DES

QUANTITÉS iiiTFs IfflAGINAIRES.

PREMIER MEAIUIKE.

1 Avant Descartes on abandonnait les quantités négatives, en les regardantcomme des syrabolesd'absurdité, de la même manière qu'on regarde maintenant les quantités dites imaginaires. Nous pouvons dire qu'on avait raison : en effet, un marchand qui en résolvant un problème posé pour calculer son gain trouve du négatif, est dans l'absurde , il veut trouver ce qui n'existe pas , car il n'y a pas dansée cas de gain pour lui. Pour être dans le réel, en résolvant une ([uestion, il faut nécessairement que le résultat soit une grandeur naturelle, c'est-à-dire, située dans l'échelle des grandeurs existantes ou concevables , qui sont depuis zéro jusqu'à l'infini (positif). Si ce résultat est compliqué par (juelque signe qui en altère la nature .

5 QUANTITÉS IMACINAIRES.

par le sif^Mic — par oxonii^lo, il n'apparluînl plus à l'éclu'lle iialmcllt' (It's j^randeurs. La ((iicslioii traitée ne peut (Ikiic alois avoir de résultat, en d'autres termes, elle estabsurd»! ou inii)ossil)le , en enteudaut par <pieslion absurde une quesliuii (pii consiste à chercher un résultai qui n'existe pas.

2. Malgré ce (pie uous venons de dire, ou sait lt> parti qu'ont tirédes<piantit<''s négatives Descartes et ses successeurs , surtout en géométrie. 11 serait à propos de voir si les imaginaires qui doivent aussi leur existence à des questions impossibles , ne pourraient pas s'interpréter et être utiles comme les quantités négatives?

3. Or, en examinant la chose de près, on trouve que les quantités imaginaires peuvent être représentées en géométrie tout aussi h'gitimcmeutque les quantités négatives, et qu'elles complètent par leur représentation un grand tout géométrique dont le positif et le négatif ne sont que des cas particuliers : car on trouve que si le positif doit se prendre à droite (par exemple) et le négatif à gauche, l'imaginaire doit se prendre tout autour de l'origine, c'est-à-dire que l'imaginaire répond à une direction quelconque dont le positif et le négatif ne sont, comme nous avons dit, que deux cas particuliers. L'on comprend quelle étendue doit donner aux résultats une pareille interprétation , et pour le moment , et à mesure qu'on en étudiera davantage les conséquences! et combien doivent être gênées les théories mathématiques sans cette extension. Elles sont comme une machine où la moitié des rouages ne fonctionnerait pas. De là, peut-être, une partie de la répugnance qu'éprouvent les commanrants pour ces sortes de questions. Nous allons essayer

(JlANTITÉS IMAMNAIRES. 'f

de dire là-dessus, ou d'ajouter ;i ce cjui a t'tt'* dit, ce que nous pourrons, pour le tléveloppenient de ce point de l;i science qui paraît si important.

4. Même la représentation dont nous venons di- parler et qui a lieu sur un ))lan . n'est pas encore t(nit ce dont a besoin la géométrie, ("ar nous aurons de plus à parler des lignes (jui tournent en rai/oinaut autour il'tnt point dau'i l'espace, comme celles <pii tournent dans un même plan.

5. Pour démunlrer ce (pii regarde la constructi.)n des quantités imaginaires , nous devons employer des raisonnements semblables à cenr (/ni servent pour les (/nantîtes négatives , et dont il faut bien reconnaître ï esprit.

6. La règle donnée parles algébristes, quand on arrive à un résultat négatif /• = — R, par exemple, est de changer le signe de x dans l'équation du problème et de voir ensuite si quelque nouvel énoncé pourrait donner la nouvelle équation, et, dans ce cas, Y on pourrait prendre ])our la valeur négative la grandeur R , dans le sens qu'on a eu en vue pour l'inconnue dans la seconde mise en équation. Ce second énoncé se trouve presque toujours. Mais nous pouvons généraliser ce principe :

7. Je suppose qu'en résolvant une question j'arrive à un résultat qui n'est pas naturel parce qu'il est affecté d'un signe qui en change la nature , comme imaginarité , ou signe négatif , ou autre modification inconnue. Il est clair que si avant d'entreprendre le calcul, on s'était attendu il cette modification du résultat, on aurait pu obtenir un résultat naturel. 11 n'y aurait eu qu'à affecter l'inconnue x de ce signe ou modification en commençant

4 »,»l AMlll''S IM \(,1>A1UI;S.

le (mIcuI \ii lii'ii d'inoirii la lin dit c-aU'XÛ j- =z (/fdnifcK i {iiKKli/ii'c). on aurait t'ii .r {ni(i(li/i(-) =: (jrandi'Kr (iikuU- //(•>). La inodilicalion ptMil so supprinx'r de part ot d'autrr , pnis(pr('ll(' est la nirmc , <•! il \ icnl ./■ z=z (/randciir.

S.C.cUc i^randcnr, cpif j'a|tpfll('rai cnroro R, se présonlanl alors natiircllcnu'ut, est la rcponsi' à la seconde ('(jiialion , ('"csl-ii-dire à l^Mpiation modifiée par le dian- ^'enient de ./■ en ./• nuxli/ir'.

Il l'aut ensuite voir s'il cxislr (pichiuc nouvel énoncé dont r(''(piation modifiée soit la traduction; (;t R serait la réponse h ce nouvel énoncé. Si alors le (;alculat(;ur veut changer l'intention qu'il avait en posant le prcunier énoncé, pour celle du second, ou bien l'étentlre de manière à comprendre le second; on pourra dire c[ue le résultat extraordinaire obtenu d'abord , c'est-à-dire R modilié , est une réponse à la question. R, pris sans signe, exprime la grandeur cherchée, et le signe qui l'affecte avertit de la manière do-nt elle doit être prise , qui est le sens de l'intention du second énoncé.

9. Si par exemple /(./) = 0 a conduit à i' = — R, ou mettra — x dans l'équation qui deviendra /"(( — x)) = 0 et l'on arrivera, en la résolvant , à — x- = — R, d'où x = R. Si l'on avait obtenu x=i^\/—\ , on mettra .r]/~i dans l'équation et Von aura [{(^xY^i )) = 0 qui résolut? donnera xV—\ = R^^, d'où x = R.

iO. Si maintenant on trouvait un nouvel énoncé qui convînt à l'équation modifiée dans le cas de x négatif, ou bien dans le cas de x imaginaire , le résultat négatif, ou le résultat imaginaire serait une rt'ponse h la question.

QIA>TITÉS IMAtil>AlltK5 ,'i

M. Or, poiii' le cas do j- nrj^Miit, il siillil de iin-ridrc pour riiicoiiuiK' iiiic i,M'aud('iir en .vr/(\ o/y//o.v/''(l(' (-«'lU' qu'on avait eu eu vue dans la preuiière mise en équatidu . pour arriver à récpiatioii uiudiliée . parce (|ue la -iraudeur opposée fait soustraction là où l'autre faisait addition et vice versa : car deux grandeurs sont dites cjpposées lorsqu'elles peuvent faire etret sur la même grandeur, l'une en l'augmentant, l'autre, en la diniiiuiant. Le gain et la perte d'un marchand sont deux grandeurs opposées parce qu'elles font effet sur l'acoir du marchand. Inné en l'augmentant, l'autre en le diniimiant. Aussi, la réponse — R dans le calcul du marchand , peut être j)risi' pour de la perte, et être considérée comme une réponse a la question, en imaginant que le marchand a changé son intention et(iu'il dit : je veux chercher de la perle, ou bien qu'il l'a étendue en disant je veux chercher tout ce qui intéresse ma position , gain ou perte.

12. Il n'est pourtant pas dit ([u'on puisse toujours utiliser les résultats négatifs. Quelquefois la ([uestion est (h; nature à ce (jue l'inconnue n'ait pas ou n'admette pas d'opposée. Si, par exemple , pour déterminer la date d'un événement , on avait entre les chiffres qui doivent exprimer cette date, une relation qui traduite en é<piation et résolue , mène à des valeurs négatives pour les chiffres, on ne pourrait tirer aucun parti de ce résultat, parce que les chiffres négatifs ne sont pas admis dans notre système de numération.

