I -\-x -j-x'+x^-f-x^^-j-x'+x'-l/Hi ■4-x

II y a huit termes, l^a basse équation à huit termes qui j^arnirait le cercle à huit divisions , mancjue du terme x". remplacé parx'|/IIi. Celui-ci par son exposant aiTiverait au neuvième pohit de division , c'est-à-dire , au premier . mais par son coefficient I V^ il fait encore un «pi art de tour, ou deux arcs et arrive au point 3. Le terme x* manque aussi, mais il est remplacé par x'".

Le terme x** remplaçant le terme x* immédiatement n'empêchera aucune racine de la basse équation d'être bonne pour la proposée. Le ternit- x^y^ n'est |»as de même, il remplace x', est en coïncidence avec lui pour la première racine, avec l'aide de son coeHicient . cjui lui fait faire deux arcs de plus qu'il ne ferait par son exposant. Mais, ])our la scrondr racine il ii'v ania pas

ir> Ol'ANTITÉS I.>IA(ilNAllu:S. /

(■(tiiicidfiirt^ (Milrr .t"' cl .r"]/IT. il miiii(|ucr;i deux arcs à a-" V— I a cause des deux arcs de son cocllicici)l(|ui ne sont pas diuibli's (|iian(l l'inclinaison de la racine double. Pour la Iroisiènu' racine, il lui niantjuera deux fois ce qui rs-f dû il son coenicient on quatre arcs, etc. Il tliut alors l'aire tourner la racine juscju'ii ce qu'il manque à ce terme une rirconfevencc juste , ce qui le remettra en coïncidence. Or, c'est à la cinquième racine , (ou 1 -j- 4 ) , (\uo cela arrivera. La ciiujuième racine sera donc l>onn(\ Il n'y en aura plus car il faudrait encore faire (juatre pas, ce qui nous mènerait à la racine neuvième , (\u\ retombe dans la première.

Le polynôme proposé sera donc divisible par le polynôme du second degré qui aurait les deux racines que nous disons être boimes, ce polynôme est — yiIï-}-x*. Le quotient est V^ -\- xY—i -\- x*(1 -j- \/~i] + x' -\- x" — x'y^i -f x' l/ri — x« + x'^l/ZIi -f x".

Pour trouver le polynôme diviseur on peut multiplier ensemble les deu\ binômes donnés par les bonnes racines et qui sont

X — icos - -\- sin-V—i) de circonférence,

et X — [cos^ -\- sin^y~i],

et faire les réductions convenables.

78. Nous pouvons généraliser et dire : si deux termes se remplacent sans intermédiaire de coefficient, toutes les racines de la basse équation sont bonnes pour la grande. Si le remplacement est aidé par un coefficient, il faudra faire sur les racines de la basse équation pour en retrouver une qui serve à la haute , autant de pas

QUANTITÉS niAt;i\\ii!i:s 47

que le coeftlcii'iit aurait à eu Wûvc |tniir /xin-Durir hi circonférence..

Si les deux tenues avaiciil cliacuii un (•(icnicienl, c'csl de leur différence (circulaire) que mous dirions ce ((iie nous disons dun seul.

S'il y a plus d'une paire de ternies reniplac«''s , il est clair qu'il tant (|ui' les deux paires s'accordent sur la bonté de la racine.

In signe — réduit le ncnnbre des racines ii la moitié, parce qu'en deux fois il tait le tour de la circonférence. Le signe V^ le réduit au quart, parce que c'est en quatre fois qu'il fait le tour. C'est ce qui est arrivé dans les deux exemples précédents.

79. L'équation à deux termes — I -\- .t° (ài le terme constant est négatif, est un cas particulier des ('"quations à termes croisés. Mais il y a une remarque à faire. Le terme x" remplace le terme + ^ sans intermédiaire de coeflîcient. Ce remplacement n'empêche donc pas les racines d'être bonnes. Le terme — 1 qui semble aller remplacer, puisqu'il se déplace, ne remplace rien, ou

bien remplace le terme o>r*. Comme ce terme est nul , peu importe sa coïncidence avec — I. Donc, les n racines doivent être bonnes.

Revenons à la composition des <''(iiialioiis qui doivent diviser et dont on a les racines.

Composition des c(iuations dont tes racines .<ionl des unilis également espacées.

80. Dans l'exemple de l'article (77) !•■ polynôme diviseur est — V— ï "h •^■' ' disons-nous. Il wf nelanl piisètrt-

',S (^ii wTiTf^s ni\«iiN.vMti:s

«•loiiiif (!•' <••' <|iif le Icriiic c'oiislanl do ce polynùiue du sccKiid (l('j;iv l'sl iinajïinaiiv. Ses doux racines no sont pas sviiii'lr'unit's :i l'axe (ui fonjtKjHves, cl nous avons vu (51) (|ii(- la ri'alitc dfs (■(tcllicicnts est lii'c avcr celle svuk';- Irif.

