CHAPITRE V

Ondes planes,

24. Considérons d'abord le cas particulier où rébranlemenl Initial est plan, et soient, pour / = o,

Ç = '^ {ax -h 6j4- C2 ),

D|Ç = d/i(€Lr H- A7 -h C2),

a, 6, c étant trois cosinus constants. D'après la formule de Fourier, on a

f(ax + bx+ cz, /) = ^ CC\K.x^hr^»-^)i^^^^ i)dVda.

Pour intégrer les équations différentielles du mouvement vibratoire, il sufGra» dans le cas actuel, de poser

l = l^Ç Ç e^^"^-^'^-^^'-«)'^.(/krfa.

— ao

5i , Tîi » Çi étant des fonctions de i assujetties à vérifier les équations (26) du n" 20 (où Uy v, w désignent kai, k^i, kci), auxquelles on joint les'conditions initiales, pour / = o,

Ç.= 9(a), yî,= -^(a), Ç,= i{/(a),

l)i^i=?i(a)» l>iyî, = xi (a), I)i$.= ^,(a;.

DÉLIMITATION DE L'ONDE. 3i

Si l'on fait

& = ^ [?» (a) -*- *9 M] -*- ^^ [X« (a) + *X W] on aura

^k(ûa:-+-ir-+-c«— a)i-l-*«

— ac

^kiax-i-bj^-hcz-

.oc)i^st

gk(ax-r

bjr-^CS —

^ = ^jj ^ ^MS) ''•'''*•

Quand on néglige la dispersion, on a, comme au n'^Sl,

= k*T«j, (a) + /wk»T«j (a), èl les formules (35) prennent la forme

^ ^ &)cj(a) — rOTi(a)

^ = i //<î^ — ^I — ,.(-..-.*.-...-.«-«).• rf, rf,,

On en déduit

3a LWW, I. — CHAPITRE V.

Les variables k et a n'entrant pas dans les polynômes Q, <Stj ^9 ^19 on peut efîectuer rintégration, en remarquant que

hii

l («x-i- hx-^€s -h c# I — a) /

ro(a)c ^"-^'^-^"■^'••-''^' rfk«/«

et Ton a

^'^-^•C ^Tq)

OU plus simplement

^y P (ù{xs5x{ax-\'hr-\'CZ-{-(ùt)-\'(ùxsf(ax-{-br+cz -^-bit)]

(ù\TSi{ax-\'by-\-cz-\-rùt)-{'(î^Ts^(ax-\-by-\'CZ-\'(tit\

25. Supposons l'ébranlement initia) compris entre deux plans parallèles situés à la distance e de part et d'autre de Torigine, les fonctions cj(a) et xsx{ex) ne seront différentes de zéro que pour les valeurs de a comprises entre — e et 4- £; à deux valeurs de w égales et de signes contraires correspondent deux ondes planes d'une épaisseur égale à 2e, se propageant uniformément de part et d'autre de l'origine avec la même vitesse. L'ébranlement initial donne ainsi naissance, en général, à six ondes planes bien délimitées et se propageant uniformément, trois d'un côté, trois de l'autre, avec des vitesses différentes. Dans chaque onde correspondant à une racine simple, on a

«,D,$ = ^aD,yî=a,D,Ç, ou $,5 = î^,yî = ^,Ç;

ainsi la vibration est polarisée en ligne droite, et, d'après les relations (18) du n" 13, elle a même direction que dans l'onde plane élémentaire fournie par la morne racine.

Cas général.

26. Lorsque rébranlement initial est quelconque, les intégrales générales sont représentées par les formules (34) du n"* 23, dans lesquelles les résidus sont pris par rapport aux six racines de l'équation û = o. On peut se borner à considérer les trois racines positives. En effet, les deux fonctions que nous avons appelées n(a') et H, (a') (n^ 22) dépendent de six intégrales doubles, telles que

yy 9(«, p,y)4'rf/, ry* <f,(cc,^,y)d?>'dY.

— oc

On peut imaginer que le point mobile dont les coordonnées sont a, p, y parcoure le plan qui a pour équation aa 4- fc(3 -+- cy = a'; la valeur de chaque intégrale dépend de la position du plan, c'est-à-dire des quantités a^ b, c, a'; si Ton change les signes de ces quatre quantités, comme on a le même plan, on obtient les mêmes intégrales. En appelant $ (a') et 4^, (a'] ces intégrales, on a donc

$(a', rt, h, c) =0( — a', —a, — 6, — c),

et, par suite.

O' (a , a, b, c) (p^ia', ay by c)

— $' (—a', — fl, —b, — c), $"(— a', —a, —6, —c).

Les fonctions II (a') et II, (a') jouissent des mêmes propriétés; d'ailleurs ces fonctions ne contiennent w qu'à des puissances paires (n*» 21). On a posé

il en résulte

F(a') = n.(a')4-wn'(a');

F («', a, by c, &)) = F ( — a', — a, — 6, — c, — w),

F'(a', a, by c, «)= — F'( — a', — c, — ft, — c, — w).

Désignons par ^ le résidu borné aux trois racines positives;