INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT VIBRATOIRE
Principes du calcul des résidus.
\h. Nous intégrerons les équations différentielles du mouvement vibratoire à Taide de la méthode de Cauchy ; mais nous dirons d'abord quelques mots du calcul des résidus imaginé par cet illustre géomètre, en nous bornant à ce qui nous sera nécessaire pour le but que nous nous proposons.
Soit/(^) une fonction qui reste finie et continue pour les valeurs de x voisines de a; on sait que cette fonction se développe en une série convergente suivant les puissances entières et positives de x — a.
fix) La fonction V(x) = -^ devient infinie pour x = a; si Ton
pose
f(x) =f(a) -hix — a)fy [x), on a
la fonction F(^) se compose de deux parties : une fraction du
premier degré ^ > et une fonction fi[x) qui ne devient pas
infinie pour ^ = û; le numérateur /(a) delà fraction simple est ce que Cauchy appelle le résidu de la fonction F(^), relatif
à la valeur a qui rend cette fonction infinie.
f(x) Plus généralement, considérons la fonction F(^) = .'' \
si l'on pose
• f^a:)=f(a)^£^{x-a)^î^[x-ay^,..
I \ m Jt
f'-\ (a) ^^ ^^, ^ (^ ayf,{x),
i4 LIVRE I. - CHAPITRE 111.
on a
ï'(^) = (ïir^ + (jir^p + • • • + -^ziTr-^ +/ W:
la fonction F(^), qui devient infinie pour :c = a, se compose d'une somme de fractions simples et d'une fonction ft(x) qui
ne devient pas infinie pour x = a; la quantité — - — —^ — :j
numérateur de la fraction du premier degré, est le résidu de
la fonction F(x)y relatif à la valeur jt = a, qui rend infinie cette
fonction.
Considérons maintenant la fonction F(^)= ^^^4-^9 dans la-
quelle le numérateur ^{x) est une fonction qui reste finie et continue pour toutes les valeurs finies de x, et le dénominateur <^(x) un polynôme entier du degré m; soit
<^{x)=z(x — a)*(ar — by{x — c)9, . .;
on déterminera les résidus de la fonction F(x) par rapport aux diverses racines du dénominateur; la somme de ces résidus sera le résidu total de la fonction» et nous le représenterons par le symbole ^ F(x).
Par exemple, pour avoir le résidu relatif à la racine a, on posera
d'où
^ ' (X — aY
La fonction /(a?), restant finie et continue dans le voisinage do ^=a, se développera en série convergente suivant les puissances croissantes de ^ — «, et l'on obtiendra le résidu comme nous l'avons dit.
Il est utile quelquefois de changer la variable par rapport à laquelle on prend les résidus. Soit x = kx\ k étant une constante; dans le développement de la fonction F(^), la fraction
INTÉGRATION. i5
du premier degré devient Tm z^^\ le résidu était A,
il est maintenant i-; on a donc
Mb «b
15. Supposons que le numérateur contienne une seconde variable t, le dénominateur restant toujours un polynôme entier en X, et soit
On aura, dans le voisinage de ^ = a,
Si Ton prend la dérivée par rapport à la variable /, il vient
' [x — aY X — a j \ f fy
le résidu de la fonction DrF(^,/) relatif à la racine a est
il est égal à la dérivée par rapport à / du résidu de la fonction F(^,/); et de même pour chaque racine. On a donc
16. Appliquons ces considérations à la fraction rationnelle F(x)= f^'* dstï^s laquelle le numérateur est un polynôme entier du degré m — i au plus, et soit
^(^) = A^-'-hff^'""'-h. . .-hG^-hH.
On sait qu'une pareille fraction se décompose en une somme
i6 LIVRE 1. - CHAPITRE III.
de (raclions simples de la forme
Bo . Bi . Bp__t
[x — h)P [x — hf-' ' X — b
Les quantités A„,, Bp^i,.. ., sont les résidus de la fraction proposée, relatifs aux racines a, 6,... ; leur somme est le résidu total, et l'on a
-j— lip— I "H • • • •
Si Ton multiplie par le dénominateur (p{x) cette somme de fractions simples, on doit reproduire identiquement le numérateur; en égalant les coefficients de a:"*-', on obtient la relation
Ainsi, le résidu total d'une fraction rationnelle, dans laquelle le dénominateur est un polynôme du degré m ayant son premier coefficient égal à l'unité et le numérateur un polynôme du degré m — 'i, est égal au premier coefficient du numérateur. Lorsque le numérateur est d'un degré inférieur à m — i', le résidu total de la fraction est nul.
Intégration d'un système d'équations différentielles linéaires à une seule variable indépendante,
17. Prenons comme premier exemple trois équations simultanées du premier ordre :
I D,g = Lg-HRy3 4-QÇ, (i) { D,yî = R^-hMrî-f-PÇ,
( D,Ç = QÇH-Py3 H-NÇ,
ou
(D.-L)$-Rr;-QÇ = o,
(2) \ (D,-M)y3-PÇ— R^ = o,
(D,-N)Ç-Q$-Py, = o, .
dans lesquelles L, M» N, P, Q, R sont des constantes. On cherche trois fonctions Ç, y}, Ç de / vérifiant ces équations différentielles et prenant pour ^ = o les valeurs données
On obtient une intégrale particulière en posant
et assujettissant les constantes s, A, B, C à vérifier les relations
/ (^ — L)A — IIB — QC=o, (3) j (5 — M)B-PG — RA = o,
( (5--N)G — QA— PB=:o.
En égalant à zéro le déterminant, on a l'équation du troisième degré
i S = (5-L)(5-M)(5-N)-PM5-L) (^^ \ -Qa(5 M) — R'(5 — N) — 2PQR = o,
qui donne trois valeurs pour s; à chaque valeur de s corres-
pondent des valeurs déterminées des rapports^» -jj la constante A restant arbitraire ; on obtient ainsi trois intégrales particulières, dont la somme forme l'intégrale générale. On peut mettre les équations (3) sous la forme
/ (5— L)A — RB — QC = aS,