Mais cillas sont .sj/métriqiies au cf?ifrc, circonstance qui doiuic lieu il une rcldlion remarquable, et que voici: ToKir n/iKilioii tloiil les rnriitcs sont cr/alcs de loit(/ncur à /'niiiir' {i'[ même a un aiilre ii()Md)re) , et (li.slribuée.'i â f'i/iile (lisiaiircsiir ht rirronference, est néeessaircment à deux termes. Son terme constant est ?'(''c/, si les racines sont symétriques à l'axe, en même temps qu'elles le sont au centre ou également espacées; et il est imatjinaire s'il n'y a que cette dernière condition. Tout cela s'accorde avec les équations à deux termes dont nous avons déjà parlé. Nous n'avons trouvé en effet que des racines égales et également espacées dans ces sortes d'équations.

Si cela est, la composition des basses équations qui doivent diviser les autres, est facile à ftiire, parce que l'on n'a à s'occuper que du terme constant; si les autres, à l'exception du plus haut , ne doivent pas exister. Le terme constant est , comme l'on sait, \c produit des racines pris tel que la multiplication le donne, si le degré de l'équation est pair , et avec un signe contraire si le degré est impair. Ci-dessus (77) nous pouvons donc, au lieu de multiplier les deux binômes pour composer le polynôme du second degré qui doit diviser, ne faire que multiplier les racines pour composer le terme constant de l'équalion. dette multiplication est facile , car une racine

cos- -f-.smgV— 1

est l'unité inclinée d'un huilième de circonférence , l'an-

QUANTITÉS IMACINURKS 10

tre <\o cinq liuitit'iiios. Pour iiHiltiplici' il tliiit ajoultT les arcs , ce <iiii (loiiiif l'iiiiitf'^ iiicliiit'c de six liiiitiriiies ou de trois quarts de circonférence et peut s'écrire — V— T; ce qui est le terme constant de notre équation — V-i-f.r* = 0.

Dans l'exemple de l'article (76) nous avions ii composer l'équation donl l(>s racin.es étaient l'un itt' iiidiiKT d un sixième, de trois sixièmes , de cinq sixièmes, Nous avons posé cette équation sans la composer, parce que nous pouvions la connaître d'après ce qui précédait. Si nous voulons la composer par la règle actuelle, le produit des racines

sera l'unité avec la somme des inclinaisons ou— , ce (lui

revient à — I. L'équation étant de degré impair, changeons le signe ; et il vient I -f- ./'' = 0, comme nous avions.

Démontrons donc le théorème dont il s'agit: savoir, qu'une équation dont les racines sont des unités également espacées sur le cercle, manque de tous ses termes moyens.

Les coefficients d'une équation sont la somme des ])roduits des racines combinées , ou deux à deux , ou trois à trois , etc., suivant le terme dont il s'agit , (avec un signe convenable). Considérons, par exemple, le coeflicieni qui est la somme des produits des racines prises trois à trois , dans une équation qui a , si l'on veut , quinze racines. Prenons sur ces quinze racines une combinaison quelconque de trois racines, par exemple, la cinquième, la septième et la douzième. Ces trois racines en se multipliant donnent un vî'syÀini unitaire , je veux dire ayant l'unité en longueur, avec la somme des inclinaisons des facteurs. Si cette combinaison avance il'im //^/v . c'est-

no <,>i vM 1 1 i:s ni \(.iN Mitis.

;i-tlii't'. >i la ctimlMiiaisitit (|iii se (•(tiiiposc iiiaiiilciiani (les raciiM's »iii(|iiiciii(' . scplit'iiiP , doii/itMiic , en aAaii- (.Miit sans se ilc/anncr , y' veux, dire en constM'vaiit lu inèiiie (lislaiicc entre SCS ('liMiitMils, viciil à so coinixtscr des raciiifs sixiiMiic, liiiitit'nu' , trcizièinc , le produii tail. (rois pas 'S>nr la rirciuircrciicc; parce (ju'il a (.'{2) la somme (lt!S inclinaisons des laclenrs <pii en ont l'ait chacun un. Si la combinaison ("lait de ^(/(///V' racines, le produit irait quatre fois plus vite qu(> la combinaison. En résumé, si une combinaison se meut sur la circonférence , le résultai se meut autant de fois plus vile qu'il y a de racines dans celte combinaison.

La r(''^ularit('' do cette marche n'est pas interrompue quand une des racines de la combinaison mobile atteint l'extrc-mitt' (!(» l'éclndle des racines. EnelVet, la combinaison avançant sur le cercle , sa racine la plus avancée qui est la douzième ou (|ui atteint au point 12, atteindra successivement au.v pouits 13, 14 , 15 , 1 , 2 , 3, etc. Ce facteur perd une circonférence en passant du point considéré comme 15 à ce même point, considéré comme point zéro. Le produit perd par conséquent aussi une circonférence, ce qui évidemment ne dérange pas (pour la position) \?L continuité' de son mouvement circulaire, car le même point sert de commencement et de fin à la partie perdue. Si la combinaison ou le système des trois racines allait en arrière , c'est une circonférence que gagnerait le produit, quand une racine atteindrait la division zéro ou 15, et le ressaut ne serait pas non plus senti. Quand une combinaison se meut sur la circonférence , les résultats ou produits marchent donc trois fois plus vite et d'une manière régulière. Ils feront donc trois tours

