M)(5 — N) — PS $ = P(5-L)H-QR

(6) \D\'L = (s—N){s — L)—Q\ ^=Q(5 — M)4-RP, X = (5 — L)(5~M) — RS ^=R(5 — N)H-PQ,

i8 LIVRE I. - CHAPITRE III.

on a

Il est aisé de voir que les intégrales cherchées sont représentées par les formules

,ftv ) p Be*' p (.7nj3-i-$y-f-aa)e"

les résidus étant pris par rapport aux trois racines de l'équation S=ro. On a en effet (n^ 15)

les premiers membres des équations (2), dans lesquelles on substitue ces valeurs, deviennent

P [(5 — L)A — RB — QG]/?"

et, en vertu des équations (5),

ou, plus simplement,

^ae'^ £,P^S £.ye";

ces quantités étant évidemment nulles, les équations différentielles sont vérifiées.

D'un autre côté, pour ^ = o, on a

^ ç ^a-4-^(3-h'^y __ p Pn^^-h^y-h^x

p Xy+\a4-^P .

d'après les remarques que nous avons faites (n^ 16), les polynômes ^, 3fïL, 5(C> étant du second degré en 5, et ayant leurs premiers coefficients égaux à l'unité, comme le dénominateur S

qui est du troisième degré, les résidus des fractions^? -^î —-

sont égaux à l'unité; les polynômes ®, ^, A étant du premier degré, les résidus des fractions -^ 7 ^, -^ sont nuls; on a donc

pour / = o, ^ = a, yj = (î, Ç == y, et par conséquent les trois constantes a, p, y, qui entrent dans les formules (8), sont les valeurs initiales données.

18. On peut, en général, réduire à trois les six polynômes ^, 311/, 2(C>, 9y ^ S\.y qui entrent dans les formules (8). On a, en effet, identiquement

ei par suite .

p 01' p (^^-t-l*S) £l' p £^ ^ c- S ""<-' « S ""<-'ir s'

les résidus étant toujours pris par rapport aux racines de l'équation S = o. On a de même

Ceci suppose, toutefois, qu'aucune des racines de l'équation S = o n*annule l'un des polynômes $, ^ , ^.

Les formules (8) deviennent ainsi

' p( ^^a-+-^$p-hg^y)g^^

•lo LIVRE I. — CHAPITRE lU.

Nous mêlions le polynôme S enire parenlhèses pour indiquer que Ton prend les résidus par rapport aux racines de Téqualion S = o.

Si Ton pose, pour abréger,

les formules (g) semellenl sous la forme très-simple

(^^^ ^=ow(S)' """"^wy ^^^^Js~y

19. Comme second exemple, considérons les équations différentielles du second ordre

nD?-L)|-Rr,-QÇ = o, (II) (D? — M)yî-PÇ— R| = o,

((D?-N)Ç-Q^-Pyî=o,

dans lesquelles L, M, N, P, Q, R sont des constantes. On peut remplacer ce système par un système de six équations du premier ordre

/D,g— ^'=o, D,r— L? — Ryî-QÇ = o,

(1-2) I D.Yî— yî'=o, D,yî'— Mrï — PÇ— R^ = o,

(d,Ç — Ç' = o, D,Ç'— NÇ-QÇ— Py3 = o.

On cherche six fonctions de / vérifiant ces équations différentielles, et prenant pour / = o les valeurs données

On obtient une intégrale particulière en posant

$'=AV, yî'=BV, Ç'=CV,

et assujettissant les constantes s, A, B, C, A', B', C à vérifier les relations

1 s A — A'= o, 5 A'— LA — RB — QC = o,

(,3) I^B — B'=o, 5B'— MB — PC — RA = o,

f 5C-^C'=o, ^e — NC— QA — PB = o.

L'élimination de A', B', C donne les trois équations

{ (5^L)A — RB — QC = o, (i4) (5'— M)B-PC — RA = o,

( (5^— N)C— QA — PB = o;

en égalant le déterminant à zéro, on a l'équation du sixième degré

{ — Q^(«^— M) — R*(5^— N) — 2PQR = o,

qui donne six valeurs pour s. A chaque valeur de s correspondent des valeurs déterminées des rapports -^j X' T'

-r-> -T-j la constante A restant arbitraire: on obtient ainsi six

intégrales particulières dont la somme forme l'intégrale générale.

On peut mettre les équations (i3) sous la forme

/ 5A — A'=aS, 5A'— LA-RB — QC = a'S,

(16) 5B — B' = pS, *B'— MB — PC— RA = (3'S,

(5C— C' = yS, 5C'-NC— QA — PB = /S,

a, (3, y, a', P', y' étant six constantes arbitraires et s l'une quelconque des racines de l'équation S = o. L'élimination de A', B', C' donne les équations

!(5^— L)A — RB — QC = (a'-f-*a)S, (5^- M)B — PC — RA = (P'-f-*l3)S, (5*— N)C— QA — PB = (y'-H*y)S.

Si Ton pose, pour abréger,

(lOj

aa LIVRE 1. - CHAPITRE UI.

on en déduit

A'= Oa'-»-(-C*'— S)aH-«^(*P'-h*'P)-H^U/-f-*^7), B' = D1L5(3'-h(3Tl/5»— S) p-f- « («7'-f-*^7)-h A (^o'+^a), C = 5î;>5y'-h (X*»— S) y -H ^(^o'-f-i'a)-!- « (5(3'-f-*»P).

Il est aisé de voir que les intégrales générales sont représentées par les formules

Car si Ton substitue ces valeurs, les premiers membres des équations (12) deviennent

P (5A — A^' P (5V— LA — RB — QCjf"'

et, en vertu des équations (16),

ces quantités étant évidemment nulles, les équations différentielles sont vérifiées.

D'un autre côté, si l'on fait / = o et si Ton observe que les polynômes 4^s, 3ît*, 5t>5 sont du cinquième degré en «, les autres d'un degré inférieur, on a

g=a, yî = (3, Ç=:y, Ê'=a', yî'=(3', Ç' = y'.

Les six constantes a, (3, y, a', (3', y', qui entrent dans Tinlégrale générale (20), sont donc les valeurs initiales données.

On peut encore réduire à trois les six polynômes 4^, OIL, 31^, <r, ^ S^ qui entrent dans les formules (20] ; car on a toujours identiquement

ta .g

JQ es

en -—

*CJ

g ^ i - Il î

es — *

xvr

o en

O es

es 0^