V 16 ' IG ^ J

Si c'est la racine b qui mancjue, l'équation doit être ,r*= -\- .r*" ( ro-çl + sinJ^V-^'^

, ^ 'ÎS , . 28,, — s

58 OLAMIlkS IM V(.lN\llt|-S.

S7. Supposons qu il manqua deiiv racines (consécutives), la racine 7 et la racine a. Les coefficients de l'équation ne sont pas l'unité, mais ils sont encore très remarquables. Ils sont les cordes d'un cercle ou les diagonales d'un polygone régulier de 16 côtés égaux chacun à l'unité. Le premier coefficient , en commençant par les hautes puissances de .r , savoir le coeflicieiil de .t*\ est le côté allant du sommet 0 au sommet 1 , il est-j-1 . parceque nous regardons ce côté comme étant sans inclinaison. Le coefficient de x*^ ou le second coef/icicnl , est la diagonale allant du sommet 0 au sommet 2, le troisième coefficient est la diagonale allant aw sommet 3, le quatrième coefficient, la diagonale allant au sommet 4, etc. et le quinzième coefficient ou le terme constant est la diagonale allant au sommet 15, c'est-à-dire, qu'il est le rfprn?>rc^/f' du polygone. (Le coefficient suivant serait une diagonale 0).

Il est inutile de faire commencer le raisonnement au premier coefficient, on sait qu'il est l'unité. Considérons le coefficient du second terme Nous savons qu'il estla somme des racines prise en signe contraire. Or, la somme ou la résultante du système des racines , quand il en manque deux, q ei a, qui sont les racines marquées zéro et 1 dans le cercle , est égale et en sens opposé à celle des forces manquantes, puisque si elles y étaient il y aurait équilibre , cette somme est donc égale à la somme des racines 8 et 9. Voilà la résultante de la colonne à une lettre. La résultante ou la somme de la colonne à deux lettres quand une nouvelle lettre arrive s'obtient , comme nous avons déjà remarqué (85), en multipliant la colonne à une lettre sans la lettre qui arrive , par la lettre qui arrive , et ajou-

tant ce résultat à la colonne à deuv lettres faite sans la lettre qui arrive. Ici la lettre que nous supposons arriver c'est a. Celles qui y sont , sont les 16 à l'exception de y et de a. Pour avoir la colonne à deux lettres avec a , il faut donc multiplier par a , la colonne à une lettre sans a, et ajouter ce résultat à la colonne à deux lettres sans a. Or, la colonne à une lettre sans a se réduit comme nous venons de voir aux racines 8 et 9. Multipliées par a, qui a un arc d'inclinaison , elles deviennent 9 et 10. Il faudrait ajouter ce résultat à la colonne à deux lettres sans a pour avoir la colonne à deux lettres avec a. Mais nous savons par ce qui précède [So; que le résultat serait -f- I , parce que nous tomberions dans le cas où il ne manque qu'une racine. La colonne à deux lettres sans a que nous ne connaissons ])as est donc égale ii-}-t quand on y ajoute les racines 9 et 10. Or, il est facile de voir que ce sont les racines marquées 0, 1 , 2, qui produisent cet effet. Les deux dernières neutralisent les forces 9 et 10 et celle qui est marquée zéro donne le -|- I qu'il faut.

Les trois racines ou forces 0, 1, 2, multipliées par a . avancent encore d'un pas et deviennent lès forces 1 , 2, 3. Ajoutées à la colonne à trois lettres sans a . elles doivent donner la résultante — 1 . Il est facile de voir que la colonne cherchée, qu'il fimt ajouter se réduit aux quatre forces 8, 9, 10, M. Les trois dernières font équilibre aux trois forces 1 , 2, 3 e-t la force 8 est — I . Ainsi de suite.

Donc les sommes que nous cherchons , et qui doivent ser\'ir de coefficient à l'équation , en changeant les signes convenablement sont respectivement les racines 8 et 9. les racines 0, 1.2; les racines 8, 9. h». 1 1 ; le» racine*

Tid (ji AMiits iM\(;i>\iitKs

(I. I , J, .'{, l. rie. I'",ii cliaii^caiit U's si;;iii's i\i' la iirciiiit'rt' , (II- la lfoi>i('iii<' t'Ic. . (If CCS siiiiiiiu's, cela l'ait loiijours commencer les arcs a zt'ro . el les coeriicieiils seront donc resi>e(iivenienl la resnllanle des groupes de racines (I, I ; 0. I, :?; (I, I. :', 'i ; (», I. i, M, 4; etc.

