avoir la colonne à deux lettres avec a^ Mais nous savons par ce qui précède (85) que le résultat serait -j- ^ » parce que nous tomberions dans le cas où il ne manque qu'une racine. La colonne à deux lettres sans a que nous ne connaissons x>as est donc égaleà-|-1 quand on y ajoute les racines 9 et 10. Or, il est facile de voir que ce sont les racines marquées 0, 1 , 2, qui produisent cet effet. Les deux dernières neutralisent les forces 9 et 10 et celle qui est marquée zéro donne le -f- 1 qu*il faut.

Les trois racines ou forces 0, 1, 2, multipliées par a y avancent encore d* un pas et deviennent lès forces 1 , 2, 3. Ajoutées à la colonne à trois lettres sans a , elles doivent donner la résultante — 1 . Il est facile de voir que la colonne cherchée, qu'il faut ajouter se réduit aux quatre forces 8, 9, 10, 11. Les trois dernières font équilibre aux trois forces 1,2, 3 et la force 8 est — 1 . Ainsi de suite.

Donc les sommes que nous cherchons , et qui doivent servir de coefficient à l'équation , en changeant les signes convenablement sont respectivement les racines 8 et 9, les racines 0, 1, 2; les racines 8, 9, 10, 11 ; les racines

6fi QUANTITÉS lMiWGmAIRr&

0,1,2, 3, 4, etc. En changeant les signes de la première ^ de la troisième etc. , de ces sommes, cela fait toujours commencer les arcs à zéro , et les coefficients seront donc respectivement la résultante des groupes de racines 0, 1;0, 1,2; 0, 1, 2, 3;0, 1,2,3, 4; etc.

On peut (29) construire ces racines ou ces forces, qui sont toutes égales à Tunité , par un polygone régulier de 46 côtés égaux à l'unité , et Ton aura pour les résultantes , les cordes ou les diagonales que nous avons annoncées.

88. Appliquons cela à Téquation du quatrième degré x" — 1=0, dont les quatre racines sont