II. — La Moyenne des prix et l’'Etalon multiple
35. Proposons nous maintenant de comparer, sur deux marchés différents, les intensités non plus individuelles mais moyennes du besoin subsistant envers une même marchandise (B). Nous y parviendrions en exprimant pour chaque marché, les valeurs individuelles de l'intensité du besoin restant de (B) en fonction du prix de (B) en (A) et des intensités individuelles du besoin restant de (A), puis en calculant respectivement les moyennes des différents résultats. Mais il est facile d'économiser la plus grande partie de ces calculs. Qu'il s'agisse en effet de la moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique des intensités du besoin de (B) sur un marché quelconque, le rapport de cette moyenne à la moyenne des intensités correspondantes du besoin de (À) est directement mesuré par le prix de (B) en (A). Pour le démontrer, il suffit d'exprimer le rapport de ces moyennes en tenant compte des égalités fondamentales.
Ep(Qsr) Ph(Qan) __ Pn(Qo,n)
Pr —= = —e..soos
PalQisa) PalY>,a) Pa(Qosa)
On obtient respectivement les expressions :
op(Q1,n) cu Op(Q,n) ON PE D 0 à + En(Qo,b) Moyenne () arithmétique Pr 5 ET :
PalQisa) + PalQosa) re OO Di + PalQosa) Û) () Lé Moyenne Va ÉD) >< PhD EEE >< ?p(Q0,b) géométrique Pr — Ô
ANGES AAA 76 Tr que
1 1 Fi Moyenne é Re . PS RSS DA 0e ve harmonique Ph — ÿ 1 1 1 pair) + plane) net eheie te tateus ete DENT
En convenant de désigner par Ma. la moyenne arithmétique, Mg. la moyenne géométrique, Mh. la moyenne harmonique, on écrira plus simplement :
Ma.s, . Mg. Mh.e b — = 3 & PE Man, Mg Mho
On obtiendrait de même, pour les autres prix : es Ma.ge __ Mg.% Mh.y Fe Mau Mgx Mh
ur Ma.%a Mg.za Ml.
PT Mas, Mg Mhe,
. , . e ON 5
Il apparaît ainsi nettement que pour obtenir la moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique des intensités individuelles du besoin subsistant envers une marchandise quelconque on n'aura qu'à multiplier par le prix de cette marchandise la moyenne correspondante des intensités individuelles du besoin subsistant envers le numéraire. Il suffit de calculer cette dernière pour en déduire immédiatement chacune des autres.
La forme particulière précédemment attribuée à la fonction #, confère à la moyenne harmonique de ses différentes valeurs individuelles deux propriétés qui nous la font préférer aux moyennes arithmétique et géométrique. Cette moyenne prend en effet la forme suivante :
ÿ) Mh.cs = Re Pie : isa (6 25a 3sa Qosa 13: pe Sun, ; él te
Ou plus simplement :
| pk Mh.v— —— : ia + (VE (EM Ra tn | Jo
En désignant par Q4 la somme totale du numéraire existant sur le marché, il vient :
0 ke Mh.e, = À
D'où cette première conclusion :
La moyenne harmonique des intensités individuelles du besoin restant envers la marchandise numéraire ne dépend que de la somme totale du numéraire existant sur le marché, quelle que soit la répartilion de cette somme entre les différents individus.
Si d'autre part nous exprimons les moyennes arithimétique et géométrique des mêmes intensités, nous obtenons les formules :
Ke pl 1 1 1 Ma. pa — ( + — +. + — ÿ) isa Ga Ga Qosa k Mg. = 9 —
Vase CSD -osa
Pour une mème valeur Q, dela somme totale du numéraire les moyennes arithmétique et géométrique ci-dessus exprimées varient avec la répartition de cette somme, elles atteignent en même temps leur minimum lorsque les
quantités Q;, 2, Qs -.. qu Sont égales entre elles. Ce GK
minimum à pour les deux moyennes la même valeuri——-, 1 du
précisément égale à la valeur constante de la moyenne harmonique. D'où cette seconde propriété :
Pour toute valeur de Q, la moyenne harmonique des intensités individuelles du besoin de numéraire inarque la
limite inférieure au-dessous de laquelle ne peuvent descendre les moyennes arithmétique ou géométrique des mêmes intensités.
Si nous supposons Calculées,pour un marché donné,les moyennes harmoniques des intensités des besoins individuels relatifs à toutes les marchandises, elles s’exprimeront par la suite de produits :
Mho=p;.Mhes Mh.s:=pMh.o,:...…. MR.on=pPMh.o:
De ces moyennes relatives à chaque marchandise, considérons maintenant la moyenne générale qui peut être indifféremment une moyenne arithmétique, géométrique
ou harmonique. On obtiendra sans difficulté l’expression de ces trois moyennes :
Moyenne arithmétique :
Mo + Mh.o. + ...+ Mhon (m—1)
Diop... + Pm (m'==1)
= Mh.x
Moyenne géométrique :
(in te (67 SU NU Et V Ml <MRo x... <Mh.pn = MR. VP5P D
Moyenne harmonique :
(m— 1) (m —1) - — )} Or Î I 0: he LL NOM Le On Mh.on DR DD ie Da
De.ces expressions on tire la triple conclusion :
Sur tout marché à l’état d'équitibre, la moyenne arithmé- Lique, géométrique ou harmonique des prix mesure la moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique des intensités moyennes des besoins subsistant envers les différentes marchandises par rapport à l'intensité moyenne des besoins subsistant envers la marchandise numéraire.
