PÉRIODIQUES
54. Nous avons représenté les inégalités périodiques de réther par des termes de la forme
àx = a' s\n^ -{- a'' cos^, ô j = 6' sin 4* -f- ft" cos 4», dz=:c^ sin4'H-<?"cos4';
il suffira d'effectuer le calcul pour un seul groupe de termes; nous ferons
et nous poserons
4» = aar-hPj-hyz;
on écrira ce qui provient des autres termes par analogie. Nous admettons que les coefficients a', V, c'y a" y 6", c", ou les inégalités dans la distribution de Téther, sont très-petits par rapport aux dimensions des cellules, et par conséquent que les quantités telles que a' a sont très-petites, et nous négligerons les puissances de ces quantités supérieures à la seconde. Les équations du mouvement vibratoire seront des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques; les coefficients des intégrales simples se composeront eux-mêmes de deux parties, Tune constante, l'autre périodique; la seconde partie est très-petite et de Tordre des quantités a' a,.. .; car, si ces quantités étaient nulles, cette seconde partie serait aussi nulle. La première partie est celle qu'il importe d'obtenir; c'est elle qui détermine en quelque sorte le phénomène visible.
Dans le calcul des coefficients des équations différentielles du mouvement vibratoire, nous négligerons les termes périodiques petits du second ordre; car ces termes ne pourraient
MIUEUX PÉRIODIQUES. 79
fournir des termes constants que par leur combinaison avec la partie périodique de Tintégrale, et ces termes seraient du troisième ordre et par conséquent négligeables; mais nous conserverons les termes constants du second ordre. On a, au degré d'approximation indiqué,
^x = (û'co8•^'-«"sin^^){ax+Py^-7z)-(fl'sm^^+û''cos^^) ^αÊI±2^\ s Y =(A'cos^^-^''sin^^)(ax+Py-h7z)■-{è'sin+4-ô"cos^^) (f^±Py±V^', ^z = (c'cos^-- Csin^) (ax+py+7z)- (.'si„i+c"cos^) (î2±ÊI±lf)' ,
rtfr = (xJx + ytfy+zoz) H ! — - — ■
= [(â'x + A'y4-c'z)cos>}^— (fl''x4-^"y4-c"z)sin^^](ax+Py4-7z) - [(«'x + è'y4-c'z)sin^^+ («''x+è''y-{-c''z)coS'{^] (^x+py+yz)'
tt^x+p^y + (*'(îz
= [(â'wH-^V-hcV)cos-«p — {rt"w + Z>V + c''«')sin-|](ax + Py4-7z)
(tt^x + PiîyH-w'^z)'
mi»
(«^xH-P(îy + ^v^z)r(îr
^ r (rt;^ff+^^<^+cV)(fl^xH-^^y4-g^z)n («x + ^y + 7z)\ L4-(«"«4-^"(^4-cV)KxH-^''y + 6-"z) J '2
8o LIVRE m. - CHAPITRE U.