13. En géométrie, l'opposé d'une ligne allant à droite est une ligne allant à gaucht;(l l),carlaligne allant à gaiicludiminue cr qm- la li^ne allant ;i droite augmenterait

(l (Il \M I I I S m \(.IN VIllI'S.

I l l';ir .illcr a dinili' et ii i^aiidic , IHUIS (Mlt(Mi(li)iis (pic la li;^iif ci'tiil a |Mrlir (111111' de ses cxli'éinilés , (juc nous a|>|»t'lli'n»n> (irn/tnc de ((ilc li^iic , cl va iiis(|ii'a sa sccdiidc cxtrcinitt', oii elle s'arinMe. Oiiaiid iimis dirons l'extrciiiilc d'iiiic lii^ne, e'esl de la sfioiulf ([U \\ s'attira on de Miii Itoiil, |iar opposition ;i l'orij^inc.

|."). Donc, si en r('sol\aiil une (pie>lio!i oi'i riiieoiinne esl une lif^ne (pi"on croit a droite (ruiie origine, cl (pntii trouve u\i rcMillal iK-f^atil' — 1{ , si l'on avait ou rinlenlioii de la elicrclicr il i;auclie , on aurait tron\('' -|-R. Donc on pciil , st l'on rciit , prendre — U pour une n'^poiise ii la (pieslion, (Mi rej^ardant K (■oiinne la loiiiiueiir absolue (h; la liiiiie eli(Mrli(''e, et le sif,Mie — coinme avertissant <pie (•"est à tiauclie (inCUe doit iMre prise.

IG. Une (piantit('' ii(''i;ati\(' vient toujours de ce (|u'il y a eu une soustraeti(Ui où la (piantit('' ii soustraire s'l'sI trouvée i)lus iiTunde (pi(^ l'autre. .Nous pouvons donc considt'"rer un rt'sultat m'^atif — \\ connue ayant été {a — h) avant la réduction. Ce point de vue inuis sera utile i)our les résultats iniai^inaires.

17. Aous pouvons ne [)as op('rer ct'tte réduction sur les nombres abstraits , mais l'aire une opération graphique <[ui nous mène au même résultat. Nous partirons de l'origine, nous parcourrons a à droite. De l'extrémité de a , comme origine de h, nous parcourrons b à gauche. Il est facile de voir que son extrémité tombera là où serait tombée l'extrémité du résultat si l'on avait fait la réduction avant la construction. Cette construction sert pour le résultat positifcomme pour le résultat négatif.

IS iXous dir(»ns en passant (pi'il ne faut pas s'étonner

gL\Miri;N i>i vi.in vii;i ■« 7

de ce qu'un résultat négatif, cki hicn une SKUNtr.ictidii ou le nombre à soustraire est le plus j,'nin(l , |>ar;ii>sc uiu' chose absurde sur les norid»res abstraits et (|iie Cfla soit quelque chose de possible dans rap|)licalion. Cela vient de ce que dans les grandeurs concrètes . dans les distances géométriques, par exemple , l'origine do la grandeur est fixée arbiirairemcnl et non uccessai renient . Lii où nous faisons commencer une Ugne , n'est pas l'origine naturelle de l'existence, parce que ce point est dans l'espace: avant l'origine fixée il y a encore de la i)la('e. Il faudrait commencer à l'infini pour (pi'il m'y en eût plus tandis que dans les grandeurs abstraites, il n'y en a i>a> avant zéro , que l'on considère roninie l'orlf/lne dr l'existence.

19. Il est bon de remarquer toutes les inaiiièi-es dont cette construction peut se taire, par ce que cela jxuu'rail nous èti'e utile pour les imaginaires. Or , nous pouvons commencer par b comme nous avons (17) commence par a : c'est-à-dire, parcourir b à gauche, et de son extrémité, a à droite : l'extrémité de a donnera le i)oint, comme l'extrémité de b l'avait donné. Nous jiouvons dire qu'après avoir posé deux règles, l'une à droite de l'origine, longue comme a , l'autre à gauche , longue eonnne b , nous traînons une des règles jus([u'à ce que son origine soit sur l'extrémité de l'autre, et l'extrémiti- de la règle (pii s'est mue , donne le point cherché.

20. Nous dirons encore que si au lieu de lignes, il s'agissait de forces , disposées ii droite et à gaueUe de lorigine, comme les lignes , la réduction se ferait toute seule. Une bille, frai)pée à la fois par deux coups oppost'-s a et b, irait, au bout d'un tenips donné, au même point où

l'Ile M'i'iiil iillt'c (Ml la tra|i|iaiil sncct.'ssivt'nit'iit. Kt'niarqiic im/Hirldiifr.

iM . NCiioiis aux <|iiaiitil(''s imaginaires, l'oul n'-siillal imaginaire II l/ITi ou yHû* ])out être c«Misé, h la maiiièro, (les (|nantit(''s ni'^alives (10), avoir été sous la forme V /'S — '/*• (tardons celte l'orme pour la construetion. Tant (|iie // est jilns i^i'and <|iie ij , nous savons cons- Iruirc, et celle coiisti iielion a une analoj;ic avec, la conslru(ii(»n de ti — h cpie nous devons remarquer. Pour construire a — //, suivant un des procédés observés ( 19 ) , après avoir posé à droite de l'origine la longueur a, qu'on peut imaginer représentée par une règle matérielle , et avoir mis h à gauche, je fais mouvoir l'origine de a ou de la règle sur l'axe gauche , jusqu'il l'extrémité de h. L"e\tr(''inil('' de a doniuiei'a le ])oint cherché.

Pour construire Vpî— q* ( p ('tant plus grand que f/) on sait par la ])roi)riét('' du triangle rectangle qu'on y arrive de la manière suivante : on prend p à (

A C J* droite de l'origine, il ira par

exemple au point P, et rj sur un axe vertical , ou des y, qui viendra par exemple au point Q. Maintenant on fait mouvoir l'origine de p (ou de la règle) sur (/ jusqu'à l'extrémité de q qui est au pomt Q. L'extrémité de la règle donnera le point cherché G sur l'axe horisontal.

Si r/ se trouve aussi grand que p, l'extrémité de la règre rient à l'oricjine, et l'on ne trouve pas de reste.

Si 7 est plus grand qu(; p , on ne trouve aucun reste

IJL.VMITÉS m VtilNAlIlKS. 'J

sur l'axe horizontal ou des .r. De jilus er inauquf d»; résultat de la nature eherelit'e ne se manifeste pas par zt-ro , mais par R|/^ analyti(juemiMit , et |»ar nue iinp(»ssil>ilitt'de construction fïi'omt'tririuement.

Maintenant si (piehpie eunstruetion j;<''unit''lri«|ue peut (Itnnier un résultat analyticjue réel, nous serons autorist's à prendre le résultat géométrique comme la si (jni fie ai ion de l'expression imaginaire , de même que la granfleur à gauche est prise pour la signification de l'expression négative. Or, si au lieu de chercher le ré-sultat sur l'axe des .r , on le cherche sur la pcrpendiculain; ou l'axe des // , en opérant avec yv sur Y comme on voulait (jiM-rer avec 7 suvjf, c'est-à-dire, en faisant glisser l'origine A de 7 jusques à l'extrémité de p , on tnjuve un résultat sur l'axe vertical, c'est-à-dire, un résultat dont la direction estper|)endiculaire au résultat qu'on croyait trouver. Rien n'empêche de prendre ce résulat connue une réponse à la question, non pas telle qu'elle était suivant la première intention, mais modifiée: au lieu de (Wrcje cherche un résultat horizontal, on doit dire^e cherche un résultat vertical , ou hien encore l'mtention doit être étendue (8) en disant je cherche un vésuUal horizontal ou vertiral , c'est-à-dire. sur le système ou la croix des axes.

