Cette égalili'' <»u é([uilibre d'une périndc seule

36 iji \Mirf.s iMA(;i>Aiiu.s /

|Miiiir;iil ;iv(»ii- lit-ii |»;ir des coiidilioii^ ciilrc ses cdcflicii'iils. sans (|ii«' r (|iiiltàt la valeur (|uo nous disons dcvoii laiic t'xccplioii ; copendanl cela ne pourrait ètro <|u aulant (|uil y aniait plus de trois termes à la période, » ar >i l'on y fait allenlion , on verra qu(^ trois forces autour d'un point, et divisant la circonférence en (rois parties r'f/ales , ne peuvent être en équilibre qu'autant (lu'elles sont ('(/aies en longueur; ce (|ui rendrait les trois eoellieieiits de la période (''i;au\ <'iitre eux, et par eonséijuent tous ceux de l'éipiatioii totale , qui par lii cesserait d'être à coefficients périodiques ,• ou bien la période se réduirait à un terme, et rentrerait dans l'article (o3;.

63. En général l'équation provenant d'une période, qui, dans le cas présent, est a -\- h.r -j-r/- =. 0. ne sera donc pas satisfaite par l'effet des coefficients. Ce sera donc X qui sera obligé de satisfaire à cette équation , et les deux valeurs qu'il prendra pour cela , car l'équation est du second degré , feront les deux racines qui nous manquaient dans notre équation totale, pour e'f/aler le (le(jr(' de la racine (qui est II'.

64. Les racines provenant de l'équation d'une période, forment toujours le nombre juste des racines qui manquent à l'équation totale. En effet, la racine manque (de pouvoir servir) toutes les fois qu'elle arrive à un nombre d'arcs égal au nombre de périodes une fois , deux fois, etc., en d'autres termes lorsqu'elle a autant d'arcs (ju'il y a de premiers termes dans les périodes, quand elle en a autant qu'il y a de premiers et de seconds termes, quand elle en a autant qu'il y a de premiers:, de seconds et de troisièmes ternies dans les

Qt ANTITÉS IMAt;i>AIRKS .'^7

pùnotlcs , ainsi cK' siiilc. 11 stiulilciail (k)in' <|iic I ('(iiiatioii de la piTlcxle devrait <lttiint'i' une racine par Itinii' et elle en donne une de moins, comnir rt)n sait; mais cela suffit , car la racine (jui n'pondrait au dernier terme de la j)ériode et qui lui mampie , |)ar(c ipir son dej,M'é est plus bas d'une unitc (pic le iidudMc dv srs termes, n'est pas nécessaire dans l'cquatidn totale, attendu ipic le de^M'é de celle-ci est aussi plus bas d'une unité <pie le nombre de ses termes, et tous les termes des périodes donneraient tous les termes de l'éMpialion.

Il résulte donc de tout ce rpii j)récède (pi'une équation à coeflîcieids périodicpies a pour racines des unités disposées régulièrement autour de l'origine , avec des exceptions (réqulières ., qui sont supplées par les racines de l'équation Ordinairt^^ que donn(M//?c pc'rioilc égalée à zéro.

65. Une équation o;7/<«o/ri'l)eut être considérée comme une équation à coefllcients périodi([ues , mais à une srulc période. Les racines a unité inclinée manquent toutes, puisqu'il en mancjue im nombre égal au degré de la période (64;. Pour les remplacer il faut prentire celles de l'équation de la inTiode. c'est-à-dire, de l'c'(/u(iti(>u totale.

66. Il est facile de voir ipie les raisonnements ci-dessus sont vrais pour des coefficients quelconques, c'est-à-dire, réels ou inint/itiaires.

67. Une éipiation a coefficients périodiques peut n'avoir pas tous ses termes , car il peut y avoir des zéros

(pii fassent partie île la période.

()H. L'e(pialioii a (leii\ lerme> | -\- ;"=:(», it'xtlue par

3S t,»l VNTITtS I.MACIN AIIU:S. /

les jiV'oiiiMrcs . csl un cas parlirulicr de l'étiuatioii à ('(M'IlicitMits i)(''ri()(li(|ut>s. Soil pour lixcr los idées le cas l>;irii(idi('i- I -f- ■'■' =0. On pciii coiisidch'er ceci comme mie ('•(|uatii»ii ii deux périodes de sept termes chacune. La |>reiiiière a i»i»nr coefficients l'unité, ensuite six zéros (67). La seconde a aussi l'unité al^eclantJ'^ ensuite six autres termes alle(i<''s d(( z(''r(>s,(pic l'on s'est dispensé d'(''crire. De s(»rte cpie celle é(piali()n est du trei/ième deiii'v , la voici :

;i+or+o./-4-...-|-o.r«i-i-;.r4-o,P4-o,p-}-...-fox'^")==o.

Pour avoir les racines de cette é{[uation , il faut, d'après ce (pii précède , diviser la circonférence en 1 4 ])arties , parce qu'elle est du 1 3'"^ de^ré , c(^ (pii fait un nombre de parties double du nombre de termes d'une période ou du degré primitif. Il faut ensuite cheminer sur la circonférence ; et comme il y a 2 périodes, toutes les fois (pi'on arrivera à un nond)re d'arcs multiple du nond)re 2, la racine ne sera pas bonne. Ce sont donc les nombres impairs d'arcs qui donneront les bonnes racines. Il y en aura 7. Les 6 qui semblent manquer pour égaler \'\ devront être données par la première période égalée à zéro (64). Mais ce n'est qu'en apparence (jue l'équation est du IS'"*" degré, car ses six derniers termes sont factices. Nous avons donc toutes les racines (pi'il faut. Aussi l'équation de la période qui est 1 -\- 0;r

+ Oj?' -j- ox^ = 0 et qui revient à 1 = 0 , ne donne-

t-elle aucune valeur pour x.

