LIVRE I. - CHAPITRE II
On voit que, lorsque le coefficient d'extinction S est nul, les aires décrites par le rayon de l'ellipse sont proportionnelles au temps. On sait qu'un pareil mouvement est produit par une force attractive émanant du centre et proportionnelle à la distance ; on en conclut que les vibrations persistantes s'accomplissent comme si chaque molécule était attirée vers sa position d'équilibre par une force proportionnelle à la distance.
Ondes planes dans les milieux homoédriques.
9. Nous supposerons dans ce qui suit que les trois constantes arbitraires U, V, W sont nulles. Les équations (7) ont pour coefficients les quantités
X [cos (ux -h vy -H wz) — i -h « sin ( ux -h vy -h wz)],
X[cos(ux-|- vy -h wz) — i-4-isin(ux-f-vy-4- wz)].
Dans les milieux homoédriques, on peut regarder chaque molécule comme centre de tout le système, c'est-à-dire supposer que toutes les molécules sont placées deux à deux symétriquement par rapport à l'une d'entre elles; dans ce cas, les parties imaginaires des coefficients sont nulles, et à chaque
valeur réelle de s* correspondent des valeurs réelles de j et
Y ; on a donc
ainsi, dans les milieux homoédriques , les vibrations persistantes sont polarisées en ligne droite,
10. Si les trois racines de l'équation (9) sont réelles et négatives, à chaque onde plane correspondent trois vibrations rectillgnes persistantes. Parallèlement à la vibration, portons.
à partir de l'origine, une longueur égale à -j et désignons par
Xj y-j z lés coordonnées du point ainsi obtenu : les équations (7) donnent
(•i3) I R,^-l-M,r-f-P,3= — sy,
On en déduit Tellipsoîde
(i4) L,a?*-4-Mi7'-hN,2'-|--2P,j3-f-^Q,zx-h'2R»a:;f-hi==o.
Nous remarquons que les premiers membres des équations (i3) sont les moitiés des dérivées partielles du premier membre de réquation (i4) par rapport à ^, /, z; ces dérivées étant proportionnelles aux cosinus des angles que la normale à Tellipsoïde, au point dont les coordonnées sont x.y y^ z, fait avec les axes des coordonnées, on en conclut que les directions des trois vibrations rectilignes sont celles des axes de l'ellipsoïde. Ainsi, dans un milieu homoédrique , lorsqu'à une même onde plane correspondent trois vibrations persistantes y ces vibrations sont dirigées suivant les axes de t ellipsoïde ( i4 )•
11. Les coefficients des équations ( 7 ) dépendent de la quantité UX + vy-f-wz, que l'on peut mettre sous la forme krcosô
271 /• cos Q ou = » en désignant par 9 l'angle que fait avec la normale au plan de Tonde la droite qui joint la molécule dont on considère le mouvement à une molécule voisine. Les molécules d'éther n'exercent une action sensible les unes sur les autres qu'à une distance très-petite ; nous admettrons que le rayon d'activité sensible des molécules d'éther est très-petit par rapport à la longueur de l'onde. Dans cette hypothèse, la quantité ux -f- vy -h wz peut être regardée comme très-petite dans chacune des sommes qui forment les coefficients, et l'exponentielle se développera en une série très-rapidement convergente.
Considérons les deux expressions symboliques G et H (n" 4), à l'aide desquelles on peut former les équations différentielles
lo UVRB 1. - CHAPITRE U.
du mouvement (5), savoir
Dans les milieux homoédriques, les termes de degré impair sont nuls; le développement de G commence alors par un terme du seeond degré et celui de H par un terme du quatrième degré. En ne conservant que le premier terme de chaque série et négligeant les suivants, qui sont très-petits par rapport au premier, on a
l G = -2m/(r)(ax + i'y + ivz)S
f U= —^r-TlmJ—-^(u\'^ vy -hwz)*.
A ce degré d'approximation, les équations difTérentielles du mouvement vibratoire se réduisent à des équations différentielles partielles du second ordre et homogènes par rapport à D„ D,, D„ D,.