55. Calculons G et H, en bornant ces expressions à leurs deux premiers termes,
G = 2/w/(r) (ux-i-vy-i-wz) -+- ^ — ^ ^^ '- j ,
On a
f ir) -h 2/;j •-— ^ [i + (mx H- J'y 4- «'z)] («^x + p^y + (v^z) r^r
■ 2,^ r r (KX+py.+«'z)' ^ ("xH-»'y+«'z)* 1 j^
En remarquant que
li^nn D-^- i^nn
MILffiUX PÉRIODIQUES. 8i
et posant
d€^ Y^nrl j^flrl
D— i D— îl-
X= — ^2/wx*y'z' = — ^, 2//ix*y
= ^ g 2mx*y' = — 5-r- 2/wx«
^ 2wr'D ^,
on obtient les expressions suivantes
4- i±i {«'^ + 6'^ 4. c'» -f. û"^ + ^"' + c"^) (a M + pp + 7 (v)^
-f-2(A^.fl{a.4-pp + 7^) [^ (««« + è«p+,'^^)(^«„+AV4-cV)J
-.2A(aw+Pi'H-7«p')[(fl'a-|-^'P + c'7)sini^4-(fl"a + è''PH-c''7)cos>^J
4- A (w* 4- 1'' 4- w'^') [(«'a+ ^'p -f- c'7)cos^ — («"a -h Z>''P-4-c''7) sin^p],
82 LIVRE m. - CHAPITRE 0.
56. Les lois de la double réfraction dans les cristaux homoédriques, et l'égalité de vitesse des différents rayons lumineux dans le vide, nous ont conduit à admettre que les molécules d'étlier se repoussent en raison inverse de la sixième puissance de la dislance. Dans cette hypothèse, si Ton pose
on a
-t-(A-+-/)(tt'-f-*'' + fv
el les expressions G ei H se réduisent à
— i4/?(att-f-Pf-f-7«')[Ka+ô'P-f-c'7)8in^-h(fl''a + ^''P-f-c''7)cos^p] + 4/?(aw4-pp+7fv)[(fl'w4-^V+cW)cos^^--(â!''w-|-^'VH-cV)sin-^/] 4-7/?(w'-l-*''+^v^) [(fl'a+^'P+c'7)cos^|;— (rt''a4-^''S+c''7)sin^^],
+ (fl"a + é>"P 4- f "7 ) K« -f- ^"(' + c" w) J
-4~/'r(a'+P'+7') {"'-+- ^''-l-^M + 2(aw + pP + 7wf] x[(fl'« + ^V^-c'«')sin^^4-K«-^-/>'^'+cV)cos^î']
X [(«'a + ^'P -h c'7) sin^I^ -f- Ka + ^"P -h ^"7) cos^^] — 2/7(a^+o'-f-(v') (aw + p<' + 7rv)
Faisons, pour abréger,
A'= fl'a4-^'P-f-c'7, A*= rt*a + ^''p-+-c''7,
Jlï
84 UVRE ni. - CHAPITRE H.
les expressions de G et de H deviennent
— a/?h»(U'sin^p+U''cos^p) — I4/?U(A'sin^^4-A''cos^[/) -f. 4/?U (U'cos^^ — U''sin^î') -4- 7/?X-»(A'cos^p — A'sinA];),
H = ^ r7 + ^ (Â."-h A"^) 4- ^ AhO A*4- 2/?UA^ (A'U'+ A^U") 4-^ AU' A -+-/?(hV/-'4-aU^) (U'sin^l;4-C''cos•W 4- 9/?X•'U{A'sin^^4- A'cos^p) — a;?A-'U(U'cos+-U''sin^) -5;?A-*(A'cos^~A'sinnI/).
Les équations du mouvement vibratoire sont de la forme
— 2/?(aA'+a«U)[A'(«'?+^'>i-f-c'Ç)-HA"(«"Ç4-^%4-c'Ç)]
[2 a ( U' sin Ap 4- U" cosAp) "1 4- 9tt( A'sinA^4- A"cosi]/) J
4-2/?[h'(«'sini]/4-«''cosA^)4-9a(A'sini]/4-A''co8>^)](aÇ4-<'»ï4-«'Ç) 4-2/?(h'«4-2aU)[K?4-^'>î4-c'Ç)sinrl;4-(«''Ç4-^%4-c''Ç)cos4'] 4- 4/?U(A'sin.];4-A''cosAl^)?
— 2/? [A'(fl'cosAl^— û"sm^p)4-2"(U'cos>^— U''sin^^)] (aÇ4-p>24-7Ç)
[iJJ (a'cos^ — a" sïn-^)^ 4-2a(U'cos>^ — U''sin4<) |(aÇ4-f'»î4-w'Ç) 4-9w(A'cosili— A"8ini]/) J -2y?(2ttU4-aA-')[(û'54-è'>i4-c'Ç)cos^li~K54-^%4-c''Ç)8in4^]
— 2/?A'(A'cos^^-- A''sin^^)Ç.
En posant
=«Ç4- (3yî4-yÇ, 0' = fl'$4-6'yî4-e'Ç,
r==a"^4-6"yî4-c''Ç,
Q= m| 4- i/yj 4-(i;Ç,
on réduit ces équations à la forme
[DÎ-/?{2-4-A'^+A''^)X-']?-i4/?«?
-/?[aAÂ-*-+-2AttU4-a(fl'A'-f-«"A")X='4-4«(A'U'+A''U'')]9
— 2/?(aX-»+attU) (A'Ô'+A"G")
[aa(U'sinn{;-f-U''cosn]/) 4- aU(rt'sini];-}-û''cos^[')"] -f-9;^(A'sin^l;4-A"cosi^)] J^