Ce que nous venons de faire répond bien à la méthode connue , qui prescrit de partager la première moitié de la circonférence en 7 parties égales (en un nombre de par-

QUANTITÉS IM\r,l>\lllKS 39

lies égal au degi'é) , ii iit' Iciiir coiiiplt' (jnc des illvisions impaires , que l'on contiinir sur l'autn' niuiti.- de la circonférence.

69. Quand l'équation binùmc I -^a" = (), ou \-\-. ,'=:{), que nous venons de Irailer , a itii nH-lpcicHt , connu»' 1 -}- fl.i" := 0 ; ou p«Hit la considérer connue une é(|ualion à coefficients en progression 158). Le tenue a.r' est censé le septième de ceux (pii ont éprouvé la iuulti|)lication

de la raison. La raison est donc Va- Les racines seront donc (58'l ce qu'elles étaient , mais divisées par cette raison, c'est-à-dire, //<ir lu rnriuc sc/ifihnc du ntvjjicictit.

Equations à termes croises (ou entrelacés],

70. Il y a des équations (jui ne rentrent pas dans l(^s classes que nous venons de traiter, et (pii peuvent également être résolues. Ce sont des équations dont les termes ne semblent pas d'abord s'arranger symétriquement dans le cercle autour du centre , mais qui pourtant s'y arranf/ent par un certain croisement ou entrelacement des termes , ce qui peut exiger plus d'un tour.

Soit par exemple l'équation.

Cette é([uation a cinq termes, mais comme il y a des lacunes entre les puissances , ces puissances ne s'arrangent pas symétriquement sur la circonférence avec un seul tour. Cependant si l'on prend pour base ou racine des termes une unité inclinée d'un cintiuièmede circonférence, (parce ([u'il y a cinq ternu's existants dans l'équation), cette unité élevée aux puissances manpir-es par

iO l^d'ANTITI^ 1>I Vt.INAlUKS. /

les ItM-mcs (If l't'(iii;ili(Hi, i;aniil ;iii incmicr Idur les v\\n\ points lie division do la cirroiiri'i'cncc , moins 1»^ point i parce (pi'il n'\ a i)as de termes .r*. F.n conlinuanl de toniMt'i", les Icrmos .r', .r", ,r' , etc., ne donnent rien puis<iu'ils n'oxislont i>as, mais le terme.;'" va domior le rayon «pii manqne . car .;'' tomberait au point 0. .f'" au point I et ;•" tondie an point 2. Le cercle est donc {Jtarni de rayons éi-alenu'nt espacés, (conune une rone de voiture) : rt'qnation est donc satisfaite parce (|n'il y a rquilihrc. Donc , cette (''^nation a [tour racine l'tutilc liirllui'e (l'un cimiturinc tic cirtaiifcrritcc.

L'équation I -j- '• -j- .r + ./'" + .<;•"= 0 aurait la même racine , car la rone se l'orme comme avec l'autre e(piation, car il reste au |)remi(>r loin' deux places vides, la 2""' et la 4""'. Ijc terme .r'" renqdit la |ilace 2 au <piatrième toor, et le terme .r" renq>lil la [»lace i au cinquième tour.

71. Il s'agit de voir ce (^ue sont les autres racines de ces équations, de la première, par exemple, il doit y en avoir 17, puisqu'elle est du dix-septiènn- dt'gré : or, elle en a quatre en unités inclinées et données par les arcs I cinquième de circonférence , 2 cinquièmes , 3 cinquièmes , 4 cinquièmes , c'est-à-dire les mêmes que celles de l'équation 1 + .f -|- j^+ j"' -|- .ï''= 0. En effet, avec la racine inclinée d'un cinquième , les termes de l'équation proposée qui est du 1 1""" degré garnissent la circonférence à cinq divisions (70) , comme ceux de l'équation sans lacune I -j- ./' -j- x^ -\- x' -\- x" =0. Nous savons (54) que dans cette dernière , quand on prend les arcs 2 cinquièmes, 3 cinquièmes, A cinquièmes, les résultats des termes se placent sur la circonférence , con-

01 ANTITÉS IMAcnNAlUKS. il

venableiiuMit pour l't'<[iiilibri'. llr bii-n, 2 ritKiuii'iiiis . .{ cinquièmes, elc, font le niènu' clVct sur lï'((uali(tn du j7me (jej^rié qQp ^u,. (.^>ii,. ,|y (juatrième. c'est-à-dire, qu'ils font tomber les termes aux nièmes points. En effet, les termes qui, pour se placer, faisaient plus d'un tour, comme x" , qui en faisait trois et ne se plaçait que durant le quatrième, et faisait l'effet pour la place, d'une puissance du premier tour, ces termes, dis-je , peuvent être considérés même p(jur les racines à 2 , 3, etc. cinquièmes d inclinaison . comme des puissances du premier tour, car avec les racines à 2, 3, etc., cin(|uièmes . ils feront un nombre de tours entiers double, trijde , etc., 4e ce qu'ils faisaient avec la racine à I cinquième , et ces tours entiers n'intlucnt i)as sur les i)laces. Donc, les choses se passent de même que si les termes n'étaient qu'à un seul tour , comme dans l'équation \ -\- X -\- x^ -\- x'^ -\- jc* = 0 :

c'est-à-dire, (jue les racines venant de 2 cin([uièmes, 3 cinquièmes , i cinquièmes de circonférence , qui sont les racines de l'équation (sans lacune) du quatrième degré, sont bonnes aussi dans la proposée du dix-septième.