LIVRE I. - CHAPITRE V
comme on a ^ = — ^ , les deux résidus partiels seront
— 6) ^ ta
Le premier est égal à
P F' (—lia: — hr — cz — &)f, — 6))
dans l'intégrale double, pour celle première partie, remplaçons p par TT — f et 9 par tt -h 5, ce qui revient à changer les signes de «, 6, 6', on a
1t nlit
ff
P F'( — ax — hy — cz — w^ — w) . , , i', ÇMÛ) '^^^pdpdq
ainsi le premier résidu partiel fournit le même résultat que le second ; on a donc
Si Ton pose enfin
a' = fljc -H 6r H- C3 — &)/, F(«')=n.(a') — wn'((x'),
les intégrales seront représentées par les formules
lit /tilt
►TT y^'>Tl
dans lesquelles on ne prend les résidus que par rapport aux racines positives de Téquation û = o.
27. Supposons que rébraiilement initial soit renfermé dans une sphère décrite de l'origine comme centre, avec un rayon très-petit e. Les fonctk)ns 9 (a, (3, y), cp, [a, p, y), . . . , qui représentent cet ébranlement initial, sont nulles pour tous les points situés en dehors de cette sphère. Les intégrales doubles
JJcp (a, (3, y) rf(3' rf/, ff9i{^,?,y).d^'dy\ ...,
sont les valeurs moyennes des fonctions (p(a, (3, y), 9, (a, (3, y),..., dans rétendue de la section faite dans cette petite sphère par le plan aa-f-ftp-f-cy:=a', multipliées par Taire de la section. Les fonctions $ (a'), $, (a'), . . . , n'ont donc de valeurs différentes de zéro que pour les valeurs de a' comprises entre — e et -he.
Considérons au temps t l'enveloppe S« du plan
a^-f- by-^cz — &)/ = o,
a, by c étant trois cosinus variables, et w vériûanl la relation û = 0. Nous ferons voir que Tonde, au temps t, est délimitée intérieurement par Tenveloppe S' du plan
ax -\-bf-\-cz — (ùt= — e,
et extérieurement par Tenveloppe S" du plan
ax -{- by-^-cz — w ^ = -f- €.
Le volume occupé par Tonde peut être regardé comme décrit par Tenveloppe S du plan
ax -i-by -\- cz — w ^ = a',
quand on fait varier ensuite a' de — e à 4- e.
Soient x^ /, z les coordonnées d'un point quelconque M ; au temps t, les éléments de Tintégrale correspondent à ceux des plans tangents aux surfaces S qui passent par le point M. Si le point est à l'intérieur de la surface S', et qu'aucun plan tangent ne passe par ce point, ce point est évidemment eh repos.