22 Quelquefois on emploie ce qu'on aitpelle h' pvohirme des courriers pour démontrer ou confirmer la théorie des quantitt'S négatives. C'est un problème où. à cause de sa simplicité , le calculateur peut voir sans calcul la nature du résultat. Or il y a un cas, celui où le couiTier parti de plus loin irait moins vite , dans lequel on voit cpie le résultat doit être pris en sens contraire de l'inlention pre-

|0 (^>i vMirf:s i>i vdiNAiiîis.

iiiit'rt'. AU>rs on iiilrri'd^c le calcul (|iii i't''|»oii(l |tar un rcsNltat m'ijutif, cl I'hii cdiiclnl (pic les rt'sullals ii-'j^atils (Idivoiil cti'c pris en sens (onli'airc; ou hicn si la (It'mons- Iratioiulc cclli'llu'oi'ic a ch' (lomK'caiitrciiicnl, oun'gardt; le problÎMiH' (les courriers comme mie rc'ri/icdlioii de ht théorie.

De même , soit une ellipse (i'-i/--\-/r.r-=(i'^h^. Ou sait qu'elle a ses foyers ou son exceulriciti- sur l'axe (kis j" si <i est plus ^raud (pie /> . cl siu' l'axe de // si h est plu> f,'rand (jue (t. Demandons au calcul celle; excenlricilc! en agissant comme pour la trouv(.'r sur l'axe des .r , (piand nous savons qu'elle est sur l'axe des y, in\ ])('V[)t'\](\\culaire à la position (pie nous faignons devoir trouver. Le calcul n'-pond ])ar une excentricité imaginaire. En prenant rimaginarit(î pour de la perpeudicularitt'; on n'a pas besoin de recommencer le calcul pour trouver les foyers , et l'intention du calculateur doit être : je cherche le foyer, qui peut se trouver ou sur l'axe horizontal ou sur l'axe vertical.

Grandeurs à partie réelle cl à partie imaginaire.

23 Si l'on a une grandeur ii partie rt'elle et à partie imaginaire , comme a-\-b\/^ , a el h représentant des grandeurs positives, par exemple, la partie rt'elle se [)rendra à droite et la partie imaginaire en haut, à partir de l'extrémité de la partie réelle (17) , elle point où arrivera l'extrémité de h pourra être regardé comme le point cherché. Mais il laut ici étendre l'intention encore plus que ci-dessus ; il faut se dire , je cherche un point qui peut être situé non seulement sur la croix des axes (21), mais encore sur tout le plan. De sorte que ces

QrANÏITKS IMAI.IN VMîl> I I

deux grandeurs, de nature dillV'ifiiit> , cl donl I assimilation paraît impossible, domifiil parieur n'-uiiion un rt'sultat eu géométrie. Clela vicut de ce ipic la gi't.un-- Irie a îles positions qui n'ont aussi rien dt; seiublalile entre elles: car quedire surlidi-nlité dénature d'une ligne et de sa perpendiculaire? Il y a connue l'on dit quehpiefois un abîme entre ces deux iialures. La réunion de ces deux sortes de lignes si hé'térogènes , oll're [iourtant un résultat (pii est quelque chose, savoir: l'arrii:i'e à lui puinl clierrhf'.

•2'i La mécaniipie va nous donner quelque clu»se de plus intime, sur la combinaison des grandeurs ré-elles et des imaginaires. Deux' grandeurs réelles rapprochées par addition (algébrique) ne restent jamais séparées, elles se réduisent en un seul résultat de même nature, ou positif ou négatif. Cela se fait par une opération analytique que nous savons faire et qui est l'addition ou la soustraction. Quant aux grandeurs réelles et imaginaires, comme «-j-^KHï, y aurait-il aussi moyen de ne pas les garder séjiarées , inais d'en faire un tout homogène ? Laisons-nous diriger par la mécanique, qui déjà peut faire, comme nous savons (20). la réduction desgraudeurs réelles. Que l'onapplicpie deux forces sur l'axe horizontal à l'origine , ou toutes les deux positives . ou bien toutes les deux négatives , et imaginons que ces forces sont représentées jKiriies droites, ou mieux encore considérons l'effet de ces forces : le chemin d'une bille fait dans un temps donné, parl'impulsion de ces forces. Le chemin de la bille nous donne le résultat de ces deux causes , que nous appelons résultante , et c'est la somme alfjébri(juc des grandeurs ou des lignes qui représentent les forces. De sorte (pu- . lors même

12 Ml vMiTf'S ni\(;i\ \iiii:s.

(|iit' les l'oiccs (III les };raii(leurs uc serainU pas lUMiiiics, ou ne snaiciil pas de iiu''in(' nature , rllcs ne sont [las (II' iiiriiif nature si l'une est positive cl rauti'(> m'-j^ative, elles ne sont pas n'iinies, si ;iii lieu de (loiiiief un coup ipii soit lasonnne(aii;(''l)ri(pie) des deux coups on doiine lesdenv coii|is; Ik- liien danscecas, dis-je, la mécanique se charge [loiir ainsi dire de l'addition et nous doinio, comme nous avons remarqué (iO), le résultai , ipii (>st la résultante des deux forces. Ce sont deux causes (pii se l'ondent jiour ainsi dini ensemble, pourne donner (pi'nn ri'snltal, parce (pi'il ne peut pas \ en avoir deux. i\ous sonnnes donc autorisi's ii dire somme ruc'ccmiiiiic ou somme slatiqne au lieu de somme algéhrlqae.

La mécanique fa il donc l'addition de deux forces (/ni sont sur la même //r//u% c'est-à-dire, trouve une troisième force qui produit le même effet que les deux composantes. Mais elle fait aussi une espèce d'addition de deux forces qui ne sont pas sur lamême ligne, elle trouve une troisième force qui fait le même effet que les deux premières prises avec leur grandeur et leur position : c'est, comme l'on sait, la diagoyiale du parallélogramme ou du rectangle des composantes, c'est-à-dire, qu'elle remplace par un tout homogène l'ensemble de deux grandeurs qui ne l'étaient pas.

25 Rien n'empêche en géométrie de remplacer a-j-6 V-^ par la diagonale du rectangle ou l'hypoténuse du triangle rectangle dont a et b sontles côtés, car en suivant cette diagonale nous arrivons au môme point. L'addition statique ou composition des forces , répond donc à l'addition des imaginaires. On peut par là, substituer un tout homogène à deux parties de natures différentes entre

QlA>TITf:s l>U(.l\AIHi;s. |;{

elles. Le tout (jui est lioiuoj^'èue eu lui-même ne l'est ni avec une partie ni avec l'autre. Il y a pour ainsi dire fusion (les deux natures, commedes deux },'iaudeurs absolues et rien ne demeure ce (pi'il ('tait.

26 D'après cela . l'extension a dduner ii l'intention du calculateur peut être rendue ainsi i^t' f A ^/ï-Ac «// puint situe à l'extremitc d'une droite parlant de ïnritjine, et faisant un anrjle queleonque arec l'axe des x positifs.

Si le résultat est tout réel et positif, l'anode à l'axe est zéro. Si le résultat est négatif, l'angle à l'axe est de deux droits. Si le résultat est tout imaginaire , l'angle à l'axe est un droit. Si le résultat est en partie réel et en partie imaginaire, l'angle à l'axe ou l'inclinaison a pour tangente trigonométrique la partie imaginaire divisée i)ar la paitie réelle, c'est-à-dire -, s'il s'agit du résultat a-\-/)y~\.

C'est donc un résultat homogène, une ligne , ipiil faut avoir en vue, eii // faisant entrer l'idée d'inclinaison .

27 Considérons encore les foyers de l'ellipse , ou comme preuve ou comme vérification de la manière de prendre les grandeurs à partie réelle et à partie imaginaire. La distance du sommet de l'ellipse au foyer (>st a-\-ya*—b-- Si h devient plus grand <\uc a, le radical devient imaginaire, et en le prenant verticalement à la suite de a qui est horizontal, on arrive au foyer. Si le point de départ n'était pas au sommet, mais ])ar exemple à un point de l'ellipse, il y aurait des considérations dans lesquelles nous entrerons plus tard.

Ciilnil lies fiKtiulcurs iitKKjiiKiircs.

