U(A'sin-J^ + A"cosAl

— 2/; [X-' (a'cos-^ — ffsin-^) -f- aw (U'cosi]/ — U''sin^p)] 9 r 2U(û'cos^^-a"sin^^)4-2a(U'cos^^--U"sin^)^

"" ^^ L4-9"(A'cos^!;-A''sin-^)] J ^

\ - a/?(2wU-^aA•')(6'cos^^-G''sin^)-.2/)Â-'(A'cos^^-A^in^^)Ç.

Chaque modification périodique introduit dans les équations des termes de même forme que les précédents. On voit que ces équations sont linéaires et à coefficients périodiques.

Intégration des équations différentielles à coefficients

périodiques.

57. Les intégrales simples des équations différentielles trouvées dans le chapitre précédent sont de la forme

? = ?o -h ?t sin ^ + 12 cos 4»

» = yîo-f-yîiSin4' -f-yîîCOsv]^ Ç = Ço -f- Çi sin4» -h Çacos^l^ M- . . . ,

les quantités Ç,, »,, Ç, , ^,, yjj, Ç2 étant des quantités petites du même ordre que «', b', c\ a" y b'\ c" ; car, lorsque ces dernières s'évanouissent, les premières s'évanouissent également; après avoir substitué dans les équations différentielles, nous égalerons séparément à zéro les parties constantes , les parties contenant sin 4* en facteur, celles qui contiennent cos 4, etc. Si, enfin, entre les équations ainsi trouvées, on élimine ^1, Çj, tî,, tîj,..., on obtiendra trois équations ne renfermant plus que les trois inconnues ^0, vjo, Ço. Ces. trois dernières équations déterminent ce que Ton peut appeler la

86 LIVRE ffl. - CHAPITRE II.

valeur moyenne de la vibration; à celle parlie moyenne correspond évidemmeni le phénomène sensible.

Nous adoplerons par analogie les notations suivantes

d'où

Comme on a d'ailleurs, par la diiïérenliation,

c'est-à-dire

tt3Ç = w^H^ — a'(Ç,sinif' + Ç2COSi^)-+-2a(cos>p.MÇ, — sin^^.«SJ)

on en déduit

? = ?o-i-(®iCos>J' — 02sinnI/) + (sin-J^.<p,4-cos^['.<p,), U? = UÇo+h'(Ç,cos4'-Ç,sin•^.) + (sin^^.UÇ,-f-cos^^.UÇ,), U'Ç = U'Ç,+A'{Ç,cos^^-Ç,sin^^)4-(sin^^.U'?,-f-cos^^.U'?,), U"? = U"Ç„^-A"(Ç,cos^^-Ç,sin^(/) + (sm^^.U"Ç,^-cos^^.U"Ç,),

i4UÇ = z<U?a — ah'(?,sin^^ + Ç3COs4')^-h^(cos^p.^^Ç,--sinl^.ttÇJ

-|-a(cos^p.UÇ, — sin^I;.UÇ2) + (sin4^.ttU?,-f-cos>p.ttU$j), i/U'Ç = /«U'Ça— aA'(Ç,sinip-f-?jC08T]')-f-A'(cos^I'.«Ç, — sin-]/.«Ç,)

+ a(cos4».U'Ç,-sin^.U'?,) + (sin.p.«U'Ç,-f cos^^.ttU'g, Wîp = tt<p^-. a (ô, 8in^^ + 6jC08i^) 4- (cosi^.ttô, — sini]/. w8j)

4- a ( 8in >J< . <p, + C08ip . ^j) + ( 8in ^^« . tt ^, -f- cos"]' . « <j)j ) , . U^ = U(po— h» (Ô.sinA^ 4- Ô»C08^^) + (cos^I^.UÔ, — sin^I^.UÔJ

+ h^ ( sin ^j/ . (p, -f- cos -«I^ . (Pj ) -h (si n i]/ . U ^, 4- cos i]/ . U cp J ,

U'(p = U'?,-A'(0,sin^4-0,co8^)4-(cos^J<.U'Ô,-sin-J/.U'0J