On |ienl l2*,t; consiruilc ces racines on ces loi'cos , (|ui sont tontes t'^ales il rniiil('' , par nn |i(dyj,^on(; régulier de 16 càl»''s cj^aiix il l'unité , et l'on aura pour les résullanles . les rotules ou les tliagoiiales- que nous avons anno ne c'es.

88. Applicinons cela a rtMjuation du <iualri('ine degré j'* — 1 z=: 0 , dont les (iiialre racines sont

imaginons qu'on veut composer une équation du second degré dans laquelle inan(iuent les deux premières racines. Le polygone iv construire sera un quarré. La diagonale allant au sommets et qui doit faire le coefficient du second terme sera I -{-V^. la diagonale allant au sommet 3, (jiii doit être le coefficient constant et qui se rtkluit ;i un côté est y^. L'équation sera donc

Résolue , elle doime

Il faut voir lii dedans h^s deux racines — 1 et — V— i.

En effet — - (l -}-l/-^) est la demi-diagonale du quarré, prise négativement, c'est-a-dire , ayant une inclinaison de deux droits et demi. De sorte f[ue si l'on imagine vnitour de l'origine quali'e iinité's à angle droit, détermi-

QUA>TITÉS IMAMWrKES 0 f

fiant (|aatre quam-s , rexpressiun ci-dessus »*st la ih-imdiagonale du troisihne quarrr'. r/e\pr«>ssinij

est la dcmi-diaffonalc du setund ou du (juninhiic (juarn-. suivant qu'elle est prise avec le sii^an' + ou avec le signe — . En effet — l/Zrï est l'unité incliiu'ç des trois angles droits. Le grand radical qui l'afteclc , réduit son inclinaison à la moitié (36) , c'est-à-dire, à un droit et demi. Elle est donc dirigée suivant la diagonale du sec(»nd quarré. - |/i qui l'affecte encore lui donne la longueur de la moitié de cette diagonale du second «juarré . et du quatrième si on prend le signe — . Maintenant la demi-diagonale du troisième quarré , que nous avions en premier lieu , composée avec la demi-diagonale du second quarré donne pour résultante la racine — I , et composée avec la demi-iliagonale du quatrième quarré , donne la racine — \/~i : ce qui forme bien les racines que nous voulions. 89. Ci-dessus (8Tj, les deu.v racines manquantes étaient ^ et o , c'est-à-dire qu'elles étaient consécutives. Supposons qu'avec q ce soit b qui manque. Les coefficients seront toujours donnés par des cordes tirées du sommet zéro à tous les autres, dans un polygone, ou plutôt li;jnc polygonale , à côtés égaux à l'unité, mais inclinés du double de ce fju'ils étaient au paravanl . c'est-à-dire, (pie la différence d'inclinaison d'un côté à l'autre, ou chaque angle extérieur est de -,. Cela donne un polygone régulier de huit côtés ; et la corde fera deux fois le tour pour donner tous les coefficients. On voit cela en pensant «pie b ayant une inclinaison double de a. fait un effet doidde. dans la conslnirtion. sur rinrliiiais(»n des rùtt's

ft'2 (jr\M'nts i>iAi;i>Aiin:s.

Si le iKiiiiluf (l^^ ((Mes n'i'sl pus pair, ou dicisiblc pat' ilt'ii.r , cluKiiic tniir (le la lii^iic |ir)ly{4()nale ne doniun-a pas un polygone coniplcl . ce ne S(>ra (pi'à la fin dos dcuv tdursquc le polvi^one se fcrinerti rrriiahlemeiU , c'està-(liie , que le dei'nier sduiniel tondjera sur le premier.

Si ("est 7 et (■ (pii uian(pienl le p(dy^une tournera Iruis /'ois plus rilc. Va de niènu' il ne serait complet à chaque tour qu'autant (pu' le iminhic des cotés serait divisible fiar Irais , etc.

i-ji appliipianl au (lualrienie degré , ([uand c'est y et ^ qui manquent , le polygone se réduit â une droite.

