ORDRE
Nous admettrons que, les quantités échangées variant, cette utilité totale est susceptible d'atteindre un maximum. Dès lors, nous pourrons écrire les conditions nécessaires de ce maximum : l'annulation des dérivées partielles de 9, par rapport à chacune des quantités échangées.
En opérant cette série de dérivations et en égalant chaque résultat à zéro, on forme le tableau suivant :
PisalQ'a) = Diva nig ie) = PascPiseld e) tirs CRU L E1,b(q'n) = D dnelgie) = Dh,aP1,a(Q'a) TO = Poan®1,m('m)
(2) Dal ER HAN NE ETES o11(q) == Pism?1sm(q m)
æ m(m— 1) AE
DORE conditions de ce tableau nous joignons les m relations du système (1) nous formons un ensemble
THON DIE : Un: . Lo PR de ——5— équations qui déterminent sans ambiguité et sous la seule condition du maximum d'utilité totale : 1° les
m quantités q'aq'n, --... possédées après l'échange. 2° les
1) . : . ; ———— quantités partielles échangées, telles que æ,,2.,%a,
hé m(m+1l) .
YeyYa +... Za,Ze ++. Au total 5 inconnues.
41. COROLLAIRE 1. — On voit immédiatement que pour que les relations (2) soient compatibles entre elles, il faut que les prix donnés obéissent aux suivantes, obtenues par simple rapprochement des premières :
1 bsa Ph:a Prin Pre = — JA Diem co. .
Ca Pasa Pesa | Da Le DD RE esp est 2 or] (TE — ee +. .
(3) pre Pis Pa Puis Pinsa Din:
Pn,v STE Paie pren Pa — 1 Sie ON
Pa Pesa Pas
En un mot,le prix donné de deux marchandises l’une en l’autre doit être égal au rapport des prix de ces mar-
Re
chandises en une mème troisième quelconque. On pourrait d'ailleurs démontrer directement que c’est là une des conditions nécessaires à l’équilibre d’un marché d'échange ().
42. COROLLAIRE 2. — Les relations (3) montrent qu'il est indifférent, pour l’individu considéré, d'échanger directement la quantité y. de (B) contre la quantité y.p,. de (C) ou bien d'échanger d’abord y. de (B) contre y:p, de (A) et d'échanger ensuite yepra de (A) contre yrPa de (C), on voit, en effet, qu’en appliquant les égalités
1 à Fi pe De
Pesa Der
il vient finalement : YyePh,e = Yet, Pre
Qu'il opère Fléchange direct ou léchange indirect, l'échangeur considéré obtient finalement la même quantité de la marchandise (C). Dès lors nous pouvons considérer tous les échanges de l'individu (1) comme s’effectuant par l'intermédiaire de la marchandise (A) et modifier en conséquence nos formules.
L'utilité totate des quantités q'aq,q... se trouvant en sa possession après l’échange s'exprimera toujours par a fonction :
=D 0 de. )
mais l'expression de ces différentes quantités se modifiera de la manière suivante :
() L. Walras.— Elém. d'Economie polilique pure, p.135 et suivantes,
L Q'a= da + (Ye + Ya. Pia (rate + ee pen +. + EnPisa — (Cr + Le La + 2) — YeDisa— (YaPhsa Ze) a | UePha ee ZéDoa tr HiPasa) RO
DE qu —(ÿe + ya + ye =...) aps d'e — (OH Em (Za te Ze Ur ..) ER TP ste UePh;aPase
\ Qi = in an (Lin-cte UP, Sin Zinpe,a Se op Pas
I faut remarquer que les échanges réciproques de chacune des marchandises (B) (C) (D) ... avec Ia marchandise (A) s’annulent en partie. Echanger par exemple æ, de (A) contre une portion de (B) et la somme (Ye + Ya + ...) de (B) contre une portion de (A) revient à effectuer dans le sens convenable l'échange de la différence. Ce sont ces différences qui seules importent en définitive : elles suffisent à définir l’état final du patrimoine de l'échangeur considéré. Nous pouvons donc les prendre désormais pour seules inconnues, en posant d'abord :
[ Ant OP EC) M Dr on bad oe 0 x) \ D RE TE + Yn) — LhPayn (5) 7 de = NE SE SE NT 0e 0 mel YePrsa Pise \ du ER Un Se UinpPhsa EE Zinpesa entiere Dares
Intreduisons €es valeurs simplifiées dans l'expression des quantités finales possédées, fournie par le système (4), il vient:
(6) q AS (OR da y a D ôp de = en + GE . ‘de = Qn— du sous la condition :
(02) da = SnPosx + DepDrs se vs lee Le Dire
Portons les valeurs (6) dans l'expression de l'utilité
totale et mettons la condition (7) sous forme implicite ;
Rs convenons, en outre, de Compter positivement les échanges s'opérant en un certain sens et de compter négativement les échanges s'opérant en sens contraire, par rapport à (A),
nous ebtiendrons les relations générales :
(8) on ee Pi(Qa te Ce 4» Ste Ôps qe SE 0 à ses Qu + Ôn)
(9) Ôù Sir da RE CD < daPasa A DR de —— 0
Admetfant qu'il existe sous la condition (9) un système de valeurs de 54, à, à... pour lesquelles l'utilité totale atteint un maximum nous obtiendrons d’après le théorème d'analyse concernant les maxima relatifs, les conditions nécessaires de ce maximum en annulant séparément les dérivées partielles de l'expression :
OR
dans laquelle } représente une constante à éliminer par la suite.
Ces dérivées sont les fonctions suivantes :
AE (Q à) de À P1,n(q'n) = ÀPhya D15e(q'e) = ADS DO
En les annulant simultanément et en éliminant à, il
vient les relations :
(19) ia d'a) == Pasn?1b(Q'b) a Dasc®ielq e) = se — Pain Gun)
qui jointes à la conditions (9) forment un système de m relations déterminant les m quantités échangées à,,0,,8... qui correspondent au maximum d'utilité totale.
On voit que l'échange indirect, d'apparence plus compliquée, aboutit en réalité à une simplification considéra-