:?S lue tuniuilt' en iioinhrcs it-cls ('tant (loiiiu'c . le calcul l'cdiiit cette toniiiilc cil un seul tout ou ('('sultal, en clVecluant les o|i{''rati(»ns in(li(|uccs; cl si l'on est convenu (|iie CCS nombres sont des li^nu's , le càhû troure nnc ligue ijiii est le rrsulidt final. Si la toiinule est composée (le {grandeurs imaginaires, (]ui toutes sont représentées par des lijj;nes avec leur inclinaison (26) , le calcul aura pour objet de suivre les modifications qu'éprouvent ces li^qies par le calcul et d'arriver à la ligne finale qui représente le résultai fie l'opération fiant en longueur qu'en ilirectionj.

1% Addition. Xnus avons vu (2o) (pie l'addition de deux, grandeurs, l'une imaginaire et l'autre réelle, connue a et b y^i, se fait par la statique, c'est-à-dire, par la diagonale du rectangle. Si l'on a un nombre quelconque de grandeurs imaginaires conune :

a-\-bV^\

c-\-dy~\

qV-u

à additionner, ou plutôt à construire; on fera encore de même par la statique , c'est-à-dire , qu'on composera ensemble toutes les parties réelles .- ce qui donnera une résultante sur l'axe des x dont la longueur sera a-\-e-\-p-\-e ; ensuite les parties imaginaires ensemble.: ce qui donnera une résultante b-\-d-{-f-{-q , sur l'axe des y^ et l'on tirera la diagonale.

tji vNTiii'^s niAi;iNAiiii:> |.i

On |)(>uriail t'iictirc coiniiitsci' a ri A V — i •'iisfiiiMc: cr <|ui (loniit'iait d«'j;i uim rt'-sullaiil»' iiiclinrc ; ciisiiitc c-\-'IV^ donnerait aussi mw ivsullanto inclin. ••• On romi)()serait ensuilo ces deux n'snllatites enseinldc /mr le pdrdllc'loyraminc i\i'<. {oV(v>. Avec la ii'Nnlt.nile iinOn trouverait, on coiiiposiTait une de celles <|ui retient, ainsi de suite. Le lecteur se dt-niontrera t'acilnnenl (|ne ces deux manières do construire micik iit au imimuc rouliat D'ailleurs la slati(iue le l'ail voir bien siniplenienl. car on doit arriver i\ la même rt-sullanle de (|uel(iue manière (|ue l'on compose.

Nous pouvons encore rlire ([uOii lient composer par le polt/gone connu en stalifiue , que l'on forme en niellant m-cc leurs inclinaisons, les forces ou lignes les unes à la suite (les autres, de manière toujours qu'à l'extrémité de la i)remière soit l'origine de la seconde , à l'extrémilé de la seconde soit l'origine dt; la Iroisième. ainsi de suite, et la résultante , ou le résultat , ou la somme statit/ur de ces forces, ou de ces lignes, est la ligne (pii irail de l'orifjine de la première composante n l'extrémité de la dernière, c'est-à-dire, qui fermerait le polygone en partant de l'origine. Ceci est la généralisation de l'article (2o).

Quand on compose les parties réelles ensemble ei les ])arlies imaginaires ensemble , il est facile de voir (pi'on suit l'esprit de ce dernitîr procédé , car on met bien les lignes les unes à la suite des autres avec leurs inclinaisons, qui sont nulles pour les unes, cl un aui^lr droit pour les autres.

30 La Soustraction revient ;i l'addilion en diangeanl les signes.

16 gl\MITf:S nUfiINMIIF.S

.n On M'iil (jiK^ les v;iri;ilioiis (|iM''|ir(m\('iil diiiis Iciii' iiK'liiKiisoii les };raii(U'iirs iuiii^iiiaiics, |)ar l'additioii cl les antres rèj^lcs de rarilliiiu'ti(|iu' et en ^('iK-ral par des coiiiliinaisoiis (jiiclcdiKjiics , jx'uvciil l'aire loiiibev les rc'sullats dans ra\(> (des ,/•), r'est-;i-dii'e, diiiiiifi' (lu ii'cl. Vdilii |»(inr- (|iitti l'on dit (|ne les (|nantit(''s iinai;inaires (inoiipu! inuii^inaires ne doivenl |)as tonjonrs èli'e abandonnées: (jne sonvenl par dc^ combinaisons on en tire des résultats réels. C'est prendre los imayinaires aupassaije h l'axe pendant leur mouvement; mais on peut les considérer jiendant tout le cours de leurs variations

.■]2 Miillij)licuti(>u. Quand une grandeur imaj^inairc on incline'»^ est multipliée par une autre, elb; ('[jrouve problauiernent une variation et dans sa longeur et dans sa direction. Xous pouvons donc dire qu'il y a deux règles , celle d(>s louyucurs et celle des inclinaisons. Or la règle des longueurs est qu'elles se multipUent et la règle des inclinaisons c'est que les inclinaisons s'ajoutent. Nous allons le voir tout en profitant des théorèmes analytiques connus sur ce point.

Pour cela considérons une droite inclinée , d'une seule unité de longueur. Son expression analytique sera une partie réelle et une partie imaginaire a-["^ l/Hï , choisies de manière que leur hypoténuse , qui est la droite en question soit égale à l'unité. Mais alors la partie réelle peut être considérée comme le cosinus et la partie imaf/inaire comme le sinus de l'inclinaison de cette ligne qui est l'unité, c'est-à-dire, que l'unité, soit dans sa position, soit dans sa longueur , sera exprimée par cosy. -\- sinr/. y^ ,

en entendant par a riucliiKiis<jii (If <tUf unité liiu'airo . ou l'anglo qu'elle tait avec l'axe des jr [positifs. Prt'iioiis une seconde unité inclinéo ro.vS-j-A-<«§]/^, pour m multiplier la première. On sait par la trij^ononiétric (]Ui' Ir résultat sera :

Cl>6(a + i.)-j-.s7/*ro(-|-C) y~i :

c'est-à-dire, que le produit n'a pas chanyé île lonj^ucur, il est toujours l'unité; mais cette uniti* a la sunnuf des inclinaisons des facteurs.

Maintenant nous remarquons que tout noiobn; cttiK^ri'i peut être considéré comme composé d'une unité concrète multipliée par un nombre abstrait. 15 francs peut être considéré comme l'3 Uns un franc. C'est alors la nature de l'unité qui donne la nature du nondue. Si au lieu d'un franc on met un sou, un mètre, etc., la natur<î du nombre change et le nombre abstrait demeure. De même une ligne inclinée, d'une longueur quelconque, a-^by^, peut aussi être considérée comme une unité linéaire inclinée multipliée par un nombre abstrait. Cette droite inclinée est l'hypoténuse d'un triangle dont a e\. b sont les côtés. Il faut imaginer (jue le triangle se rapetisse en demeurant semblable à luimême, de manière àce que l'lnjpoténnse dcricnne l'unité. Pour cela il n'y a qu'à diviser et l'hypoténuse et les côtés par le même nombre , et ce nombre doit être le nombre abstrait qui marque la longeur de l'hypoténuse , savoir \/a--^b^ , puisque cette hypoténuse doit se n'-duire à l'unité linéaire. Dans le même temps les côtés du triangle se réduisent l'un au cosinus et l'autre au sinus de l'inclinaison. Si elle est «on auraro.va-|-.s///aV'— ï.'" «'st-àdire, une seule unité ayant l'inclinaison de la ligne totale.

Et on miilli|»li;iiit cotte uiiitô par lo nombre abstrait Vrti-f^», (|ni a fait la division, la ligne devient ce qu'elle «•lait. Donc n-\-l>V^ jx'ut être mis sous la l'orme li{r(isy.-\-.slitri\/^), ou dc'sifinanl |tar//,lc nonibri^ abstrait

Le nombre abstrait/; est souvent appelé module , par les géomètres, et ilsa|»i>cllcnt rrdnite la partie (pii, suivant nous , représente l'unité inclinée.

Maintenant , qu'on nous propose deux droites inclinées «-|-/>|/IIï et c-^-dyZÂ , d'une longueur quelconque. Nous les réduirons rospoctivc'mont aux formes p{coso: -\- siii'j. V^) et (j{(os^ -\- sin^ V^) ■ Alors les nombres abstraits p et (/, qui sont les longueurs des droites inclinées , se multiplient ensemble. Nous savons que l'unité du produit aura les deux inclinaisons ; et la longueur aura le produit des longueurs.