90. Au nombre des racines manquantes était toujours q , c'est-à-dire la racine sans inclinaison. Supposons que ce soit a et 6 qui manquent. Avec un peu d'attention, nous découvrirons que les choses se passent comme auparavant excepté que les cordes coefficients ne commencent plus au même sommet , qui était l'origine de la racine sans inclinaison , mais aux sommets consécutifs. Au reste ce cas et les suivants se lient tous ensemble en disant que les cordes qui doivent faire les coefficients de l'équation où il manque deux racines ( consécutives ou non consécutives], commencent à ï origine des coefficients (qui sont aussi des cordes) de l'équation dans le cas où il ne manquait encore que lapremièrc de ces deux racines. Quand q était la i)remière racine manquante , les cordes commençaient toutes au même point, parce que les coefficients de l'équation sans q y commenceraient. Si c'est a qui manque nous avons vu (86) que les coefficients de l'équation sans a sont tous égaux à l'unité ; mais incli)iée de 0, 1,2, ,'}, etc. arcs, c'est-à-dire.

yiAMiiÉs i>u(;i>AiRJ-:s iVA

qu'ils sont des cordes qui sont l«'s (-«Mes sn((fs>irs du polygone. Hé bieji! les cordes cofflicitMits de ré(|uation sans a et une autre racine commenceront a l'cjrigine des coefficients sans a, c'est-à-dire, au sommet zt'-ro. ensuite au sommet I , au souunet 2 , etc.

En effet , pour passer d'vi\i coetlicient a l'autre <piand c'est g et une autre racine (|ui man((uenl, a par exemple . (87) nous disons : multiplions par «le coeflicient obtenu. qui est une corde, ou bien plusieurs côtés consécutifs du polygone , ou bien plusieurs racines consécutives du système. Cette multiplication fait tourner cette somme , d'un arc. Si elle était les racines dont l'inclinaison est 0, 1, 2, 3, par exemple . elle devient les racines dont l'inclinaison est I, 2, 3. 4. Pour produire le coefficient de l'état précédent ou plutôt la coloime îles combinaisons . qui est le coefficient avant le changement de signe , il faut y ajouter — I , c'est-à-dire , la racine marquée 8, parce que le coefficient de l'état précédent était — I, ensuite les racines marquées 9, lo, II, 1 2 pour neutraliser 1 . 2, 3. 4. Maintenant . si a est la première racine manquante et h la seconde, en multipliant par b nous ferons tourner de deux arcs; mais le (^oelficient de l'état précédent tourne d'un , parce que cet a qui y mamiue . pour le produire, il faudra donc d'abord neutraliser le résulta de la multiplication, et ensuite produire la force opposée au coefficient de l'état précédent, ce qui donne une racine voisine du groupe neutralisant le produit qui a tourn»- . c'est-à-dire, que la racine qui faisait le coefficient (au signe près) ou la colonne de l'état précédent, vient toujours s'ajuster nu t/rniijir qui <i tourné par la multiplication , et par coiiseipii'iil fait rnmmniirr h rr's>illaf ou la corde , avec elle

f)4 t^HAMITI'S nUClN \11U"S.

Ces ('(wu'liisidiis cxislciil |»(iiir (i cl r , pour a ci d «Me.

1)(^ inriuc elles exisleiil [xuir h et c , h et (/ oie. En effet la imilliplicatioii par r ferait tourner de trois arcs , le ooeflicienl de Yv{;\\ |)recedent aurait louriié de deux , il s'ajusterait encore comme ci-dessus , et commencerait le résultat ou la corde.

91. Quand nous disons (jue les cordes donnent les coefficients , il faut entendre en longueur et en direction; mais non en jiosition , quand elles ne partent pas de l'origine. Il faut toujours imaginer qu'elles doivent être transportées parallèlement de manière à ce que leur oril/ine [ou point d'application) soit à l'origine générale avant d'être appelées coeflicients. Il en est ainsi , parrce qu'il y a eu un déplacement artificiel des racines , elles avaient toutes naturellement la môme origine, et formaient des rayons de cercle , tandis que pour la construction nous les avons regardées comme faisant des côtés de polygone

92. Supposons qu'd manque trois racines q, a, b. La loi des coefficients se complique , cependant ils s'obtiennent aves des cordes ou combinaisons de cordes.

Le coefficient du second terme serait une corde ou diagonale a trois arcs partant du point zéro.

Le coefficient du troisième ternie une corde à cinq arcs , partant du point zéro , plus une corde à un arc, partant

du points.

Le coefficient du troisième terme serait une corde à sept arcs , partant du point zéro , plus une corde à deux arcs partant du point 2, plus une corde à un arc partant du point 4.

QL'ANTrTÉS IM A(.I\A1RKS. 65

Le coefficient du quatrit'iin^ tcrnu; uuo corde à neuf arcs partant du point zi'to . jjIus une corde à trois arcs partant (lu point i, plus une rordr à deux arcs partant du point 4 , |this untM'ordc ii un arc parlant du point T..