QUANTITÉS IMAGINAIRES. 5t

pourun, il i)as ('fiaiix. Mais nous avons vu I.'ii) ([u'ime pareille (listiil)ntion produit It-cjuiliUre ou une soiinin' mécanique zéro. Une seconde combinaison donnerait de même une somme «''j;ale à zéro. Mais l'ensemble des combinaisons peut être considt'n'' connue compose' des stations de toutes les cDinhiitaisotts mohiles qu'on peut former. Puisque clnupie cond)inaison mobile donne zéro pour la somme de ses stations; toutes ensemble, les combinaisons mobiles , donneront zéro pour la somme totale des cotnhinaisons â trois racines. On peut faire le même raisonnement pour chaque coefficient. Donc tous les coefficients sont zéro.

Le coefficient du terme constant fait exception. (>ar la combinaison prenant toutes les racines , ne peut pas se mouvoir et domie donc un résultat unique qui ne saurait être en équilibre.

Donc l'équation n'a que ses termes extrêmes , ainsi que nous l'avons annoncé.

81. Le produit de toutes les racines ou le terme (Constant, est en général l'unit»' , puisque c'est le produit de facteurs unitaires. Mais il peut être réel ou imaginaire , et cette circonstance est liée « la manière dont les racines de l'équation sont posées sur le cercle. Nous savons bien qu'elles sont également espacées ; mais elles peuvent varier de position relativement aux divisions du cercle.

Le terme constant est réel (piand Yarc qm fait l'intervalle des racines ou sa moitié, part du i)oinl zéro des divisions du cercle. Il est — 1 quand c'est l'origine de l'arc qui est au point zéro , il est -|- > '[uand c'est le milieu. En effet, ce terme constant a d'abord pour indi-

.">2 ^^»^A^Tn■<'•:s lMA(;l^\lKES. '

liaison, la soiiiiiif des incliiiiiisoiis dos racines. lN)Ui" géiK'i'aliscr supposons leur nonibrc n , leurs inclinaisons roiiiiciit une progression arilliniétique. Pour avoir leur

soinine il siitlit i]o sommer la progression. 11 y a // termes,

le iircinier tenue est - (le eirrouierenee . iiour le cas ou ' /(

I arc entuH' conuneiice a zi'ro , el li', dernier et—. La soin-

I f n -f- 1 ) » « , 1 nu^ (les termes de cette i)rogression est — = t + .t

(le circonférence. Si le nombre des racines , ou le degré (le r.'(lualion est iiair. la jiartie - de rincliiiaison devient un nombre entier de circonférences , peut par conséquent être omise, et il reste- de circonférence pour l'inclinaison du produit des racines, c'est-à-dire — 1. Comme le degré de l'équation est pair, ce produit sert de ternie constant tel ([u'il est. Si le degré de l'équation , ou le nombre des racmes est impan-, la partie-^ devient un nombre entier de circonférences qu'on peut négliger , plus une demi-circonférence qui ajoutée à la seconde partie- donne une circonférence entière ([u'on peut négliger. Le produit sera donc l'unité avec une inclinaison zéro, ou-|-I. Mais comme le d(^gré de l'équation est impair , ce produit doit changer de signe pour servir de ferme constant. Donc le terme constant est toujours — I quand l'origine du premier arc est à la division zéro de la circonférence, ainsi que nous l'avons annoncé.

Si c'est la moitié de l'arc qui part de zéro , le premier

terme de la progression sera — et le dernier—- — .On pourra en la sommant et raisonnant comme ci-dessus prouver que le terme constant sera toujours-|- I. Mais

QUANTITÉS IM ViilNMKKS. o3

nous allons y arriver i>ar une ((insidt'nition j^i'onK'triqiiP, qui rendra poiit-ètre la cIkisc plus sensibie et (|iii d'ailleurs nous sera utile.

82. Nous savons doue ([Uf (|uaiid les racines eoineidrnl avec les divisions du cercle, le terme constant est — I . en d'autres termes, l'unité inclinée d'un(> demi-circonférence. Si le sijslhne des racines tourne sur le cercle regardé comme immobile, que par conséquent l'inclinaison de la première racine croisse ou diminue, l'inclinaison du produit des racines tournera plus vite que le système, uHlant de fois qu'il y a de racines: car l'inclinaison de chaque racine , par le mouvement du système éprouve la même augmentation que l'inclinaison de la première , puisque les racines commencent toutes au même point qui est zéro du cercle. Cela revient à dire (pie le produit des TAcines parcourt la circonférence , pendant (jue le système parcourt un arc (ou distance des racines). Si le sys-

ème avance d'un demi-arc à partir de la coincid'Mice, le produit, par conséquent le terme constant, tourne d'une demi-circont'érence ; et comme ii la coïncidence du système, le terme constant était — I il devient-f-l. comme nous l'avions annoncé.