33 La règle des signes de la multiplication algébrique est un cas particulier de ceci -\- par -|- rlonno -|- . + par — donne — etc. dit-on ; ou bien -|- I par + 1 donne -|- 1 , -\- i par — I donne — 1 etc. Nous pouvons regarder

{cosv.-\- sinv-V^), qui affecte le nombre abstrait p , comme une espèce de signe avec l'unité, puisque c'est l'unité dans une certaine position, et -\-\ est aussi l'unité dans la position à droite , — 1 l'unité dans la position à gauche. -j-\ c'est l'unité avec une inclinaison zéro. En multipliant -j- 1 par-]- 1 on doit trouver la somme des inclinaisons, c'est-k-dire, l'inclinaison zéro ou-f-I . — 1 a une inclinaison de deux angles droits : multiplié par-|-1 . qui n'a point d'inclinaison, il doit donner deux droits ou — I . Ensuite — I par — I doitdonnerles deux inclinaisons ou quatre droits, c'est-à-dire, revenir à l'axe à droite, ou ii-j-l.

34 Divisioyi. Dans la division /('\ loiu/neurs ilotvtni se diviser, vX\ei inclinaisons se souslraire, par des raisonstirées de la multiplication.

35 Pour l'élévation aux puissances , il est tacile de voir (en considérant des facteurs égaux), (pie la longueur doit s'élever à la puissance et l'inclinaison sr m n II i //lier par l'exposant de la jndssance. Ainsi '

( coso^ -{■ siny.Y~\)p)"' = ( cosy. -(- siny.y^ )"'j)'" z= (cos mo^-\-sin mot. yilï)p ■" .

En ne considérant que l'élévation de runitt' inclinée , on a {cosv-\-sin'x\/^)'"= (cos ;««-f-.y/n )n/y\/^), comme l'on saitfpar le théorème de MoivTej.

36 Pour l'extraction des racines il est facile de voir par l'élévation, qu'on doit extraire la racine de la lont/ucur et diviser l'inclinaison par l'indice de la racine.

37 D'après ces règles une formule en imaginaires ou lignes inclinées étant donnée, on pourra trouver le résultat : c'est-à-dire, trouver en grandeur et eu position, la droite qui représente le résultat de la formule. On pourrait pour cette opération employer le mot composer ou construire une formule.

Variation des fondions algcbriiiues.

38. La variable x peut varier et dans sa longueur et dans son /??r//Ha/.?o», c'est-à-dire, que son extrémité peut parcourir le plan des x g. Nous allons voir les variations qu'éprouve une fonction (algébriquej de cette variable , ou bien ce que parcourt son extrémité.

Considérons d'abord un seul terme d'un polynôme , ou une seule puissance de la variable, ./' par ('xcni|ilc. ()c( u-

iO (,)l\NTITÉS IM\(;iN viiirs.

poiiN-iKKis d'aludd (le l'inclituiisoit . Poiirci'la iio mettons (lu'iiiii' unité il la |)laci' de .r , une unité inclinée. D'après ce (|iii pD'Ct'dc Ci'))- lî» toiictiou ou la soptii'^mo puissance, sera 1 iniitt' avec une inclinaison scjtt fois [ilus grande (jue crllcdc la variable. Alainli-nant imaginons que cette varial)l(' ou unité inc'lint'c de (•in(| ou six degrés, sil'oji veut, à l'axe des ,r (positifs), tourne de manière que son angle. d'inclinaison croisse. L'angle d'inclinaison de la puissance s(>ptième croît sept fois plus vite. Les inclinaisons que l'unité ou la variable a à parcourir, c'est depuis une inclinaison z.éro (je veux dire un angle d'inclinaison), c'està-dire, depuis sa coïncidence avec l'axe des x (positifs), jusqu'il un tour , deux tours, jusqu'à une infinité de tours positifs, et jusqu'à une infinité de tours négatifs. // n'y a que deux manières de tourner. Durant ce temps la fonction parcourt la même échelle, mais sept fois plus vite.

Nous voyons donc ici , ainsi que le disait Monge , comme un spectacle mouvant dans une figure de géométrie, où nous pouvons suivre de l'œil les variations simultanées de la variable et de la fonction. Arrêtons-nous un peu pour bien considérer les relations qu'il y a entre les puissances et les racines de l'imité.

39 L'unité inclinée élevée à une puissance ne donne (jue l'unité, mais inclinée autrement , sept fois plus inclinée , s'il s'agit d'une puissance septième. (Par sept fois plus inclinée j'entends ayant un angle d'inclinaison sept fois plus grand , ce qui est presque contraire au sens du langage ordinaire , mais c'est plus court). Ces unités , l'une racine et l'autre puissance , sont dans ce cas en partie réelle et en partie imaginaire l'une et l'autre, ce

QIANTITÉS l>IV(.l\AIKI> 21

qui est le cas général. Si l'on t'ait tourner l'unité racine, l'unité puissance tournant plus vite, elles peuvent se trouver ou l'une ou l'autre dans tles [tositions reinan/uahlrs. L'unité puissance, par exemple, tombera <laiis l'axe horizontal, c'est-à-dire, //er/e?t(/ra réelle, ou-\-\ ou — 1 ,etruiiitt'racine n'\ étant pas , cette unité réelle aura pour raciiif l'unité inclinée, ou en partie réelle et en partie imaginaire, ce qui est assez singulier. L'inverse ne jn-af pas arrirer, s'il s'agit d'une puissance entière: parce que l'unité racine, pour tomber dans l'axe, a besoin d'avoir fait tui un diiiiitour.oudeux, ou trois,etc., cequimultii»liéj»aruii iioinlire entier, savoir le degré de la puissance , tait un nuiuhre entier de rfemi-Zoîirs pour l'unité puissance, ce qui la fait tomber dans l'axe. L'unité puissance peut encore coïncider avec l'unité racine , c'est lorsqu'elle l'atteint après avoir fait le tour.

40 Si nous voulons aller de l'unité racine ii l'unitt' puissance , il faut multiplier l'angle on l'arc de la racine par l'exposant de la puissance, disons-nous. Pour revenir de la puissance à la racine il faut donc diviser l'arc par le degré de la racine. Comme la variation en tournant a ceci de particulier que les nouveaux états reviennent passer sur les premiers , il y a des circonstances remarquables dues à ce fait. C'est que l'unité inclinée ou non inclinée a autant de racines qu'il y a d'unités dans l'indice de la racine. Pour fixer les idées, qu'il s'agisse de la racine (juinzième de l'unité, inclinée par exemple de l;> degrés. Il est clair d'après ce qui précède que l'unité inclinée de 1 degré sera sa racine. Mais comme la proprit'-l»; fondamentale de l'unité racine est de venir, après avoir tourné de 15 fois son inclinaiscjn (proiire). c(»ïncider avec

22 (JlAMITl'S IMAt;iNAIKKS.

l'iiiiitc |tuissaii((\ on |triit;mi;iut'iitt'i' l'inclinaison un degré (le la racine, on peut l'an^nu'iilci', dis-jc, d'un angle ((ui lui jx'ruicUcdc se trouver ou coiucidence avec la puissance après avoir lournt' de 15 fois son inclinaison. Or cela arrivera si c'est d'un (luinzihnc ou de dcn.v (juinzièmes, ou (le i rois f/tunzirnu'.s , etc. , de circonférence qu'on augnienle ce degré; parce que l'unité racine, après avoir fait quinze dcgn's, aui'a t'ait une circonférence ou deux ou trois déplus que ce qu'tdle devait faire pour arriver à l'unité puissance, ce qui évidemment ne l'empêche pas de s'y trouver. Doud'unili'' inclinée de 15 degrés a pour racine quinzième, ou I degn''. ou 1 dégré-j- — de circonférence ,

o ou I degré -f- p de circonférence etc. Et toutes ces racines

sont bien dijjérentes jusqu'à la quinzième; mais la seizième retomberait dans la première à cause du retour de la circonférence.