Etc.

On trouvera la démonstration en suivant une; marche analogue à ce qui précède. Nous ne la donnons pas par la crainte de devenir trop long , comme aussi nous ne considérerons pas les cas suivants où la loi serait encore plus composée.

Extension de la méthode de yeulan au calcul des racines imaginairct, ou généralisalion de celte mélftode.

93. La mélliode de Newton, pour calculer avec approximation les racines réelles d'une équation, consiste à substituer à la place de x une grandeur réelle qui approche déjà de la racine cherchée à moins d'un dixième , et à calculer ensuite ce qui manrpie pour achever cette racine.

Pour cela , attendu (pi'un polynôme jjour de petites valeurs de sa variai)ltî , ne varie à peu près que parcelui de ses termes qui renferme la plus basse puissance de la variable , c'est-à-dire , la première , on tâche d'obtenir un poljTiôme ordonné suivant les puissances d'une lettre exprimant ce qui manque à la racine. Ce qui manque étant au-dessous d'un dixième , les termes renfermant les puissances su})érieures sont au-dessous d'un centième, à moins qu'il n'y ait de très grands cocflîcients: on se permet de les nt'gliger comme n'inlhiant pas beaucoup sur l'équation , qui , par la, devient du premier degré , par consi^iuent facile à résoudrez et donni* avec approximation ce i\\ù mancpie à la racine. Pour

avoir un polynôme où ce qui manque à la racine soil représenté par la lettre ordonnatrice, il suffit de substituer .r-|-i à la place de x , et le polynôme ou l'équation

devient x-f-X^+~''+ =0-

X, X', X". etc., représentant le polynôme en x et ses dérivées. En né^digeant les hautes puissances de /, onaunt;-

équation du i)remier degré , qui donne

[)our la valeur à ajouter ;i celle qu'on est censé avoir mise à la place de x dans les polynômes X et X': (sauf les vérifications connues).

S'il s'agit de la recherche d'une racine imaginaire , c'est-à-dire , d'une droite dont l'extrémité est en un point inconnu du plan, en supposant qu'on ait substitué une droite dont l'extrémité soit éloignée de l'extrémité cherchée de moins d'un dixième , il n'y aura donc plus à trouver qu'une petite ligne inconnue en longueur et en direction. Si elle était connue , nous l'ajouterions (29) à la droite qui est déjà à la place de x et nous aurions la racine cherchée. Or si cette petite droite est représentée pa^^, dans l'équation transformée comme ci-dessus, les termes affectés des puissances supérieures ne modifieront que très peu la valeur du polynôme pour la longueur , comme l'on sait, et que très peu aussi pour la direction, car d'après ce que nous avons remarqué (47) pour les petites valeurs de la variable , le terme affecté de la plus basse puissance doinie à peu près sa direction à larésultante. Donc on pourra comme pour les racines réelles, négliger les termes supérieurs, et la ligne à ajouter sera également

donnée par la formule

04. Soit rô(iuation x* — 3x'-|-5x*— 6x-|-t8=0. Supposons que par un moyen quelconque on ait déeouvert qu'une droite que j'appelle p, ayant 2,4 de longueur que j'appellerai a et 39*^,2 (nouvelle division) d'inclinaison que j,appellerai « approche beaucoup de la racine. ïl faut donc substitui?r p dans X et X'.

Puisque p = a{cosx-\-sin<iy~\ = 2,4(cos39,2 -|- 5m39,2 l/^j nous aurons pour X, que nous appellerons P après la substitution, les résultats suivants :

—^acosoc=— eacos3d,2= — 11 ,7oo28

-|-5a»co.s2a=+ 5a'cos78,4= + 9,o8.')2

— 3«Vo.s3a=— 3aVo^l !7,6=+3flVo,v82,4=-f-l 1 ,31986 +o*fo.y4«=+ aVo.y 156,8=— flVoA-43,2=— 23.8275.

Cela nous donnera la partie réelle de P et nous trouverons partie réelle de 9 = -\- 1,32228.

Pour la partie imaginaire nous aurons :

— 6o.s/Ha=— 6a5m39,2= — 8,317047

-|-5aV/»2a=-|- oa».ç/>M8,4= -j- 27,15812

— 3fl'.si?i3a=— 3a'67/tl 17,6=— 3a'5in82,4=— 39,89721 -fa*5m4a=+ a*5m1o6,8=+ rt*5m43,2=-f 20.82529.

En réduisant nous trouvons :