Soit l'équation

Si on l'enroule sur une circonférence ayants points de division, c'est-à-dire, autant de points qu'il y a de coefficients croissants, il est facile de voir que la somme des coefficients de chaque i)oinl de division sera la même, à cause des compensations des accroissements et des

oiA>Tnf:s i>i \(.i>AiKi> 43

fliinnmtioiis: cette soininc sera 12 a cliaiiiif pdiiil. Il y

aura donc symétrie , parcoiist'i[ueiiL fciuilibre pour l'unité

. , \ i Tt 7

inclinée de- , -, - - de circonférence. Nous aurons donc 7 racines de cette équation. »iiii(l(iit en avoir IS. Mais il est encore facile de voir que ce même polynôme peut s'enrouler sur une circonférence; ayant 12 jioints de division et donner pour cliaciuc; point de division une somme de coefficients constante , ([ui sera 8. L'équation

aura pour racines l'unité inclinée de .- , f; • .-> r. »

ce qui fait If autres racines, qui avec les 7 déjà obtenues feront les 18 racines de l'équation.

Cette équation du IS""" defiiré a donc les racines des deux équations

Elle doit donc être leur produit. Elle l'est en eftet.

76. Dans les équations ci-dessus à termes croisés, nous avons supposé tacitement que le croisement des termes et leur remplacement venait uniquement des exposants, et non des coefficients , ce qui revient à dire qu'une puissance «jui remplace une puissance manquante a le coefficient que devrait avoir la puissance manquante , si elle y était , ou pour produire l'égalité de division sur le cercle , ou une division périodique. Si cela n'est pas, la proposée aura des racines appartenant à la basse équation qui ferait le tour du cercle , mais pourra ne pas les avoir toutes.

Soit l'équation

Cette équation peut s'enrouler sur le cercle à six divi-

44 OlAMIlfs l>l \(ilN \llll s. '

sioiis . cal' le It'inii' — x* on — I X-i'. lt»iiriirra |»ar rctr»'C lie son ttn'lliciciit , d'uiic (It'iiii-ciicoiiH'rciicc et ira roni- (tlaccr .T' (|iij iiiaruiiic. .>' vii-ndra ;i la place de x^ ol la (■irconrcrciicf sera {garnie, ('(iiniiic elle le MTail par r»''(|iia- (iuii I -|-.r-}-.r--|-.v'-|--i''+T''=:0. L'iinilt' 'lucïnu'vd'un sixiriiir (If (•irconri'rciict' sri-adonc racine. Ponriant W n'est jxis </// (pie deux siviènies , trois sixièmes, etc. duimeiit des racines. — x' de l'éipialion proposée a remplacé rc" de la liasse «'(pialioii : mais c'est en partit^ par l'clTet de son (■oellicient. Ouand on |>rendra nn arc double, triple, etc., les teiMues l'eronl den\ l'oi^ , trois lois plus i\c. cliemiii sur la cirfMinlV-rence , ce (pii ne les empêche |)as , ainsi «piilaeté remarcpié 71 j, île tondx'rtMi coincidiMice avec les termes de la liasse (Mpialiou. dépendant si leur premier chemin est dû en partie au coeflicient , ils ik; feront plus le même chemin j^arce (pie l'accroissement de l'arc ne lait (M'oitre que le chemin dû ii l'exposant et /;o// relui qui est (In au roef/icienl. \a' terme — 1 Xa:" qui a déjà fait cin(| sixièmes de circonférence, n'en aura pas fait dix. pour l'arc douhhî , |)arce (pu'deux sixii-mes seulement sont dus à son exposant, et les trois autres ii sou coeflicient— I. Il n'y aura que les deux sixièmes venant de l'exjtosant (pii seront doublés, ce qui fera sept. 11 ne [)ourra donc [)a s faire le même eft'et quex".

Cependant — x" pourrait encore se trouver en coïncidence av(>c x'" pour rertaim arcs, et alors ces arcs donneraient de bonnes racines. Pom' ([u'ils se retrouvent en coïncidence il laut (|ue celui (pii tourne plus vite , savoir x' , ail fait un tour de plus que — x^. On peut imai;iner l'exposant de x" partagé en deux parties comme x-'-. En doul»lant . triplant le chemin de la

niA>Tnts niAi.i>AiKh> 4-i

racine, la partit! 2 de l'exposant ferait aller x-*^' comme

— X-. Il taiil donc que ce soit la partie 3 (jui lasse faire un lourde i)lus. Or, à cluupie arc ou sixième de circonférence que parcourt la racine, la partie 3 fait [tarcourir 3 sixièmes. Il faudra donc deux pas à la racine pour que la partie 3 tasse faire un tour di' |»lus

a x' (lu'ii X-. La racine à été Itonne ;i — . elle le sera ii ^ (;

- , a - : ce qm lera trois bonnes racmes. bi nous conuais-

sions un polynôme qui eût ces ti'ois racines , il diviserait le premier membre de la proposée. Or, d'après ce qui [U'écède (68), l'équation I -\- x' z= 0 lésa. Donc ,