41 Dans le cas particulier où l'unité puissance est réelle, ou dans l'axe , les 15 unités racines, qu'on appelle alors racines de l'unité {réelle), sont placées ou inclinées symétriquement au-dessus et au-dessous du diamètre. Cela fait que leurs parties réelles sont les mêmes deux à deux et les parties imaginaires ne diffèrent que par le signe. On dit alors de ces racines qu'elles sont conjuguées: ce qui n'arrive pas si la puissance elle-même est imaginaire (ou inclinée) Mais il y a beaucoup de choses pour lesqu'elles nous devons renvoyer aux traités connus sur cette matière, en y ajoutant seulement la représentation géométrique.

42 La multiplicité des racines dont nous venons de parler, n'est pourtant pas vraie d'une manière aussi absolue qu'on pourrait le croire: elle ne l'est que sous un

QUANTITÉS niA(.INAIRES. i'i

certain point de vue. Sous un auliv la rnrinc est uiuijur même pour un indice inconinieiisurahle, (•(tnnnc nous ferons voir plus tard.

43 Voilà pour les inclinaisons, revenons nur longueurs U suffit de multiplier l'unitéc inclinée, av()iis-n(»nsdit(32), par le nonil)re abstrait «m module, pour avoir la ligne inclinée ou imaginaire. Nous pouvons faire varier ce nombre depuis zéro jus([u'a l'intini positif, et la ligne imaginaire croîtra de zéro jusjju'à l'intini, sans changer d'inclinaison. Imaginons maintenant qu'une ligne imaginaire ou inclinée est mise à la place de x dans .r^ par exemple. Si nous faisons tourner la ligne racine ou varier l'inclinaison à partir de l'inclinaison zéro ou de l'axe, nous savons que la ligne puissance part aussi de l'axe et tourne 7 fois plus vite que la racine. Pour la longueur imaginons que nous faisons tourner la racine par stations infiniment voisines, et que nous l'arrêtons un instant ii chaque station, pour faire varier la longueur depuis zéro jusqu'à l'intini positif d'une manière continue. Nous savons que la ligne puissance fera aussi des stations infiniment voisines , et qu'à chaque station elle variera d'une uianière continue, depuis zéro jusqu'à l'inlini : parce que le coefïîcient abstrait de son unité est une puissance du coefTicicnt de la variable. Donc, pendant que l'e.ilremite de la variable parcourt le plan des xy , l'extrémité de la fonetion ou de la puissance, le parcourt aussi. iSous pouvons ramarquer que l'extrémité de la puissance le parcourt plusieurs fois pendant que l'extrémité de la variable ne le parcourt qu'une fois : car la puissance tournant S(>pt fois plus vite , le parcourt donc sept fois pour une de la variable. Mais l'essentiel est qu'elles le parcourent tout ['une et l'autre.

94 gi'\Mirf-s ni \(;iN\iiu:s.

\\ Si 11' Ic'niir ;';iv;iil un CDi-tliciciil rrcl ou iiiKij^iiiaii't'. mmiii»' il sfi'ail imilli|»li('' par ce ((icniciciit , il l'audiail ;i rincliiiaisdii de la puissance (ijoiilcr cfllc (In focljlcicnl : le puinl (le (l('parl de la puissance pour tt>urner ne serait plus l'axe, mais à l'diujh' <lu cot'ijiriciil à parlir de l'axe. Si ce coetlicienl est |Mi^ilil', il n'a jias d'inclinaison; s'il (îst iK-^alir, il a deux droits ; s'il est imaj^inaire, il a un angle, (dinnie l'on sait. Poui' la lonj^iieur, il faudrait niulli[>hier la Iniii/iiriir (le In /niissnucr /inr In hmi/neur ou le module de ce coellieienl. On voit (pie le coellicienl n'n/)/i(nir. aucun (Irnuif/cnicul cssciil/rl.

4.') Nous voyons |iai' lit (pie uouspon\(ins tiiiiu; allei' l'ex- IriMiiitt'; de la puissanc(îacc()nipagn(3e ou noiiacconipagn(îe (runcoellicient ((|uelconque) partoul où nous voudrons, ce qui signilie qu'une t'(iuation ((;n j,'én(;ral inwyinaircj

il deux termes

a tonjonrs une rnrinc. Elle en a nu^inc plusieurs et on les trouverait par les principes (|ui pr(ÎC(''dent. Elles sont en liiMUM'al iniai;inaires.

46 Considérons un /)olt/noine. Pour plus de sinq)licitiî, ne prenons d'abord que d(mx ou trois termes :

par exemple, et sans coefficients. Que la variabl(î x soit une ligne imaginaire ou inclin(;e; la puissance x'' sera aussi en g(''nt''ral , d'apr(>s ce qui pr(''C(Hle (43), une droite inclin(îe ; le ternie x'^ en sera une antre, le terme x^ une autre. C'est la somme st;itique ou la résultante de ces trois liç/ncs qu'û nous faut.- Il('; bien ! après avoir obtenu les résultâmes jjonr chaque terme , nous les composerons par le parnlléldijrnninic des farces {Î9i) (ou bien par un rec-

QCANTITÉS IMAGINAIRES -' )

tangle, en composant los puitics réelles ensemble el !•'> parties imaginaires ensemble sur les axes).

ObserAons maintetiant la variation de cette résultan le pendant (jue rextrémité de la variable parcourt le plan. Nous savons que quand r a pt)ur inclinaison zéro ou e^l sur l'axe; x' , ,r% ,r', y sunt aussi. Donc ilans ce cas b's parallélogrammes de construction et la résultante tombent dans l'are. Dans cette position faisons varier .»• en longueur, et d'une manière continue, sans changer de direction: en d'autres termes, faisons parcourir l'axe à l'extrémité de T , l'extrémité de la fonction ou de la résultante le parcourra, mais plus vite.

Faisons tourner x infiniment peu , et l'ayant arrêté, faisons parcourir à son extrémité , non l'axe , car x n'est plus dessus, mais \e rayon infini de sa direction, ^enchni que X varie sur son rayon (fixe) de direction , les trois puissances ci-dessus varient sur le leur; mais la résultante ne varie pas sur un rayon fixe, sur une droite. Elle varierait sur une droite si les trois composantes variaient proportionnellement , car les parallélogrammes de construction demeureraient semblables à eux-mêmes. Mais, comme ces termes sont à différentes puissances, les hautes puissances croissent plus viteque les basses, jj* par exemple croît plus vite (dans le haut), que x''; alors la diagonale ou résultante de x'' et j?% va en se rapprochant de la direction de .r',- car on saitque la résultante est plus rapprochée de la plus grande composante. Cette résultante composée avec ,r', donne une résultante finale qui va aussi en se rapprochant de la direction de .r' quand ./• croît, par la raison que .r' croît plus vite dans lehaut(iuela premièn; résultante trouvée; car on sait en algèbre que .r' finirait par surpasser l'en-

-'■> glAMIltS IMAGINAIUKS.

st'iiiltlt* OU la soiniiic des Irniics iiifi'riours .r'-j-.?". Mais la icsultaiilr on la soinnic sialiijiif de ces ternies est plus petite (|ue leur soMiiiie absolue donc .r" croît plus vite (jue cette résultante; doue la r(''SMltanle liuale tourne en se rap|)roeliant de .t''.

47 On ])t!ut renianiuer que le ternie du plus haut degré finit par donner sa direction au i)olynonie, pour les grandes valeurs de x. Pour les petites c'est le moins élevé; comme l'on sait dans l'algèbre ordinaire, que ce sont aussi ces deux termes (pii doiuient le signe au polynôme : cequi doit être car les signes sont des cas particuliers des directions.

48 Si l'on fait varier x en longueur d'une manière continue , sur une direction , il est visible qut; les parallélogrammes de construction varieront d'une manière continue; l'extrémité delà résultante finale se mouvra sur le plan d'une manière continue, et engendrera une courbe, qui demeurera comprise entre la direction de x'' et de x\

On peut déplacer la direction de x infiniment peu , et l'on aura pour cette seconde station une nouvelle courbe infiniment voisine delà première , ainsi de suite. De sorte que si, par ces déplacements de direction de x et ces variations de longueur , on fait parcourir à l'extrémité de x tout le plan, V extrémité de la résultante du polynôme l'aura parcouru (même plus vite).

Ce que nous avons dit de trois termes , nous le dirons de tous les termes d'un polynôme.

