bi le svstème fait- . - , - etc. d'arc , le terme

constant fera -, -, - etc. de circonférence. En ajoutant 3 4 3 •"

toujours cela à une demi-circonférence , qu'il a à la coïncidence , on aura l'inclinaison de ce terme constant.

84. Qu'd s'agisse, par exemple, de rt''(piatioii ;i l'i racines. Si le système est en coïncidence avec les di\isions du ceicje, le terme constant est — 1 , on I unih'

■ >\ ylAMIÏÈS IMA(il>MIii:S '

iiiclim'c d'iiiir (It'iiii-circoiilt'-vciicr. Si le systriiK; avance

d'iiii (Icmi-arc , le tcniir coiislaiil est riiiiitr" iiidiiKH! ,1,1 ,

*'•':, "TcT '■•' M'" l't'vicnt a -|- I . Si le syslniic avance d'un

(|iiart d'arc , le terme coiislaiit est l'unité inclinée de

Si le système avaiK^e d'un huitit'nie , \c l(;rnie ('onstanl 1 1 est l'unité inclinée; de- 4-- (Ui

Composition de l'équalion dans le cas où il manque tme racine au système , etc.

85. Toute équation dont les racines sont des unités é(jalcment espacées sur le cercle et où la dernière magique , a tous ses coefficients égaux à -{- 1 .

Il suffit de faire voir que la somme des produits des racines, prises, une à une, deux à deux, trois à trois, etc. est toujours l'unité positive ou négative. Et qu'ensuite les changements de signe qu'il faut faire sur ces produits pour les faire devenir les coefficients de l'équation les rendent tous positifs.

Nous pourrions tirer de ce qui précède (81 ) , la démonstration du théorème actuel , en disant. Si la dernière racine ne manquait pas , l'équation s'élèverait d'une unité dans son degré , perdrait tous ses termes moyens et prendrait la forme .r" — 1. On sait que cette expression peut être divisée par x — 1, ce qui revient à enlever la racine -f-l , t't que les coefficients sont égaux à + 1. Mais

QUANTITÉS niA<;iNAl«KS. l')'.'}

nous lit' vcrridiis ]k\s coiuiiiciU ces cuotliciciils t'^'aux ii l'unité ri'sulU'nl «les raciiirs iinat,'inaiiTs. Do plus nous nous appuierions sur la divisibilit»'- ilo l'expression x'" — 1 par X — I que l'on ne connaît que par les éléments de l'aljîèbre ordinaire, et non par la théorie des iinaj,Miiaires que nous voulons développer de plus en plus.

Pour fixer les idées , soit une équation a quinze racines , disposées sur le cercle de manière que la dernière manque, c'est-à-dire, celle qui ferait la seizième. Fi^'urons-nous le poUnome où l'on aurait opéré la coin position de l'équation par les racines , supposons-les représentées par les quinze lettres a bcdc f(j h i k l ni no p. Devant la puissance, par exemple, dixième, dex, il y aura pour coefficient une colonne des produits de cinq lettres qu'on peut faire en puisant sur quinze lettres. Ainsi des autres termes. Il s'agit de trouver la valeur ou la rt''.yj//tante de chacune de ces colonnes. Reprenons la colonne k cinq lettres Si la seizième racine, que nous pouvons appeler q , y était , nous savons (80) que cette colonne serait zéro. Nous pouvons regarder la colonne à cinq lettres faite en puisant sur seize , comme formée de toutes les combinaisons qu'on peut faire sans 7 , plus de toutes celles qu'on peut faire en employant 7. Mais toutes celles qu'on peut foire en employant 7, ne sont autre chose que la colonne ii quatre lettres sans 7 dont on a nmltii)lié tous les termes par 7, par conséquent la colonnt; elle-même. Or la multiplication par 7 ne la change pas, parce qu'elle ne fait que lui ajouter l'hiclinaison de 7 qui n'en a point, car il est -|- I . Mais après cette multiplication , elle est égale et de signe opposé à la colonne à eiiKi lettres sans q, puisque réunie à cette colonne elle la réduit ii zéro.

5f, ^^u:\^TlTf■s m vcin viiîi.s '

On |>.>iiii'ail litiri- 11' Miriiu' raisdiiiiciiit'iil poiii' iltMix ooloiiiu's voisines (|ni'lc((ii(|iit's. Donc avant l'arrivi'»' de f/. toutes les eoloniies sont éj;ales cl d»; siyiie opixjsé. Mais la eolonne à une lettre est — 1 , i)are(.' ([u'elli; est la soimiio ou la ivsullaule (le toutes les racines: car une résultante est éj^'alo et opposée à la force ipii inancpie pour produire l'équilibre. I.a force ou racine qui niaiK|uo au système (les racines et (pii en produirait l'é(piilibro , est -f- 1 . La résultante de la colonne est donc — !. La résultante de la eolonne à deux lettres sera -j- I , la résultante de la colonne à trois lettres— I, etc. Mais on sait (par l'algèbre) (|u"il faut changer le signe de toutes les colonnes à un nombre inq)air de lettres , pour en faire les coefliciiMits d(; l'équation. Donc tous les coef[iclcnlH seront -|- 1 , counnc* nous avions annoncé.

Hf) S'il nuuuiuail une racin(! aulr(! ([U(; la d(;rnière , la racine appelée c, par exemple, qui a trois arcs d'inclinaison, l'équation aurait encore des coefficients très réguliers, ils seraient tous l'unité comme précédemment; mais en inclinaison, ils différeraient entre eux de l'inclinaison de la racine manquante. (Ci-dessus ils différaient aussi de l'inclinaison de la racine manquante, qui était nulle). En effet nous pouvons dire, connue dans l'article (85) : la colonne à quatre lettres sans c , multipliée par e , ferait équilibre à la colonne à cinq lettres sans c, Donc elles sont égales et de signe opposé , après la multiplication, ces deux colonnes. Mais nous ne pouvons pas dire comme de q , que sa multiplication ne change pas la colonne à quatre lettres. Elle fait tourner de son inclinaison , qui est trois arcs ou--, la résultante de cette colonne. Avant la multi-

QVAKTITÊS IMvr.l>AlRES. 37

plicatiou elk' a donc cos trois ans de moins qu'il no faut pour être en opposition avec la colonne suivante. Donc tout est comme ci-dessus , à ceci près, (jue toulc coloime de produits, a de moins que la colonne (piia une lettre de plus, une demi-circonférence plus l'inclinaison de la racine manquante. Le changement de signe qu'on doit faire pour changer les colonnes en coeflicienls , détruit les demicirconférences de différence , comme ci-dessus. Mais l'inclinaison de c, o« de la racine manquante reste pour différence d'un terme n l'antre , connue nous avions annoncé.

S'il s'agissait de la racine «, il n'v aurait que —: de différence entre l'inclinaison des termes. S'il s'agissait de la

racine /j, il v aurait;^, etc.

Si c'est la racine a qui manque . ou celle qui a- d'inclinaison , l'équation sera

+,,-( rosf^,^ sm^^V-i)

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