G LIVRE I. - CHAPITRE V

tance finie de Tonde [fig. i). Par ce point menons des plans tangents à la surface So et à la surface S, tels que les perpendiculaires OPi et OPy abaissées de l'origine sur ces plans, soient dans un même plan avec la droite OM. La quantité sin p dp dq

désigne un élément décrit par la normale OP sur la surface de la sphère ayant Torigine pour centre et un rayon égal à l'unité ; si Ton prend pour variables indépendantes a! et l'angle > dont tourne le plan MO Po> cet élément de surface a une expression de la forme kda! dl. D'ailleurs le résidu relatif à la nappe de l'onde que l'on considère est la forme B F' [«!). On a donc

le signe 2 s'appliquant aux diverses nappes de l'onde, s'il y a lieu. L'intégrale relative à la variable a! s'étend de — e à -f-e. Pour une même valeur de X, la normale OP différant très-peu de OPc, on peut, dans la fonction ABF'(a'), regarder w et les trois cosinus a, 6, c comme sensiblement constants, de sorte (jue l'intégrale relative à od devient

F(a')rfa' = AB [F (a')]^'.

La fonction F (a') étant nulle aux deux limites — e et + e, cette intégrale est nulle. Ainsi, les points situés en dehors de l'onde sont aussi en repos, ou du moins ont un mouvement insensible.

39. Considérons maintenant un point M situé dans l'épaisseur même de l'onde, ou dans le voisinage de l'onde (Jig. ^). Par le point M passe une surface caractérisée par la valeur

irès-peliie «é attribuée au paramètre od. La perpendiculaire 0P„ au plan tangent en M à cette surface fait avec les axes des angles ayant pour cosinus a«, 6«, Co ; désignons par Ua la valeur

Fig. 3.

correspondante de &>. Si, par le point M, on mène un cône circonscrit à la surface S, les valeurs de a, 6, c, w qui correspondent à Tun quelconque des plans tangents MX différeront très-peu de «0, 60, Co, w.. Le pôle N, du plan

ax -^-hy-^- cz — (ùt — «' = o ,

par rapport à la sphère

est donné par les formules

Zi

f Ck)

Si Ton se borne à considérer la partie de la surface S voisine du point M, et qu'on néglige les puissances de a' supérieures à la première, on aura sensiblement

Zx

L'équation 12 = o est une équation homogène en a, 6, 6,0); si dans cette équation on remplace ces quantités par ^,,7,, -s,, i, on aura l'équation de la surface Si polaire réciproque de la surface S, du moins pour la partie voisine du point M. Cette surface polaire réciproque Si reste la même, quand on fait va-