Si les termes ont des coefficients , il n'y a de différence que dans le dt'part de l'inelinaison de chaque terme

QUANTITÉS IMViiINAlKKS. 27

comme il a été dit (44). Et c»'Ia iitinpèche pas la ronstruction des paralle'lofjramnies.

Nous voyons donc que x parcourant de .son extrcniilé, tout le plan, qui forme le champ de ses variations, la résultante du poUnôme (à coefficients réels ou imaginaires) , dont il est la variable , le parcourt aussi.

49. Nous tirons de là, ou pour mieux dire, nous y voyons comme dans un tableau, que toute équation ou polynôme a une racine. En effet, considérons le terme constant . il aura sur le plan de variation une certaine l)osition. Pour que x soit racine, il suflit qu'il mette, par sa variation, la résultante des autres termes dupohiiôrae en opposition ou en ('(juilihrc avec le terme constant; ce qui est possible, puisque x peut, comme nous avons vu (48), faire parcourir à l'extrémité de cette résultante tout le plan de variation.

50. Nous voyons encore que si les coefficients sont réels, y compris le terme constant, qui est un coeflUcient ; quand le polynôme a une racine , // a aussi sa conjufjuée. Car , dans ce cas, les coefficients sont dans l'axe (ou à droite ou à gauche) ; les lignes tournantes ([ui représentent les termes du polynôme, doivent alors partir (pour tourner), de l'axe, puisqu'elles doivent, parce qui précède '44), partir de la position de la ligne qui représente le coefficient. La résultante des termes variables, pour se mettre en opposition avec le terme constant, doit tomber dans l'axe, parce que le terme constant y est, à cause de sa réalité. Le départ des composantes et l'arrivée de la résultante sont donc symétriques à l'axe. On aurait donc le même avantage à taire tourner x en bas (ju'en haut, car il peut tourner en deux sens: c'est-ii-dire. que.

^ OIVMITf'S niuii>\i«is

si, CM laiMiiil liiiiriK r ./ de lo drf^n's en liiiiil, par t'X.t',niplc, cl lui (l(»iiiiiiiil 7 mclics (le loiii^iiciii', on a amené la résiillaiilc il l'tMiiiilihrc , (|iii a lien dans l'axe; en faisant liMn-ner <le I .i defjrés en has el d(»nnant7do lonj-iieur, on amènera anssi la n''snltanl(> dans l'axe el elle sera la inniir ifitr ijuiiiiil (ii> (iijissiiit /Hir-dcssu-s, et cela, comme nous avons dit , a cause de la symétrie. On ponrrait cjialenu-nt arriver ii ce même point en ne tournant ijKc (hnis un sens. Or, 7 mi'lres de lonji;ueur, avec15 désirés d'inclinaison en liant ou dans le sens positif, et la même lonj;ncur, avec IJidej-rés d'inclinaison en bas ou dans le sens nép;atif , sont deux expressions imaginaires idiiiiK/iircs. Si l'inic est a -\- Il y ^,Viiulro est a — hV^^.

51. iXous voy»)ns donc par là que les racines imaginaires niarclicnl par couples. Par conséquent elles donnent lien à )les fadeurs du second degré, réels. Ainsi , l'on peut dire i[\u' loid jtol g nôvhc à coefficients réels, est tiéeomposable en facteurs réels du second degré.

Cela n'est plus vrai, si les coefficients sont imaginaires: |)arce que li>s départs et arrivées n'étant plus symétriques a l'axe, en tournant x en dessous comme en dessus , on ne ]iroduira pas le même effet. Mais, il faut dire que j'entends des coefficients imaginaires non ambigus; c'està-dire qu'en écrivant a -\- b\/^, c'est un seul signe du radical que je considère.

'62. Si l'on entend que les deux signes du radical agissent, et que le coefficient est a ±. h \/^ , ce n'est plus une simple équation , il y en a alors deux ; hé bien , dans ce cas, les racines conjuguées reparaissent encore. On le voit facilement par les départs des inclinaisons des

QUANTITÉS IMV(ilN AIRES. ^^>

composantes, ([ui n'ont pas lienii l'ax.»' , mais à des distances symétriques , quand on runsiilère les parties imafi;inaires des coefficients avec le signe -|- et ensuite avec le signe — . Mais alors une racine et sa conjuguée n'appartiennent pas, à proprement parler, à la même équation: la seconde appartient à la seconde é(iuation, cpii a les coefficients coiijiujuc'f; ai ce la première.

Résolution de l'équation 1 -f- -* ~i~ •'" ~|~ ~\~ J'"' "^^ ^ <

et d'autres.

53. Pour rendre le discours plus sensible, nous raisonnerons sur des exemples , il sera facile ensuite de généraliser. Soit par exemple l'équation ,

c'est-à-dire, une équation du quinzième degré, dont Irs coefficients sont l'unité, et (jui a tousses termes, (la lacune n'étant que pour abréger) :' il s'agit de trouver les racines. Or , je dis que l'unité inclinée d'un arc qui soit le 16"* de la circonférence , ou d'une manière générale la [m-\- i j""^ partie , est racine de l'équation. En effet, que l'on imagine un cercle ayant l'unité pour rayon , et sa circonférence divisée en 16 parties égales, t?t marquées si l'on veut , pour bien fixer les idées. Maintenant considérons une unité inclinée de — de circonférence, qui peut

être exprimée par cos—-\-sin--V—i, en représentant la circonférence par c. Comme l'unité ne s'allonge pas dans l'élévation aux puissances, et que son inclinaiscm se multiplie par l'exposant, cette unité inclinée mise à la place de x dans l'équation proposée , donnera (35) pour le terme x, l'unité inclinée de de circonférence;

30 QUANTITÉS niACINAIlil'S.

poiii' le tci'iiii' r\ liinih' iiicIiiK-c (|(> " ; pour r\ ruiiiU'

iiicliiH'c 'I»' ,^ de. , c'csl-à-dirc, (iiic les 15 termes doniicroiil l") rayons (lispdst's (■(mime les rais d'iiiie rouo de voilure, »''loij;iit''s l'un de l'aulre d'un seizit'nie de circonférence. Il faut IG de ces rayons ou unités pour garnir tout le cercle. Mais il y a bien seize termes dans l'équation, en comptant l'uniliMpii répond à la puissance zéro de X.

Ces 16 lignes ou forces (25) ont pour somme statù/ue ou pour résultante zéro , car elles sont évidemment en équilibre, attendu qu'elles sont égales et disposées symétriquement autour du centre ou de l'origine. Donc , l'équation est satisfaite. Donc, l'unité inclinée d'un '16"'" de circonférence est racine.

54. Cette équation n'a pas une seule racine, elle doit en avoir 15, comme l'on sait, puisqu'elle est du 15""' degré. Nous allons voir que les autres sont Vunitéinclinée de ^ , de 3 , de ï, etc., arcs, comme celui de la première, om16"'*' de circonférence; c'est-à-dire, que les 15 racines tombent 2ivi\ points marqués sur la circonférence, à V exception du point de départ. En effet, prenons une unité ayant pour inclinaison un certain nombre des petits arcs dans lesquels a été divisée la circonférence. Les 15 puissances de cette unité tomberont encore d'une manière symétrique autour du centre , c'est-à-dire, à des distances égales. En effet, les distances circulaires (ou angulaires) qui existent entre les puissances , non seulement consécutives , comme entre la septième et la huitième , entre la huitième ctla neuvième, mais encore entre les puissances séparées par le même nombre d'unités , comme entre la

QUANTITÉS IMAGINAIRES. 'i\

septième et la dixit'me , entre la (lixif'ine et la treizii'nic . demeurent égales, puisfiu'ellcs sont des nmlliplcs; mais deviennent plus grandes cjue dans le premier cas . un nombr(> de fois marqué par le nondirc d'arcs qu'a l'unité racine que nous employons à former les puissances; en entendant que ces distances se mesurent d'une manière absolue sur la circonférence , c'est-à-dire , qu'elles sont le chemin fait parla puissance que l'on considère, et qui peut être plus grande qu'une ou i)lusii'urs circontérences.