== Tr
Par là se trouve exactement analysée l'interprétation complexe que comporte toute moyenne des prix.
36. Si nous supposons, enfin, calculées les moyennes des prix pour deux marchés différents (1) et (2) nous pouvons écrire sans difficulté l'expression du rapport de ces moyennes, en accentuant les termes relatifs au marché (2)
Map Mh.oi. Mh.g + Mh.ge+..... + Mh.on Map Mhe, Mho,+Mh.pe+....… + Mio, à (mm — 1) = Mg.p __Mh.v, VMR.o MR Ge Rer > Mh.os RE © m — 1) MP Mo ee MA (m— 1) LS eee" ce Mhp Mhga., Mc ie Too Mh.on Mh.p' Mhæ, (m—1) 1 1 1
ss... se
Mh.o', L: Mh.o'.
Ces formules sont exactement traduites par l'énoncé suivant :
Si l’on considère deux marchés en équilibre, le rapport des moyennes arithunétiques, géométriques où harmoniques des prix est égal au produit du rapport des moyennes générales des intensités moyennes des besoins restant envers les différentes marchandises par le rapport inverse des intensités moyennes du besoin restant envers la marchandise numéraire.
Dans l'ignorance où nous sommes de la forme précise des fonctions individuelles 6, &, ::. on nous n’aperce-
vons aucune raison de préférer l’une des trois sortes de
moyennes aux deux autres: la moyenne arithmétique de M. Sauerbeck vaut théoriquement la moyenne géométrique de Jevons ou la moyenne harmonique de M. Messedaglia (*). On leur a fait le reproche commun de ne pas tenir compte des écarts existant entre la consommation des différentes marchandises, d'accorder même importance au prix du pain par exemple et au prix de la canelle. Ce reproche ne nous semble pas bien solidement fondé, car les prix expriment comme nous l’avons vu les rapports des intensités finales des besoins et ces besoins sont précisément fonctions des quantités respectivement consommées des diverses marchandises. Ces quantités jouent un rôle indirect mais certain dans l'établissement de toute moyenne des prix. Il n’était pas indispensable pour leur en attribuer un de recourir au système de l’étalon multiple dont il nous reste à discuter l'interprétation.
37. On appelle étalon multiple d’un certain système économique en équilibre, le coût en numéraire d’un ensemble de quantités déterminées des différentes marchandises échangées. Si l’on prend par exemple la quantité a de la marchandise (A), la quantité b de la marchandise (B), la quantité c de la marchandise (C),etc... dans un système dont les prix d'équilibre en le numéraire sont exprimés par D», Pe, Pa... la valeur de l’étalon multiple de ce système, désignée par E, sera :
E = a + bp, +. cpe + dpa+ .....
Cette formule de définition est générale: elle s'applique à tous les systèmes possibles d’étalon multiple, ces systèmes ne différant entre eux que par le choix arbitraire des quantités à, b, €.
() A. Messedaglia. — Il calcolo dei valori med). p. 33-68.
Si l’on considère d’abord le plus simple, l’étalon composé d’une seule unité de chaque marchandise, 1} apparait immédiatement que cet étalon est équivalent à la moyenne arithmétique des prix et qu'il comporte la même interprétation que cette moyenne.
38. A ce premier système certains statisticiens en préfêrent d’autres qui n’ont pas donné à vrai dire des résultats sensiblement différents et qui consistent à prendre pour les cœfficients a, b, c ... des valeurs égales ou proportionnelles aux quantités consommées de chaque marchandise, soit par un individu déterminé, soit par l’ensemble des individus du marché économique considéré.
Ce sont — réduits à leurs éléments théoriques —— d’une part le système des budgets de familles, d'autre part celui des index numbers de M. I. Palgrave. Tâchons d'en déterminer successivement l'interprétation.
Considérons d’abord un individu (1) qui dans un système ([) consomme les quantités a, b, c ... des mar-
chandises (A) (B) (C) ... L’étalon multiple relatif à cet individu prendra la forme générale :
E, = a + bp, + cp. + dpa + .....
Remplacons dans cette formule les prix par les rapports qu'ils expriment, il viendra :
aa) + by(b) + co(c) + E. — | Pelc, ve =
oA(4)
Cette expression a pour dénominateur l'intensité finale du besoin subsistant envers la marchandise numéraire, mais son numérateur ne parait d’abord avoir aucun sens précis. Pour lui en attribuer un, imaginons que dans un
second système économique (IT) l'individu (1} consomme les quantités a’, b', € ... des mêmes marchandises AUX DrIX Dr, De, Pa-.-; létalon multiple relatif à cet individu devient :
d'o(d} + bob) + c'ec\ +...
a(a') et le rapport de E,; à E' prend la forme:
(4) E sa) as ag(a) + bob) + colc) +...
Enr pla). doda)+bla(b}Æesie)+.....
Des deux rapports dont le produit figure au second membre, considérons séparément le second et divisons
ses deux termes par un même nombre K. On a identiquement :
a b ΠAA) + ob) + 2 (EC) + K K
aa) + bad) + cale) +... K d'a) + b'o(6) + c'e) + :.… PTE QUVast Ce Fe —OAUQ) +00) + o(c)+..