D'après cela, je dis que les vraies distances des lignes ou rayons qui se suivent dans la figure, sont égales, c'estîi-dire, que les rais ou rayons sont également espart's.Ew effet , les vraies distances peuvent bien n'être pas d'accord avec les distances absolues. Il est possible (pi'cn partant du rayon dû à la cinquième puissance, et cheminant sur la circonférence, je ne rencontre pas comme rayon voisin, le rayon dû à la sixième, mais peut-être le rayon dû à la neuvième, qui peut avoir fait le tour de la circonférence et enjand)é le rayon dû à la cinquième, et être resté son plus près voisin. Mais, (piaiid j'aurai df'passé ce second rayon dû à la neuvième puissance , le plus près voisin que je trouverai sera le rayon dû à la treizième puissance, et il sera à la même distance du second (pie le second l'était du premier , car la première de ces distances était ce dont dépassait une circonférence l'arc absolu qui existait entre la cinquième et la neuvième puissance. La seconde distance est ce dont surpasse une circonférence, l'arc absolu qui existe entre la neuvième et la treizième. Ces arcs absohis sont égaux, comme il a étt' remarqué ci-dessus; donc, les ])arties «pii di-itassenl la

32 yUANTITÉS IM.UilNAlUI-S.

<iic(inr('T(Mi('(' scroiil t''};al('s. On l'aisonnerait do niémn pour tout aulrc inicivallc. Donc , \v> inicrralirs snni tous c't/aux.

Le comiïiencouunil ou la tin ne l'ont point exception à ce raisonnenient. En eilet, je puis dire: après la treizième puissance je trouverai la première, car, si on le conteste, je dirai la dix-septième; or, elle coincidi» avec la"premièretout counne (piand iln'v avait (pTun tour, car il y a un nombre entier de tours, attendu que l'arc de la racine nouvelle est un multiple de la racine première qui faisait faire un tour juste.

55. On i)eut remanfuer que les rayons obtenus de la seconde manière, c'est-k-dire , par plusieurs tours, ne peuvent pas être plus serrés que ceux que donne la première manière , parce que les puissances faisant des pas d'un nombre entier de petits arcs, ne peuvent tomber que sur des points marqués par la première racine. Il peut pourtant en tomber plusieurs au même point, et alors les vrais espaces entre les rayons deviennent plus grands, puisqu'il y a plusieurs rayons qui se sont joints, mais ces espaces sont toujours eganx. Cela arrive quand le nombre d'arcs primitifs que l'on prend , est diviseur du nombre qu'en renferme la circonférence , et les vrais intervalles deviennent égaux à l'arc de la racine employée. Si, dans le cas de 16, je prends 4 arcs ou parties, pour ma racine, les rayons ne se jettent que sur les divisions quadruples Si j'en prends deux , les rayons se jettent sur les divisions doubles. Si je prends Imit arcs, les rayons se jetteront tous sur la division 8 et 16, c'est-à-dire, partageront la circonférence en deux parties égales.

QlANTirÉS IMAGINAIRES. 33

•)6. L'arc 16, c'est-k-dire la «ircoiifj'ronce ciifii're . nr peut fournir une racine , car Mi étant diviseur de 16. les intervalles devraient être parce qui précède (b.'iK de 16 arcs, c'est-à-dire , que les rayons se jetteront tous sur le rayon de dtq)art ou de la i)uissance zéro, et il ne pourrait pas y avoir é([uilii)r«'. Même raisonnement pour 3i' . iH , 64, etc. L'arc zéro ne peut p;ts non i)liis (loiimi une racine, car l'unitt' inclinée de zéro, donnerait toutes si's puissances inclinées de zéro, ou conchét^s dans le rayon de départ , et l'équilibre ne pi»nn'ait avoir lien. Cela d(»il être, car l'unité inclinée de zéro, a la même posilion que l'unité inclinée de 16.

o7. Les inclinaisons 17 parties, 18. 10, ou bien I6-|- I, K) -}- 2 , l<) 4~ -^ • •-'f'- • donneraient aussi des racim^s , car les puissances de l'unité seraient ce qu'elles ont été pour les inclinaisons I , 2, 3, etc., parties, avec une ou plusieurs circonférences de plus; ce qui les place de la même manière sur la circonférence : ces arcs 16 -f- 1. !(> -f- .* , 16 -|- 3 , etc., fournissent donc des racines. .Mais ces racines ont la même [)osition que celles que donnent les arcs I , 2,3, 4, etc. parties. On peut donc les refi;arder comme étant les mêmes, et dire que l'équation pro|)os(''e a lo racines seulement, c'est-à-dire, un nombre njal à l'exposant de son degré'; et qu'elles sont données par la circonférence divisée en parties égales par autant de points que peuvent en marquer les exposants de l'équation, (y compris l'exposant ze'roj , qui tous donnent un(! racine à l'exception du point marque zéro.

58. Si les coefficients étaient en progression (géomt-trique), il est facile de voir que les racines ne seraient plus l'unité, mais l'unité divisée par la raison de la

34 QUANTITÉS IMVCINAIRKS. y

proijrcssion. En .'ll'ct . si la raison est /•, -fera le m»^ni»'

eH'cl 'lans ré(|ua(ioii (HIC .;■, (|iiaii(| il n'y avait |>as de cKclliciciils.

Si r est n'M^I ("I posilif, par .'xcmplc ;{ , 1rs ancii'imcs racines, qui étaioiit des uiiil('>s iiiclinrrs, seront- d'unité et inclinées de la nicnic nianicrc. Sir était imafjinairc , les racines dans leur inclinaison reculeraient de l'inclinaison (jiositixe) de r.

Equaliomà coefficienls périodiques.

59. L'équation (jue nous venons de résoudre n'est qu'un cas particulier des équations à coe/ficicnts périodiques , que nous pouvons également résoudre , comme a -\- bx -\- cx^ -\- ax^ -\- bx" -f- t'a?** + «j;" -|- ^x' + cx^ -j- ax^ -\- bx*'^ -\- ex** = 0, par exemple.

11 y a 12 termes , nous prenons pour racine une unité inclinée d'un 12""^ de circonférence. Les 12 puissances de cette unité, (y compris la puissance zéro) considérées sans coefficient , se distribueront comme cidessus à égale distance sur la circonférence , et auront chacune l'unité en longueur. Que les coefficients agissent ensuite , ils les modifient , les allongent par exemple, de la même manière dans chaque période. De sorte que si l'on considère la résultante de chaque période, nous aurons autant de résultantes que de périodes : ces résultantes seront égales et symétriquement placées autour du centre. Donc, il y aura équilibre ^ ou l'équation sera satisfaite. Donc, l'unité inclinée d'unie"'" est racine, ccjmme préci'demment.

11 serait facile de faire voir que ces résultanttîs

seraient encore également espacées en employant les racines données par 1,2, 3, etc. parties, c'est-à-din; que ces différents arcs fournissent les racines , comme cidessus (54).

00. L'é(juation du mnnéro l'ôS^ n'est qu'ini cas particulier de ceci , comme nous disions : la période n'y a que la longueur d'un terme.

61. L'unité inclinée d'une partie, de 2, de 3, etc., forme les racines de l'équation à coefficients périodiques, avons-nous dit , mais il y a pourtant des exceptions. L'unité ayant pour inclinaison un nombre de parties ou arcs primitifs, marqué par le nombre des périodes , n'est pas racine. Dans l'équation périodique ci-dessus où il y a 4 périodes , c'est l'inclinaison de 4 parties qui ne donne pas de racine. Eu effet, quand l'unité ou rayon tournant arrive à cette inclinaison , une pc'riode fjarnit la circonférence , c'est-à-dire , que les lignes que donnent ses termes , la partagent en parties égales. Dans le cas présent , c'est trois lignes qu'il y aura , symétriquement placées autour du centre , pour une période. Ces trois lignes auront une résultante parce que les coefficients a, />, c, qui les affectent et qui tn règlent la longueur , sont (|uelconques. Les coefficients influeraient même sur la direction, s'ils étaient imaginaires. La seconde période garnira aussi la circonférence et donnera une résultante égale à celle de la première et coincidanl avec elle : ainsi des autres. Donc , il n'y aura pas équilibre : à moins qu'il n'arrive qu'une période considérée seule, soit en é((uilibre. Ce ([ui revient ii dire (priin ait a -\- hi -\- cx^ = 0.